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江苏省常州市2016届高三(上)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年江苏省常州市高三(上)期末数学试卷
一、填空题 1.设复数 z 满足(z+i) (2+i)=5(i 为虚数单位) ,则 z=______. 2.设全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,3},B={2,3},则 B∩?UA=______. 3.某地区有高中学校 10 所、初中学校 30 所,小学学校 60 所,现采用分层抽样的方法从这 些学

校中抽取 20 所学校对学生进行体质健康检查,则应抽取初中学校______所. 4.已知双曲线 C: (a>0,b>0)的一条渐近线经过点 P(1,﹣2) ,则该双

曲线的离心率为______. 5.函数 f(x)=log2(﹣x2+2 )的值域为______. 6.某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工,则选出的学生中男女生都有的 概率为______. 7.如图所示的流程图中,输出 S 的值是______

8. 已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2, 锐角为 60°的菱形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, PA=3,若点 M 是 BC 的中点,则三棱锥 M﹣PAD 的体积为______.

9.已知实数 x,y 满足

,则 2x+y 的最大值为______.

10. 已知平面向量



x∈R, , 若

, 则|

|=______.

11.已知等比数列{an}的各项均为正数,且 a1+a2= ,a3+a4+a5+a6=40.则

的值

为______. 12.如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点 P 在边 BC 上,且满足 (m,n 均为正实数) ,则 的最小值为______.

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13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=1,O1: (x﹣4)2+y2=4,动点 P 在直线 x+ y﹣b=0 上,过 P 分别作圆 O,O1 的切线,且点分别为 A,B,若满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个,则实数 b 的取值范围是______. 14.已知函数 f(x)= 的取值范围是______. 二、简答题 15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(B﹣C)=1﹣cosA,且 b, a,c 成等比数列,求: (1)sinB?sinC 的值; (2)A; (3)tanB+tanC 的值. 16.如图,正三棱柱 A1B1C1﹣ABC,点 D,E 分别是 A1C,AB 的中点. (1)求证:ED∥平面 BB1C1C (2)若 AB= BB1,求证:A1B⊥平面 B1CE. 若不等式 f(x)≥kx,对 x∈R 恒成立,则实数 k

17.已知等差数列{an}的公差 d 为整数,且 ak=k2+2,a2k=(k+2)2,其中 k 为常数且 k∈N* (1)求 k 及 an (2)设 a1>1,{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的首项为 l,公比为 q(q>0) ,前 n 项 和为 Tn,若存在正整数 m,使得 ,求 q.

18.如图,直线 l 是湖岸线,O 是 l 上一点,弧 是以 O 为圆心的半圆形栈桥,C 为湖岸线 l 上一观景亭,现规划在湖中建一小岛 D,同时沿线段 CD 和 DP(点 P 在半圆形栈桥上且不 与点 A,B 重合)建栈桥,考虑到美观需要,设计方案为 DP=DC,∠CDP=60°且圆弧栈桥 BP 在∠CDP 的内部,已知 BC=2OB=2(km) ,设湖岸 BC 与直线栈桥 CD,DP 是圆弧栈桥 BP 围成的区域(图中阴影部分)的面积为 S(km2) ,∠BOP=θ (1)求 S 关于 θ 的函数关系式; (2)试判断 S 是否存在最大值,若存在,求出对应的 cosθ 的值,若不存在,说明理由.

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19. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆

