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四川省巴中市奇章中学2014届高三五月高考模拟训练(一)试题理科数学


四川省巴中市奇章中学 2014 届高三五月高考模拟训练(一)数学理 试题 2014.5.15
注意事项: 1.本试卷共 4 页,包括选择题题(第 1 题~第 10 题) 、非选择题(第 11 题~第 21 题) 两部分.本试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、班级、学号写在答题纸内.试题的答案写在答题纸 ... 上对应题目的

答案空格内.考试结束后,交回答题纸.

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 2 1. 已知(1+ i )2=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位),则 a+b= (A)-4 (B)4 (C)-7 (D)7

? ? x2 y 2 ? ? 1? , N ? ?( x, y ) y ? k ( x ? b)? , 若 ?k ? R 2. 已知集合 M ? ?( x, y ) 9 4 ? ?
M N ? ? 成立,则实数 b 的取值范围是
(B). (??, ?3) (D). (??, ?2) (A). [?3,3] (C). [?2, 2]

(3, ??) (2, ??)

3. 某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测,甲校有学生 800 人,乙校有学生 500 人, 现用分层抽样的方法在这 1300 名学生中抽取一个样本. 已知在甲校抽取了 48 人, 则在乙校 应抽取学生人数为 (A)48 (B)36 (C)30 (D)24

4. 执行如图所示的程序框图,若输入 n=10,则输出的 S=

5 11 36 (C). 55
(A). 5. 若函数 f ? x ? =x ? ax ?
2

(B) .

10 11 72 (D) . 55

1 ?1 ? 在 ? , +? ? 上是增函数,则 a 的取值 x ?2 ?

范围是 (A)[-1,0] (B) [?1, ??) (C) [0,3] (D) [3, ??)

6. 设平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7. 如图,阴影区域是由函数 y ? cos x 的一段图象与 x 轴围成的封闭图形,那么这个阴影区 域的面积是( (A)1 ) y (B)2 O (D) π
π 2 3π x 2

π (C) 2

x2 8. 如图,F1,F2 是椭圆 C1: 4 +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、 四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 (A)

6 2

(B)

3 2

(D) 2

(D) 3

9. 已知数列{an}满足 an=an-1-an-2(n≥3,n∈N*),它的前 n 项和为 Sn.若 S9=6,S10=5,则 a1 的值为 (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2

10. 设 ? 为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从 ? 中的任意一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂 足分别为 M , N ,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x (?) ,点 N 的纵坐标的最 大值与最小值之差为 y (?) . 若 ? 是边长为 1 的正方形,给出下列三个结论: 1 ○ 2 ○ 3 ○

x(?) 的最大值为 2 ;

x(?) ? y(?) 的取值范围是 [2, 2 2] ;
x(?) ? y(?) 恒等于 0.
(B)①③ (C)②③ (D)①②③

其中所有正确结论的序号是 (A)①

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

11. ( x ? ) 的二项展开式中,常数项为
6

1 x





→ → CA=CB=2, M, N 是斜边 AB 上的两个动点, 且 MN= 2, 则 CM · CN 12. 在 Rt△ABC 中, 的取值范围为 ▲ .

? x≥0, ? 13. 在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y≥0, 所表示的平面区域是 ? ,不等式组 ? x ? y ? 8≤0 ?

?0≤x≤4, 所表示的平面区域是 ? . 从区域 ? 中随机取一点 P ( x, y ) ,则 P 为区域 ? 内 ? ?0≤y≤10
的点的概率是 ▲ . 14. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m) , 3 则该几何体的体积为 ▲ m . 15. 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a, b, c 为常数) 的导函数为 f′ (x).对任意 x∈R,不等式 f(x) b2 ≥f′ (x)恒成立,则a2+c2的最大值为 ▲ .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16.(本小题满分 12 分) 一中学毕业晚会举行移动抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中 2 奖率为3,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 P 0

(0 ? P 0 <1) ,中奖可以获得 3 分;未

中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分 数兑换奖品. (Ⅰ )刘婷选择方案甲抽奖,李军选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,若 X≤3 的概率 为

7 ,求 P0 ; 9

(Ⅱ )若刘婷、李军两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽 奖,累计得分的数学期望较大? 17.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形,∠ ACB= 90 ? ,EA⊥平面 ABCD, E EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC.AB=2EF. F G (Ⅰ)若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM∥平面 ABFE; (Ⅱ)若 AC=BC=2AE,求二面角 A-BF-C 的大小. B C A M D

18.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(cos? , 2 sin ? ) , B(sin ? , 0) ,其中 ? ? R .

