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红对勾理科数学7-6


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必考部分

必考部分·第七章

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第七章 立体几何

必考部分·第七章

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第六节 空间向量及其运算

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第七章·第六节

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考纲解读 1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌 握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用数量积判断向量 的共线与垂直.

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第七章·第六节

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考情剖析 从近年高考试题看,空间向量的概念及其运算很少单独命题,多 与空间几何体结合求解有关角、距离及证明平行或垂直等问题,体现 向量的工具性.用向量法求解这类问题时,要树立基底意识,合理选取 基底优化运算.

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第七章·第六节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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第七章·第六节

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自主回顾·打基础
强根基·固本源

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第七章·第六节

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1.把空间中具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量. 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a

∥b 的充要条件是 存在实数 λ,使 a=λb

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第七章·第六节

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(2)共面向量定理:如果两个向量 a、b 不共线,则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在实数对 x、y,使

p=xa+yb _____________.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量 a,b,c 不共面, 那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p = xa+yb+zc

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第七章·第六节

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温馨提示:1.对空间任意两个向量a,b(b≠0),共线向 量定理可以分解为两个命题:①a∥b?存在唯一实数λ,使 a=λb;②若存在唯一实数λ,使a=λb,则a∥b.其中命题② 是空间向量共线的判定定理. 2.(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个 基底. (2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向 量共面,故0不能作为基底向量. (3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表 示.
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第七章·第六节

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3.两个向量的数量积 (1)非零向量a,b的数量积a· b=|a||b|cos〈a,b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c.

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第七章·第六节

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4.空间向量坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 向量表示 数量积 共线 垂直 a· b a=λb(b≠0) a· b=0 坐标表示 a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0

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第七章·第六节

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向量表示 模 |a| 〈a,b〉 (a≠0,b≠0)

坐标表示
2 2 a2 1+a2+a3

cos〈a,b〉= a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a2 + a + a · b + b + b 1 2 3 1 2 3

夹角

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第七章·第六节

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温馨提示:1.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置 选取无关,这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹 角、“点点”距离是固定的,坐标系的位置不同,只会影 响其计算的繁简. 2.进行向量的运算时,在能建系的情况下尽量建系, 将向量运算转化为坐标运算.

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第七章·第六节

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1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( A.y轴上 C.xOz平面上 B.xOy平面上 D.x轴上

)

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第七章·第六节

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解析:由于点的纵坐标为0,故这样的点在xOz平面 上.
答案:C

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第七章·第六节

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2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ 与μ的值可以是( 1 A.2, 2 C.-3,2 ) 1 1 B.- , 3 2 D.2,2

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第七章·第六节

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解析:∵a∥b,∴b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+ ?6=k?λ+1? ? 1,0,2),∴?2μ-1=0 ?2λ=2k ? λ=2 λ=-3 ? ? ? ? ,解得? 1 或? 1 . μ= μ= ? ? ? 2 ? 2

答案:A

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第七章·第六节

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3.有下列命题: ①若p=xa+yb,则p与a,b共面; ②若p与a,b共面,则p=xa+yb; → → → ③若MP=xMA+yMB,则P,M,A,B共面; → → → ④若P,M,A,B共面,则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

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第七章·第六节

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解析:其中①③为正确命题.
答案:B

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第七章·第六节

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4.已知平面α和β的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,- 2),若α⊥β,则x=________.
解析:因为α⊥β,所以两个平面的法向量也垂直,因 此(-1,3,4)· (x,1,-2)=0,即x=-5.

答案:-5

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第七章·第六节

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→ → → 5.在四面体O—ABC中, OA =a, OB =b, OC =c,D → 为BC的中点,E为AD的中点,则 OE =________(用a,b,c 表示).

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第七章·第六节

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解析:

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1 → 1→ 1 → 1→ 1→ 1→ 1 如图,OE=2OA+2OD=2OA+4OB+4OC=2a+4b+ 1 4c.
1 1 1 答案:2a+4b+4c

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合作学习·速通关
抓重点·破疑难

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第七章·第六节

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空间向量的线性运算

【例1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O 为AC的中点.

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第七章·第六节

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→ 1→ 1 → (1)化简A1O-2AB-2AD=__________. → → → → → (2)用AB,AD,AA1表示OC1,则OC1=__________. (1)用已知向量表示求知向量时,在转化时要结 合向量的线性运算. (2) 根据向量坐标运算的法则解题即可.