(a>b>0) 的离心率是 e, 定义直线 y=

为椭圆的“类准线”,已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y= ,长轴长为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 在椭圆 C 的“类准线”上(但不在 y 轴上) ,过点 P 作圆 O:x2+y2=3 的切线 l,过 点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A,问点 A 是否在椭圆 C 上?证明你的结论. 20.已知 a,b 为实数,函数 f(x)=ax3﹣bx. (1)当 a=1 且 b∈[1,3]时,求函数 F(x)=| 为 M(b) ) ; (2)当 a=0,b=﹣1 时,记 h(x)= ①函数 h(x)的图象上一点 P(x0,y0)处的切线方程为 y=y(x) ,记 g(x)=h(x)﹣y (x) .问:是否存在 x0,使得对于任意 x1∈(0,x0) ,任意 x2∈(x0,+∞) ,都有 g(x1) g(x2)<0 恒成立?若存在,求也所有可能的 x0 组成的集合;若不存在,说明理由. ②令函数 H(x)= 成立,求实数 s 的取值集合. 选修 4-1:几何证明选讲 21.如图所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,且 AB=AC,AP∥BC,弦 CE 的延长线交 AP 于点 D,求证:AD2=DE?DC. ,若对任意实数 k,总存在实数 x0,使得 H(x0)=k |+2b+1(x∈[ ]的最大值

选修 4-2:矩形与变换 22.已知矩阵 M= 的属于特征值 8 的一个特征向量是 e= ,点 P(﹣1,2)在 M 对

应的变换作用下得到点 Q,求 Q 的坐标.

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2015-2016 学年江苏省常州市高三(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题 1.设复数 z 满足(z+i) (2+i)=5(i 为虚数单位) ,则 z= 2﹣2i . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:由(z+i) (2+i)=5,得 z+i= ∴z=2﹣2i. 故答案为:2﹣2i. 2.设全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,3},B={2,3},则 B∩?UA= {2} . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】先求出(?UA) ,再根据交集的运算法则计算即可 【解答】解:∵全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,3}, ∴(?UA)={2,4} ∵B={2,3}, ∴(?UA)∩B={2} 故答为:{2} 3.某地区有高中学校 10 所、初中学校 30 所,小学学校 60 所,现采用分层抽样的方法从这 些学校中抽取 20 所学校对学生进行体质健康检查,则应抽取初中学校 6 所. 【考点】分层抽样方法. 【分析】从 100 所学校抽取 20 所学校做样本,样本容量与总体的个数的比为 1:5,得到每 个个体被抽到的概率,即可得到结果. 【解答】解:某城地区有学校 10+30+60=100 所, 现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取 20 所, 每个个体被抽到的概率是 = , ,

∴用分层抽样进行抽样,应该选取初中学校 ×30=6 人. 故答案为:6.

4.已知双曲线 C:

(a>0,b>0)的一条渐近线经过点 P(1,﹣2) ,则该双

曲线的离心率为 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的渐近线过点 P,建立 a,b,c 的关系,结合离心率的公式进行求解即 可.

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【解答】解:焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± x, ∵一条渐近线经过点 P(1,﹣2) , ∴点 P(1,﹣2)在直线 y=﹣ x, 即 =2,则 b=2a,则 c2=a2+b2=5a2, 即 c= a, = ,

则双曲线的离心率 e= = 故答案为: 5.函数 f(x)=log2(﹣x2+2

)的值域为 (﹣∞, ] .

【考点】对数函数的图象与性质. 【分析】根据对数函数以及二次函数的性质解答即可. 【解答】解:∵0<﹣x2+2 ≤2 , ∴x=0 时,f(x)最大, f(x)最大值=f(0)= 故答案为: (﹣∞, ]. = ,

6.某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工,则选出的学生中男女生都有的 概率为 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】 先求出基本事件总数, 由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的 3 名学生都 是女生,由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率. 【解答】解:某校从 2 名男生和 3 名女生中随机选出 3 名学生做义工, 基本事件总数 n= =10,

选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的 3 名学生都是女生, ∴选出的学生中男女生都有的概率为 p=1﹣ =1﹣ = .

故答案为:



7.如图所示的流程图中,输出 S 的值是

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【考点】程序框图. 【分析】运行流程图,写出每次 i<1026 成立时 S,k 的值,当 k=2016,k<1026 不成立, 退出循环,输出 S 的值为 . 【解答】解:运行如图所示的流程图,有 S=3,k=1, k<1026 成立,S= ,k=2

k<1026 成立,S= ,k=3 k<1026 成立,S=3,k=4 … 观察规律可得 S 的取值周期为 3,由于 2016=672×3, 所以:k<1026 成立,S= ,k=2016 k<1026 不成立,退出循环,输出 S 的值为 . 故答案为: .

