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[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第三讲:二维形式的柯西不等式1课时


数学研究中 , 发现一些不仅形式优美 而且具有重要应用价值 的不等式, 人 们称它们为经典不等式 , 柯西不等式 与排序不等式就属于这 样的不等式 . 通过本讲的学习 , 我们可以领略这些 不 等式 的数 学意义、几何背景、证 明方法及其应用 , 感受数学的美妙 ,提 高数学素质.

第三讲 柯西不等式与排序不等 式

一 二维形式的柯

西不等式
虎林高级中学 栾红民

探究 a 2 ? b 2 ? 2ab?a, b为实数?是我们非常 熟悉的不等式 , 它反映了两个实数的平 方和 与乘积的大小关系 .现在考虑乘积 ?a 2 ? b 2 ? ? d ? ?a, b, c, d为实数? , 它涉及到四个实 数 , 并且形式上也与平方和 有关 . 你能类比
2 2 2 2

?c

a ? b ? 2ab 的推导过程, 研究一下关于它 的不等关系吗?

展开这个乘积 ,得

?a

2

? b2 ??c 2 ? d 2 ? ? a 2c 2 ? b2 d 2 ? a 2 d 2 ? b2c 2 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

由于a c ? b d ? a d ? b c ? ?ac ? bd ? ? ?ad ? bc? ,
2 2 2 2
2

即?a ? b ??c ? d ? ? ?ac ? bd? ? ?ad ? bc? ,
2 2

而?ad ? bc? ? 0,因此

?a

2

? b ??c ? d
2 2

2

? ? ?ac ? bd ? .
2



①式中每个括号内都是两 项式, 通过后面的学

习会进一步认识二维形 式的含义 .

①式反映了 4个实数的特定数量关系 , 不仅排列

形式上规律明显 , 具有简洁、对称的美感 , 而且 在数学和物理中有重要 作用.它是柯西不等式 ?Cauchy inequality ?的最简形式,即二维形式的 柯西不等式 . 从上面的探究过程可以 发现,当且仅当ad ? bc ? 0 时,① 式中的等号成立 .于是我们有

都是实数 , 则 ?a ? b ??c ? d ? ? ?ac ? bd ? , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.
2 2 2 2 2

定理1

?二维形式的柯西不等式?若a, b, c, d

思考 你能简明地写出定理 1的证明吗?

根据二维形式的柯西不 等式, 容易得出
a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ?

?a

2

? b 2 ??c 2 ? d 2 ?

?ac ? bd ?2

?| ac ? bd |,

a2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? | a |2 ? | b |2 | c |2 ? | d |2 ?| a || c | ? | b || d |?| ac | ? | bd |.
所以, 对于任何实数 a, b, c, d , 以下不等式成立:

a ? b ? c ? d ?| ac ? bd | ,
2 2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 ?| ac | ? | bd | .

对一个代数结果进行最 简单的诠释, 往往要借助直 观的几何背景 .下面看一看柯西不等式 的几何意义 .

如图3.1 ? 1, 设在平面直角坐 y ? ?c, d ? 标系xOy中有向量? ? ?a, b ?, ? ?a, b ? ? ? ?c, d ?, ? 与? 之间的夹角 ? 为? ,0 ? ? ? ? . x O ?内积?的定 根据向量数量积 图3.1 ? 1 义, 我们有? ? ? ?| ? || ? | cos? , 所以 | ? ? ? |?| ? || ? || cos? | . 因为| cos? |? 1,
② ,得 用平面?二维?向量的坐标表示不等式

所以 | ? ? ? |?| ? || ? | . ②

| ac ? bd |? a ? b
2

2

c ? d .两边平方,
2 2

① 式与

二维向 2 得 ?ac ? bd ? ? a2 ? b2 c2 ? d 2 . ① 量相对 这是二维形式的柯西不 等式.由此可知, 应, 所以 ① 是向量形式 称之为 二 维 形 式的柯西不等式 ? 和 二维形 的不等式②的坐标表示 .如果向量 ? 中有零向量, 则ad ? bc ? 0 , 以上不等 式的柯 西不等 式取等号.如果向量? 和? 都不是零向 式.

?

??

?

量, 则当且仅当| cos? |? 1, 即向量? 和? k, 使 共线时, 以上不等式取等号 .这时存在非零实数 ? ? k? .即 ?a, b? ? k ?c, d ?.故ad ? bc ? kcd ? kcd ? 0.

从上面的分析可知 , 不等式 ② 与不等式① 有相 ②叫做 柯西不等 同的意义 , 所以我们把不等式 式 ①的向量形式. 综上所述, 得

? 设? , ? 是两 定理 2 ?柯西不 等 式的向量形式 个向量, 则 | ? ? ? |?| ? || ? | ,当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k? 时, 等号成立.

探究 试从不等式 ① 推导不等式② , 再进行反 方向的推导 , 从数形结合的角度体会 两者的等 价关系 .

例1 已知 a, b 为实数 , 证明

?a

4

?b

4

??a

2

? b ? ? ?a ? b
2 3

3 2

?.

分析 虽然 可以作乘法展 开上式的两边 , 然而再比较 它们, 但是如果 注意到这个 不等式的形式与柯西不等 式的一致性 , 就可以避免繁 杂的计算.

本例说明 , 在证明 不等式时, 联系经 典不等式, 既可以 启发证明思路, 又 可以简化运算 .所 以, 经典不等式是 数学研究的有力 工具 .
例1中哪4 个数分 别对应柯西不等 式①中的a, b, c, d ?

证明 根据柯西不等式, 有 ?a 4 ? b4 ??a 2 ? b2 ? ?

?a

2

? a ? b ? b ? ? ?a ? b
2 2 3

3 2

?.

36页习题3.1 4

例 2 求函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值.
分析 利用不等式解决极值问 题, 通常 设法在不等式一边得到 一个常数, 并寻 找不等式取等号的条件 .这个函数的解 析式是两部分的和 , 若能化为ac ? bd 的 形式就能利用柯西不 等到式求其最大 值.

解 函数的定义域为?1,5?, 且 y ? 0, y ? 5? x ?1 ? 2 ? 5 ? x
? 5 ?
2

? 2?

2

?

?

x ?1

? ??
2

5? x

?

2

? 27? 4 ? 6 3.

当且仅当 2 ? x ? 1 ? 5 ? 5 ? x 时, 等号 127 成立, 即 x ? 时函数取最大值6 3 . 27 回顾例2 的求 解过 程 , 可以体会其中式 子变形的作用 , 提高利用柯西不等式解 题的能力.

36页习题3.1 1

小结
都是实数 , 则 ?a ? b ??c ? d ? ? ?ac ? bd ? , 当且仅当ad ? bc时, 等号成立.
2 2 2 2 2

定理1

?二维形式的柯西不等式?若a, b, c, d

? 设? , ? 是两 定理 2 ?柯西不 等 式的向量形式 个向量, 则 | ? ? ? |?| ? || ? | ,当且仅当? 是零向量, 或存在实数k , 使? ? k? 时, 等号成立.

作业:36页习题3.1 3,5


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