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1.1.3导数的几何意义


选修 2-2 导学案(3) §1.1.3 导数的几何意义
思考 1:这里的切线定义与以前学过的切线定义有什么不同? 思考 2:割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系?切线 PT 的斜率 k 为多少? 新知 2:割线 PPn 的斜率是 线 PT 的斜率 k ,即 ;当点 Pn 沿着曲线无限接近点 P 时, k n 无限趋近于切 。

导数的几何意义:函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于在该点( x 0 , f ( x 0 ) 处的切线的斜率, 即 f ' ( x 0 ) = lim
?x ?0

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) =k ?x

思考:如何求曲线在某点处的切线方程? 新知 4:导函数(简称导数)的概念:由函数 f(x)在 x=x0 处求导数的过程可以看到,当时, f ' ( x 0 ) 是一 个确定的数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f(x)的导函数.记作: f ' ( x) 或 y ' ,即:
f ' ( x) = y ' = lim

?x ?0

f ( x 0 ? ?x) ? f ( x 0 ) ?x

说明:函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x 0 ) 、导函数 f ?( x) 、导数 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数 f ' ( x 0 ) ,就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,它是 一个常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的, 就是函数 f ( x) 的导函数; (3)函数 f ( x) 在点 x 0 处的导数 f ' ( x 0 ) 就是导函数 f ' ( x) 在 x ? x0 处的函数值,这也是 求函数在点 x 0 处 的导数的方法之一。 三、例题分析: 例 1:(1)求曲线 y ? f ( x) = x 2 +1 在点 P(1,2)处的切线方程. ⑵求函数 y=3 x 2 在点(1,3)处的导数.

例 2:已知曲线 y ? f ( x) = x 2 。⑴求曲线的平行于直线 y ? 4 x ? 5 的切线的切点坐标; ⑵求曲线的垂直于直线 2x ? 6 y ? 5 ? 0 的切线的切点坐标。 变式练习: 1.求曲线 y ? f ( x) = x 2 的倾斜角为 135°的切线的切点坐标; 2.求曲线 y ? x 在点(4,2)处的切线. 【课堂练习】 1、曲线 y = x 2 在 x ? 0 处的( )

A .切线斜率为 1

B.切线方程为 y ? 2 x

C.没有切线

D.切线方程为 y ? 0 )

2、已知曲线 y =2 x 2 上的一点 A(2,8) ,则点 A 处的切线斜率为( A. 4 B .16 C.8 ) D.2

3、函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f ' ( x 0 ) 的几何意义是( A .在点 x ? x 0 处的函数值 C.点( x 0 , f ( x 0 ) 与点(0,0)连线的斜率
3

B.在点( x 0 , f ( x 0 ) 处的切线与 x 轴所夹锐角的正切值 D. 曲线 y ? f ( x) 在点( x 0 , f ( x 0 ) 处的切线的斜率 )

4、已知曲线 y ? x 上过点(2,8)的切线方程为 12x ? ax ?16 ? 0 ,则实数 a 的值为( A .-1 B. 1
h ?0

C.-2
f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? 3h) =( h

D .2 ) D.-12

5、若 f ' ( x 0 ) = – 3,则 lim A.-3 B.-6

C.-9
x ?0

6、设 f ( x) 为可导函数,且满足条件 lim 率为( A.2 ) B.-1 C.

f (1) ? f (1 ? x) ? ?1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点(1,1)处的切线的斜 2x

1 2

D.-2

7、已知曲线 y ? x 2 ? 1 上的两点 A(2,3), B(2 ? ?x,3 ? ?y) ,当 ?x ? 1 时,割线 AB 的斜率是 __________,当 ?x ? 0.1 时,割线 AB 的斜率是_____ _。 _____,曲线在点 A 处的切线方程是___ ___

8 、如果函数 f ( x) 在 x ? x0 处的切线的倾斜角是钝角,那么函数 f ( x) 在 x ? x0 附近的变化情况是 __________________。 9、设函数 y ? f ( x) , f ' ( x 0 ) >0,则曲线 y ? f ( x) 在点( x 0 , f ( x 0 ) 处切线倾斜角的范围是 10、函数 y ? f ( x) 在横坐标为 4 的点 P 处的切线方程为 y ? ?2x ? 9 ,则 f (4) + f ' (4) = 。 。

11、设 f ( x) 是偶函数。若 y = f ( x) 曲线在点(1, f (1) )处的切线的斜率为 1,则该曲线在点(– 1, f (?1) ) 处的切线的斜率为 。

12、已知抛物线 y ? x 2 ? bx ? c 在点(1,2)处的切线与直线 y ? x ? 2 平行,求 b 、 c 的值。

13、已知曲线 y ? 2 x 2 ? 2 上一点 P(1,2),利用导数的定义求在点 P 处的切线的倾斜角和切线方程。

*14、 (1)试求过点 A(3,5)且与曲线 y ? x 2 相切的直线方程。 (2)已知直线 l : y ? 4 x ? a 和曲线 y ? x 3 ? 2 x 2 ? 3 相切。①求 a 的值;②求切点的坐标。

(三)DCDBDD

7、5,4.1, y ? 4 x ? 5

8、递减 9、 (0,

? ) 2

10、–1

11、–1
121 ,a=–5 127

12、b= –1,c=2。 13、45°, y ? x ? 1 时切点为(2,3) ,a=

14、 (1) y ? 2 x ? 1 , y ? 10x ? 25 (2)a=–5,或

121 2 49 时切点为(– , ) 3 127 27



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