8. 已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2, 锐角为 60°的菱形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, PA=3,若点 M 是 BC 的中点,则三棱锥 M﹣PAD 的体积为 . 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由 AD∥BC 可知 S△ ADM=S△ ABD,则 VM﹣PAD=VP﹣ADM= 【解答】解:∵底面 ABCD 是边长为 2,锐角为 60°的菱形, S△ ADM=S△ ADB= ∵PA⊥底面 ABCD, ∴VM﹣PAD=VP﹣ADM= 故答案为 . = . = , .

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9.已知实数 x,y 满足

,则 2x+y 的最大值为



【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

【解答】解由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(

) ,

令 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 由图可知,当直线 y=﹣2x+z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 故答案为: . .

10. 已知平面向量



x∈R, , 若

, 则|

|= 2 .

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【考点】向量的模. 【分析】根据向量的垂直关系求出 , ,从而求出| |即可.

【解答】解:平面向量



,x∈R,

若 ,则 4x+2x﹣2=0,解得:2x=1, ∴ =(1,1) , =(1,﹣1) = 0 ∴ ﹣ ( ,﹣2) , ∴| |=2,

故答案为:2.

11.已知等比数列{an}的各项均为正数,且 a1+a2= ,a3+a4+a5+a6=40.则 为 117 . 【考点】等比数列的通项公式. 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1+a2= ,a3+a4+a5+a6=40.

的值





解得 a1= ,q=3. = = =117.



故答案为:117. 12.如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=90°,AD=AB=4,CD=1,动点 P 在边 BC 上,且满足 (m,n 均为正实数) ,则 的最小值为 .

【考点】平面向量的基本定理及其意义.

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【分析】假设 关系,得到 【解答】解: 设 则 ∵ =λ = =﹣



,用

表示出

,使用平面向量的基本定理得出 m,n 与 λ 的

关于 λ 的函数,求出函数的最值. = +λ , = =﹣ + ,

(0≤λ≤1) , ) +λ .

=(1﹣

,∴m=1﹣

,n=λ.



=

=

=



=

. 即(λ+4)2= 时取等号.

当且仅当 3(λ+4)= 故答案为: .

13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2+y2=1,O1: (x﹣4)2+y2=4,动点 P 在直线 x+ y﹣b=0 上,过 P 分别作圆 O,O1 的切线,且点分别为 A,B,若满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个,则实数 b 的取值范围是 ﹣ 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】求出 P 的轨迹方程,动点 P 在直线 x+ 有两个,转化为直线与圆 x2+y2+ x﹣ <b<4 .

y﹣b=0 上,满足 PB=2PA 的点 P 有且只

=0 相交,即可求出实数 b 的取值范围.

【解答】解:由题意 O(0,0) ,O1(4,0) .设 P(x,y) ,则 ∵PB=2PA, ∴(x﹣4)2+y2=4(x2+y2) , ∴x2+y2+ x﹣ =0,

圆心坐标为(﹣ ,0) ,半径为 , ∵动点 P 在直线 x+ y﹣b=0 上,满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个, =0 相交,

∴直线与圆 x2+y2+ x﹣

∴圆心到直线的距离 d=

< ,

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∴﹣ ﹣

<b<﹣ + <b<4.

故答案为:﹣

14.已知函数 f(x)=

若不等式 f(x)≥kx,对 x∈R 恒成立,则实数 k

的取值范围是 ﹣3≤k≤e2 . 【考点】函数恒成立问题. 【分析】根据分段函数的表达式,利用参数分离法,构造函数,求函数的导数,利用导数研 究函数的最值即可得到结论. 【解答】解:当 x=0 时,不等式 f(x)≥kx 等价为 0≥0 成立, 当 x<0 时,由 f(x)≥kx 得 2x2﹣3x≥kx,即 2x﹣3≤k, 当 x<0,2x﹣3<﹣3,则 k≥﹣3; 当 x>0 时,由 f(x)≥kx 得 ex+e2≥kx, ≥k,