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第七章·第六节

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1→ 1 → 1→ 1 → → → 【解析】 (1) A1O- AB- AD=( A1A+ AO)- AB - 2 2 2 2 → → 1 → → 1→ 1 → → AD=-AA1+ (AB+AD)- AB- AD=-AA1. 2 2 2 → → → 1→ → (2)解法1:OC1=OC+CC1=2AC+CC1 1 → → → 1→ 1 → → = (AB+AD)+AA1= AB+ AD+AA1. 2 2 2 → → → → 1→ 解法2:OC1=CC1-CO=CC1- CA 2 → 1→ → 1 → → =CC1+2AC=AA1+2(AB+AD)
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第七章·第六节

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1→ 1 → → =2AB+2AD+AA1.
1→ 1 → → → → 【答案】 (1)-AA1或A1A (2)2AB+2AD+AA1

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第七章·第六节

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用不共面的向量表示某一向量时,关键是结合图形将已知 向量和未知向量转化到三角形或平行四边形中,然后根据 三角形法则或平行四边形法则,把未知向量用已知向量表 示出来.

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第七章·第六节

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→ 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设 AA1 → → =a, AB =b, AD =c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的 中点,试用a,b,c表示下列各向量:

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第七章·第六节

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第七章·第六节

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→ (1)AP; → (2)A1N; → → (3)MP+NC1.

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→ → → → → → 1→ 解:(1)AP=AD+DD1+D1P=AA1+AD+2AB 1 =a+2b+c; → → → → → → 1→ (2)A1N=A1A+AB+BN=-AA1+AB+2AD 1 =-a+b+2c; 1 → → 1→ 1→ → → → (3)MP+NC1=(2AA1+AD+2AB)+(2AD+AA1) 3 1 3 =2a+2b+2c.
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第七章·第六节

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共线、共面定理的应用

【例2】 已知E,F,G,H分别是空间四边形 ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明: (1)E,F,G,H四点共面; (2)BD∥平面EFGH.

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第七章·第六节

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→ → → (1)证明 EG = EF + EH ,根据共面向量定理即可 得到结论;或证明FG∥EH,即可得到FG,EH确定一平 面,故得四点共面. → → (2)证明 BD 与 EH 共线,然后根据线面平行的判定定理 解题即可.

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第七章·第六节

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【解析】

(1)解法1:∵E,F,G,H分别是空间四边

→ → 1→ 形ABCD的边的中点,∴FG=EH=2BD. → → → → → ∴ EG = EF + FG = EF + EH ,∴E,F,G,H四点共 面. 解法2:∵E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边 的中点, → → 1→ ∴FG=EH=2BD. ∴FG∥EH.故E,F,G,H四点共面.
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第七章·第六节

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(2)由题意知 → → → → → → → → BD=AD-AB=2AH-2AE=2(AH-AE)=2EH. → → ∴BD∥EH. ∴BD∥EH,又BD?平面EFGH,EH?平面EFGH. ∴BD∥平面EFGH.

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第七章·第六节

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1.利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用 定理.向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路. 2.向量的平行与直线的平行是不同的:直线平行是不允许 重合的,而向量平行,它们所在的直线可以平行也可以重 合.

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第七章·第六节

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如图所示,已知ABCD是平行四边形,P点是平面 ABCD外一点,连结PA、PB、PC、PD.设点E、F、G、H分 别为△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.

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第七章·第六节

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(1)试用向量方法证明E、F、G、H四点共面. (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向 量方法证明你的判断.

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第七章·第六节

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解:(1)证明:分别连接PE、PF、PG、PH交对边于 M、N、Q、R点. 因为E、F、G、H分别是所在三角形的重心. 所以M、N、Q、R为所在边的中点,顺次连结M、N、 Q、R得到的四边形为平行四边形,且有: → 2 → → 2→ PE=3PM,PF=3PN, → 2 → → 2→ PG= PQ,PH= PR. 3 3

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第七章·第六节

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因为四边形MNQR是平行四边形,所以 → → → 3 → → MQ=MN+MR=2(EF+EH). → → → 3→ 又MQ=PQ-PM= EG, 2 3→ 3 → → 所以2EG=2(EF+EH), → → → 即 EG=EF+ EH,由共面向量定理知E、F、G、H四点 共面.

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→ 3→ → → (2)由(1)得MQ=2EG,所以MQ∥EG. 又因为EG?平面ABCD,所以EG∥平面ABCD. → → → 3→ 3→ 3→ 因为MN=PN-PM=2PF-2PE=2EF, 所以MN∥EF, 又因为EF?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD. 由于EG与EF交于E点, 所以平面EFGH∥平面ABCD.