设 h(x)=

,当 x>0 时,h′(x)=



设 g(x)=xex﹣ex﹣e2,则 g′(x)=xex, 当 x>0 时,g′(x)>0,即函数 g(x)为增函数, ∵g(2)=2e2﹣e2﹣e2=0, ∴当 x>2 时,g(x)>0,h′(x)>0,函数 h(x)为增函数, 当 0<x<2 时,g(x)<0,h′(x)<0,函数 h(x)为减函数, 即当 x=2 时,函数 h(x)取得极小值,同时也是最小值 h(2)= 此时 k≤e2, 综上﹣3≤k≤e2, 故答案为:﹣3≤k≤e2. 二、简答题 15.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos(B﹣C)=1﹣cosA,且 b, a,c 成等比数列,求: (1)sinB?sinC 的值; (2)A; (3)tanB+tanC 的值. 【考点】正弦定理;三角函数的化简求值. 【分析】 (1)利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简 cos(B﹣C)=1﹣cosA 即可求得 sinBsinC 的值. (2)由等比数列的性质可得 a2=bc,由正弦定理得 sin2A=sinBsinC,由(1)解得 sin2A= , 结合范围 A∈(0,π) ,a 边不是最大边,即可解得 A 的值. =e2,

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(3)由 B+C=π﹣A=

,可得 cos(B+C)=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣

,解得 cosBcosC

的值,利用同角三角函数基本关系式及两角和的正弦函数公式化简所求后计算即可得解. 【解答】 (本题满分为 14 分) 解: (1)∵cos(B﹣C)=1﹣cosA=1+cos(B+C) , ∴cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosC﹣sinBsinC, ∴sinBsinC= .…2 分 (2)∵b,a,c 成等比数列,∴a2=bc, 由正弦定理,可得 sin2A=sinBsinC, 从而 sin2A= , 因为 A∈(0,π) ,所以 sinA= 又因为 a 边不是最大边,所以 A= (3)因为 B+C=π﹣A= , , , …8 分

所以 cos(B+C)=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣ 从而 cosBcosC= ,…10 分

所以 tanB+tanC=

=

=

=﹣2﹣

…14 分

16.如图,正三棱柱 A1B1C1﹣ABC,点 D,E 分别是 A1C,AB 的中点. (1)求证:ED∥平面 BB1C1C (2)若 AB= BB1,求证:A1B⊥平面 B1CE.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)连结 AC1,BC1,则 DE∥BC1,由此能证明 ED∥平面 BB1C1C. (2)推导出 CE⊥AB,从而 CE⊥平面 ABB1A1,进而 CE⊥A1B,再推导出 Rt△A1B1B∽ Rt△B1BE,从而 A1B⊥B1E,由此能证明 A1B⊥平面 B1CE. 【解答】证明: (1)连结 AC1,BC1, ∵AA1C1C 是矩形,D 是 A1C 的中点,∴D 是 AC1 的中点,
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在△AA1C1C 中,∵D、E 分别是 AC1、AB 的中点, ∴DE∥BC1, ∵DE?平面 BB1C1C,BC1? 平面 BB1C1C, ∴ED∥平面 BB1C1C. (2)∵△ABC 是正三角形,E 是 AB 的中点,∴CE⊥AB, 又∵正三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,平面 ABC⊥平面 ABB1A1,交线为 AB, ∴CE⊥平面 ABB1A1, ∴CE⊥A1B, 在矩形 ABB1A1 中,∵ ,

∴Rt△A1B1B∽Rt△B1BE,∴∠B1A1B=∠BB1E, ∴∠B1A1B+∠A1B1E=∠BB1E+∠A1B1E=90°, ∴A1B⊥B1E, ∵CE,B1E? 平面 B1CE,CE∩B1E=E, ∴A1B⊥平面 B1CE.

17.已知等差数列{an}的公差 d 为整数,且 ak=k2+2,a2k=(k+2)2,其中 k 为常数且 k∈N* (1)求 k 及 an (2)设 a1>1,{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的首项为 l,公比为 q(q>0) ,前 n 项 和为 Tn,若存在正整数 m,使得 ,求 q.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【分析】 (1)根据等差数列{an}的公差 d 为整数,且 ak=k2+2,a2k=(k+2)2,其中 k 为常数 且 k∈N*, 可得 a1+(k﹣1)d=k2+2,a1+(2k﹣1)d=(k+2)2,解得 d=4+ ,即可得出. Sn=3n2. (2) 由于 a1>1, 可得 an=6n﹣3, 而 ﹣ =0,利用△≥0,解得 m,即可得出. , 可得 T3= =1+q+q2. q2+q+1 整理为:

【解答】解: (1)∵等差数列{an}的公差 d 为整数,且 ak=k2+2,a2k=(k+2)2,其中 k 为常 数且 k∈N*,

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∴a1+(k﹣1)d=k2+2,a1+(2k﹣1)d=(k+2)2,解得 d=4+ ,∵k=1 或 2, ∴当 k=1 时,d=6,a1=3,an=3+6(n﹣1)=6n﹣3; 当 k=2 时,d=5,a1=1,an=1+5(n﹣1)=5n﹣4. (2)∵a1>1,∴an=6n﹣3,∴Sn= ,∴T3= = =1+q+q2. ≥0,解得 m2≤ . ,∵m∈N*,∴m=1 或 2. =3n2.



整理为:q2+q+1﹣

=0,∵△=1﹣4

当 m=1 时,q2+q﹣3=0,q>0,解得 q= 当 m=2 时,q2+q=0,q>0,舍去. 综上可得:q= .

18.如图,直线 l 是湖岸线,O 是 l 上一点,弧 是以 O 为圆心的半圆形栈桥,C 为湖岸线 l 上一观景亭,现规划在湖中建一小岛 D,同时沿线段 CD 和 DP(点 P 在半圆形栈桥上且不 与点 A,B 重合)建栈桥,考虑到美观需要,设计方案为 DP=DC,∠CDP=60°且圆弧栈桥 BP 在∠CDP 的内部,已知 BC=2OB=2(km) ,设湖岸 BC 与直线栈桥 CD,DP 是圆弧栈桥 BP 围成的区域(图中阴影部分)的面积为 S(km2) ,∠BOP=θ (1)求 S 关于 θ 的函数关系式; (2)试判断 S 是否存在最大值,若存在,求出对应的 cosθ 的值,若不存在,说明理由.

【考点】在实际问题中建立三角函数模型. 【分析】 (1)根据余弦定理和和三角形的面积公式,即可表示函数关系式, (2)存在,存在,S′= (3cosθ+3 sinθ﹣1) ,根据两角和差的余弦公式即可求出.

【解答】解: (1)在△COP 中, 2 2 CP =CO +OP2﹣2OC?OPcosθ=10﹣6cosθ, 从而△CDP 得面积 S△ CDP= CP2= (5﹣3cosθ) ,

又因为△COP 得面积 S△ COP= OC?OP= sinθ,

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所以 S=S△ CDP+S△ COP﹣S 扇形 OBP= (3sinθ﹣3 cosθ0= ,

cosθ﹣θ)+

,0<θ<θ0<π,

当 DP 所在的直线与半圆相切时,设 θ 取的最大值为 θ0,此时在△COP 中,OP=1, OC=3,∠CPO=30°,CP= (2)存在,S′= (3cosθ+3 令 S′=0,得 sin(θ+ )= , sinθ﹣1) , =6sinθ0,cosθ0= ,

当 0<θ<θ0,S′>0,所以当 θ=θ0 时,S 取得最大值, 此时 cos(θ0+ )=﹣ )﹣ , ]=cos(θ0+ )cos +sin(θ0+ )sin =