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第七章·第六节

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空间向量数量积运算的应用

【例3】

如图,已知直三棱柱ABC—A1B1C1中,△

ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90° ,且AB=AA1, D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点. (1)求证:DE∥平面ABC; (2)求证:B1F⊥平面AEF.

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第七章·第六节

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?题图?

?答图?

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第七章·第六节

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【证明】

如图建立空间直角坐标系A—xyz,令AB=

AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0), B1(4,0,4). (1)取AB中点为N,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), → → → → ∴DE=(-2,4,0),NC=(-2,4,0),∴DE=NC. ∴DE∥NC,又NC在平面ABC内,故DE∥平面ABC.

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第七章·第六节

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→ → → (2) B1F =(-2,2,-4), EF =(2,-2,-2), AF = → → (2,2,0), B1F · EF =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, → → 则B1F⊥EF,∴B1F⊥EF, → → ∵B1F· AF=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. → → ∴B1F⊥AF,即B1F⊥AF, 又∵AF∩FE=F,∴B1F⊥平面AEF.

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第七章·第六节

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?1?用向量证明线面平行的方法有: ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; ②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; ③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向 量线性表示.

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第七章·第六节

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?2?用向量法证垂直问题 ①证明线线垂直,只需证明两直线的方向向量数量积为 0; ②证明线面垂直, 只需证明直线的方向向量与平面的法向量 共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直;

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第七章·第六节

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③证明面面垂直,只需证明两平面的法向量的数量积为 0, 或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直.

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已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边 三角形,边长为 2a,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE.

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第七章·第六节

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?题图?

?答图?

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第七章·第六节

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证明:依题意,以 AC 所在的直线为 x 轴,AB 所在的直 线为 z 轴,过点 A 且垂直于 AC 的直线为 y 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系 A—xyz,则 A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0, a),D(a, 3a,0),E(a, 3a,2a). ∵F 为 CD
?3 的中点,∴F? ?2a, ? ? 3 ? a , 0 ?. 2 ?

? → 3 → ? ?3 (1)易知,AF=? a, a,0? ?,BE=(a, 3a,a), 2 2 ? ?

→ BC=(2a,0,-a),

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→ 1 → → ∵AF=2(BE+BC),AF?平面 BCE, ∴AF∥平面 BCE.
? 3 → ? → ?3 (2)∵AF=? a, a,0? , CD =(-a, 3a,0), ? 2 2 ? ?

→ ED=(0,0,-2a), → → → → ∴AF· CD=0,AF· ED=0, → → → → ∴AF⊥CD,AF⊥ED,即 AF⊥CD,AF⊥ED.

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又 CD∩ED=D, ∴AF⊥平面 CDE. 又 AF∥平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE.

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1.用已知向量表示未知向量的方法 (1)用已知向量表示未知向量, 一定要结合图形, 以图形 为指导是解题的关键. (2)把要表示的向量标在封闭图形中, 表示为其他向量的 和与差的形式,进而寻找这些向量与基向量的关系.

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(3)用基向量表示一个向量时, 如果此向量的起点是从基 底的公共点出发的,一般考虑用加法,否则考虑用减法,如 果此向量与一个易求的向量共线,可用数乘. 2.点共线问题 证明点共线问题可转化为证明向量共线问题,如证明 → → A、B、C 三点共线,即证明AB与AC共线.

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3.点共面问题 点共面问题, 可转化为向量共面问题, 要证明 P、 A、 B、 → → → C 四点共面, 只要能证明PA=xPB+yPC, 或对空间任一点 O, → → → → → → → → 有OA=OP+xPB+yPC或OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z= 1)即可,以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件,共 面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要 条件.

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4.空间向量的数量积运算 (1)当题目条件有垂直关系时, 转化为数量积为零进行应 用; (2)立体几何中求线段的长度可以通过解三角形, 也可依 据|a|= a2转化为向量的数量积求解. (3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似, 只 是多出一个坐标,与平面向量的坐标运算作一些对比,可以 比较容易地掌握空间向量的坐标运算问题.

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提升素养·破难点
研经典·明考向

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思想方法指津(十四) 探究空间坐标系的合理建立 【典例】 (2013· 广东卷 )如图 (1),在等腰直角三角形

ABC 中,∠A=90° ,BC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点, CD=BE= 2,O 为 BC 的中点.将△ADE 沿 DE 折起,得 到如图(2)所示的四棱锥 A′—BCDE,其中 A′O= 3.