∴cosθ0=cos[(θ0+

19. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆

(a>b>0) 的离心率是 e, 定义直线 y=

为椭圆的“类准线”,已知椭圆 C 的“类准线”方程为 y= ,长轴长为 4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 在椭圆 C 的“类准线”上(但不在 y 轴上) ,过点 P 作圆 O:x2+y2=3 的切线 l,过 点 O 且垂直于 OP 的直线 l 交于点 A,问点 A 是否在椭圆 C 上?证明你的结论. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意列关于 a,b,c 的方程,联立方程组求得 a2=4,b2=3,c2=1,则椭圆方 程可求; (2)设 P(x0,2 ) (x0≠0) ,当 x0= 时和 x0=﹣ 时,求出 A 的坐标,代入椭圆方程 验证知,A 在椭圆上,当 x0≠± 时,求出过点 O 且垂直于 0P 的直线与椭圆的交点,写 出该交点与 P 点的连线所在直线方程,由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的 切线,从而说明点 A 在椭圆 C 上. 【解答】解: (1)由题意得: 又 a2=b2+c2,联立以上可得: a2=4,b2=3,c2=1. ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1; = =2 ,2a=4,

(2)如图,由(1)可知, 椭圆的类准线方程为 y=±2 不妨取 y=2 , 设 P(x0,2 ) (x0≠0) , 则 kOP= ,



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∴过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y=﹣ 当 x0= 时,过 P 点的圆的切线方程为 x=

x, ,

过原点且与 OP 垂直的直线方程为 y=﹣ x,

联立

,解得:A(

,﹣

) ,

代入椭圆方程成立; 同理可得,当 x0=﹣ 当 x0≠± 时, 联立

时,点 A 在椭圆上;



解得 A1(

,﹣

) ,A2(﹣ + x0)x﹣(x0



) , x02﹣12 =

PA1 所在直线方程为(2 此时原点 O 到该直线的距离 d=

﹣6)y﹣

=0.



∴说明 A 点在椭圆 C 上; 同理说明另一种情况的 A 也在椭圆 C 上. 综上可得,点 A 在椭圆 C 上.

20.已知 a,b 为实数,函数 f(x)=ax3﹣bx. (1)当 a=1 且 b∈[1,3]时,求函数 F(x)=| 为 M(b) ) ; (2)当 a=0,b=﹣1 时,记 h(x)= |+2b+1(x∈[ ]的最大值

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①函数 h(x)的图象上一点 P(x0,y0)处的切线方程为 y=y(x) ,记 g(x)=h(x)﹣y (x) .问:是否存在 x0,使得对于任意 x1∈(0,x0) ,任意 x2∈(x0,+∞) ,都有 g(x1) g(x2)<0 恒成立?若存在,求也所有可能的 x0 组成的集合;若不存在,说明理由. ②令函数 H(x)= ,若对任意实数 k,总存在实数 x0,使得 H(x0)=k

成立,求实数 s 的取值集合. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)记 t(x)=x2﹣lnx,x∈[ ,2],求出 t(x)的范围是[ ,4﹣ln2],b

∈[1,3]时,记 v(t)=|t﹣b|+2b+1,求出函数的单调性,求出 M(b)即可; (2)①求出 h(x)的导数,求出 g(x)的表达式,结合函数的单调性求出 x0 的值即可; ②求出 H(x)的值域,根据 y= 数 y= x 在[s,+∞)递增,值域是[ ,+∞) ,若 s>e,则函 ≤ ,即

在(0,e)递增,[e,s)是减函数,其值域是(﹣∞, ],得到

s2﹣2elns≤0,①,记 u(s)=s2﹣2elns,根据函数的单调性判断即可. 【解答】解: (1)F(x)=|x2﹣lnx﹣b|+2b+1, 记 t(x)=x2﹣lnx,x∈[ ,2],则 t′(x)=2x﹣ , 令 t′(x)=0,得:x= , )上递减, ,2)上递增, )= 且 t(2)﹣t( )= ﹣2ln2>0,