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(1)证明:A′O⊥平面 BCDE; (2)求二面角 A′—CD—B 的平面角的余弦值.

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审题视角 (1)根据翻折前后的线线关系,推导出线面垂直的条件 (即 A′O 垂直于平面 BCDE 内的两条相交直线);(2)作 出二面角,通过解三角形求解,或者建立空间直角坐标 系后使用法向量求解.

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规范解答 (1)由题意,易得 OC=3,AC=3 2,AD=2 2. 连 接 OD , OE. 在 △ OCD 中 , 由 余 弦 定 理 可 得 OD = OC2+CD2-2OC· CDcos45° = 5. 由翻折不变性可知 A′D = 2 2 ,所以 A′O2 + OD2 = A′D2,所以 A′O⊥OD. 同理可证 A′O⊥OE,又 OD∩OE=O,所以 A′O⊥平面 BCDE.

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规范解答

(2)以 O 点为原点, 建立空间直角坐标系 O—xyz 如图所示, → 则 A′(0,0, 3), C(0, -3,0), D(1, -2,0). ∴CA′=(0,3, → 3),DA′=(-1,2, 3).

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规范解答 → ? ?n· CA′=0, 设 n=(x, y, z)为平面 A′CD 的法向量, 则? ? DA′=0, ?n·
? ?3y+ 3z=0, 即? ? ?-x+2y+ 3z=0, ? ?y=-x, 解得? ? ?z= 3x,

令 x=1,得 n=

(1,-1, 3). → 由(1)知OA′=(0,0, 3)为平面 CDB 的一个法向量,

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规范解答 → n · OA ′ 3 15 → ∴cos〈n,OA′〉= = = 5 , → 3· 5 |n||OA′| 15 即二面角 A′—CD—B 的平面角的余弦值为 5 .

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使用空间向量解决立体几何问题的关键环节之一就 是建立空间直角坐标系,建立方法的不同可能导致解 点 拨 提 升 题的简繁程度不同. 一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且 交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建 立空间直角坐标系,如果不存在这样的三条直线,则 我们尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标 轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂 直相交直线为基本出发点.
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(2013· 四川卷)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120° ,D,D1 分 别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 的中点.

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(1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的 直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD1A1 ; (2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二 面角 A—A1M—N 的余弦值.

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解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC, 因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内,由直线与平面 平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点,所以 BC⊥AD,则 直线 l⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥直线 l. 又 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交,所 以直线 l⊥平面 ADD1A1.

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(2)设 A1A=1.如图,过 A1 作 A1E 平行于 B1C1,以 A1 为 → → → 坐标原点,分别以A1E,A1D1,A1A的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 Oxyz(点 O 与点 A1 重合).

则 A1(0,0,0),A(0,0,1).
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第七章·第六节

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因为 P 为 AD 的中点,所以 M,N 分别为 AB,AC 的中 3 1 3 1 3 1 → 点,故 M( , ,1),N(- , ,1),所以A1M=( , , 2 2 2 2 2 2 → → 1),A1A=(0,0,1),NM=( 3,0,0). 设平面 AA1M 的法向量为 n1=(x1,y1,z1), → ? ?n1⊥A1M, 则? → ? n ⊥ A ? 1 1A, → ? ?n1· A1M=0, 即? → ? n · A ? 1 1A=0,

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3 1 ? ??x1,y1,z1?· ? 2 ,2,1?=0, 故有? ? ?0,0,1?=0, ??x1,y1,z1?· 1 ? 3 ? x1+ y1+z1=0, 2 从而? 2 ? ?z1=0. 取 x1=1,则 y1=- 3,所以 n1=(1,- 3,0). 设平面 A1MN 的法向量为 n2=(x2,y2,z2), → ? ?n2⊥A1M, 则? → ? n ⊥ NM , ? 2
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→ ? ?n2· A1M=0, 即? → ? n · NM =0, ? 2
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? 3 1 ??x2,y2,z2?· ? , ,1?=0, 2 2 ? 故有 ? ? 3,0,0?=0, ??x2,y2,z2?· ? 3 1 ? x2+ y2+z2=0, 2 从而? 2 ? ? 3x2=0. 取 y2=2,则 z2=-1,所以 n2=(0,2,-1). 设二面角 A—A1M—N 的平面角为 θ,又 θ 为锐角,则 ?1,- 3,0?· ?0,2,-1? n1 · n2 15 cosθ=| |=| |= . |n1|· |n2| 5 2· 5 15 故二面角 A—A1M—N 的余弦值为 . 5
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温 馨 提 示

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