<x<2 时,t′(x)<0,t(x)在( , <x<2 时,t′(x)>0,t(x)在( 又 t( )= +ln2,t(2)=4﹣ln2,t( ∴t(x)的范围是[ ,4﹣ln2],

b∈[1,3]时,记 v(t)=|t﹣b|+2b+1, 则 v(t)= ,

∵v(t)在[ 且 v( v( ∴b≤ b>

,b]上递减,在(b,4﹣ln2]递增, )=3b+ ,v(4﹣ln2)=b+5﹣ln2, ,

)﹣v(4﹣ln2)=2b+

时,最大值 M(b)=v(4﹣ln2)=b+5﹣ln2, 时,最大值 M(b)=v( )=3b+ ,

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∴M(b)=



(2)h(x)=



①h′(x)=

,h′(x0)=



∴y(x)=

(x﹣x0)+y0,

g(x)=

﹣y0﹣

(x﹣x0) ,g(x0)=0,

g′(x)=



,g′(x0)=0,

令 G(x)=g′(x)=



,G′(x)=



∴g′(x)在(0, 若 x0< x∈(x0, 若 x0>

)递减,在(

,+∞)递增,

,则 x∈(0,x0)时,g′(x)>0,g(x)递增,g(x)<g(x0)=0, )时,g′(x)<0,g(x)递减,g(x)<g(x0)=0,不符合题意, ,则 x∈( ,x0)时,g′(x)<0,g(x)递减,g(x)>g(x0)=0,

x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)递增,g(x)>g(x0)=0,不符合题意, 若 x0= ,则 x∈(0, )时,g(x)<0,x∈( }, ,+∞)时,g(x)>0,符合题意,

综上,存在 x0 满足要求,且 x0 的取值集合是{

②∵对任意实数 k,总存在实数 x0,使得 H(x0)=k 成立, ∴y=H(x)的值域是 R, y= x 在[s,+∞)递增,值域是[ ,+∞) ,

对于 y=

,y′=

,x=e 时,y′=0,

x>e 时,y′>0,在(e,+∞)递增, 0<x<e 时,y′<0,在(0,e)递减,

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若 s>e,则函数 y= 其值域是(﹣∞, ], 又 <

在(0,e)递增,[e,s)是减函数,

,不符合题意,舍去, 在(0,s)递增, ) , ,即 s2﹣2elns≤0,①,

若 0<s≤e,则函数 y= 其值域是(﹣∞, 由题意得: ≤

记 u(s)=s2﹣2elns,u′(s)=2s﹣

=



0<s< 时,u′(s)<0,u(s)在(0, )递减, s> 时,u′(s)>0,u(s)在( ,e)递增, ∴s= 时,u(s)有最小值 u( )=0, 从而 u(s)≥0 恒成立(当且仅当 s= 时,u(s)=0)②, 由①②得:u(s)=0,得:s= , 综上,实数 s 的取值集合是{ }. 选修 4-1:几何证明选讲 21.如图所示,△ABC 是⊙O 的内接三角形,且 AB=AC,AP∥BC,弦 CE 的延长线交 AP 于点 D,求证:AD2=DE?DC.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】连接 AE,通过证明∠AED=∠CAD,∠ACD=∠EAD,得到△ACD∽△EAD,即 可证明结论. 【解答】证明:连接 AE,则∠AED=∠B, ∵AB=AC, ∴∠ACB=∠B, ∴∠AED=∠ACB, ∵AP∥BC, ∴∠ACB=∠CAD, ∴∠AED=∠CAD. ∵∠ACD=∠EAD, ∴△ACD∽△EAD, ∴ ,
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∴AD2=DE?DC.

选修 4-2:矩形与变换 22.已知矩阵 M= 的属于特征值 8 的一个特征向量是 e= ,点 P(﹣1,2)在 M 对

应的变换作用下得到点 Q,求 Q 的坐标. 【考点】矩阵特征值的定义;特征向量的定义;特征向量的意义. 【分析】利用矩阵的特征值和特征向量的定义,求出矩阵,即可求 Q 的坐标. 【解答】解:由题意, ∴ ∴ ,∴a=6,b=4, , =8× ,

∴Q 的坐标是(﹣2,4) .

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2016 年 9 月 22 日

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