2π 时,求向量 AB 的坐标; 3 π (Ⅱ )当 ? ? [0, ] 时,求 | AB | 的最大值. 2
(Ⅰ )当 ? ?

19. (本小题满分 12 分) 在无穷数列 {an } 中, a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N* , an ? an?1 . 设 m ? N ,
* *

记使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (Ⅰ)设数列 {an } 为 1,3,5,7, ,写出 b1 , b2 , b3 的值;

(Ⅱ)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } ; (Ⅲ)设 a p ? q , a1 ? a2 ?

? ap ? A ,求 b1 ? b2 ?

? bq 的值.(用 p, q, A 表示)

20.(本小题满分 13 分) x2 y2 已知椭圆 C: -1), c 为椭圆的半焦距, 且 c= 2b. 过 a2+b2=1(a>b>0)过点 P(-1, 点P作 两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (Ⅲ)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=lnx-mx(m∈R). (Ⅰ)若曲线 y=f(x)过点 P(1,-1),求曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值; (Ⅲ)若函数 f(x)有两个不同的零点 x1,x2,求证:x1x2>e2.

奇章中学 2014 届高三 5 月高考模拟训练(一) 数学(理科)试题参考答案及评分标准 2014.5
一、选择题 1.C 6.B 二、填空题 11.20 2.B 7.B 3.C 8.A 4 .A 9 .C 3 13. 4 5.D 10.D

3 12.[2,2]

14.30

15.2 2-2

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 2 (Ⅰ )由已知得,刘婷中奖的概率为 ,李军中奖的概率为 P0 ,且两人中奖与否互不影 3 响.记“这 2 人的累计得分 X≤3”的事件为 A,则事件 A 的对立事件为“X=5”, 7 1 2 2 因为 P(X=5)= ×P0 ,所以 P(A)=1-P(X=5)=1- ×P0 = ,所以 P .……6 分 0 ? 3 3 9 3 (Ⅱ )设刘婷、李军都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2, 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1), 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2). 2? 由已知可得,X1~B? 0?, ?2,3?,X2~B ? 2, P 2 4 8 所以 E(X1)=2× = ,E(X2)=2×P0 ,从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)=6 P0 . 3 3 3

8 4 8 4 ? 6 P0 ? 0 ? P0 ? .若 E(2X1)<E(3X2), 则 ? 6 P0 ? ? P0 ? 1 . 3 9 3 9 8 4 若 E(2X1)=E(3X2),则 ? 6 P0 ? P0 ? . 3 9 4 综上所述, 当 0 ? P0 ? 时, 他们都选择方案甲进行抽奖时, 累计得分的数学期望较大; 9 4 当 ? P0 ? 1 时,他们都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望较大; 9 4 当P 时,他们都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖时,累计得分的数学期望相 0 ? 9
若 E(2X1)>E(3X2), 则 等.……12 分 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 EG//AB,FG//AC, ?ACB ? 90 ,
?

所以 ?EGF ? 90 , ?ABC ∽ ?EFG .
?

因为 AB=2EF,所以 BC=2FG.

连结 AF,由于 FG//BC,FG=

1 BC . 2

在平行四边形 ABCD 中,M 是线段 AD 的中点. 则 AM//BC,且 AM=

1 BC . 2

所以 FG//AM 且 FG=AM. 所以四边形 AFGM 为平行四边形. 所以 GM//FA. 又 FA ? 平面 ABFE,GM ? 平面 ABFE. 所以 GM//平面 ABFE. (Ⅱ)因为 ?ACB ? 90 ,所以 ?CAD ? 90 .
? ?

又 EA⊥平面 ABCD,所以 AC、AAE 两两垂直. 分别以 AC、AD、AE 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设 AC=BC=2AE=2,则由题意得 A(0,0,0) ,B(2,-2,0) ,C(2,0,0) ,E(0,0, 1) , 所以 AB ? (2,?2,0) ,BC ? (0,2,0) .又 EF ? 设平面 BFC 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则

1 AB , 所以 F (1, -1, 1) ,BF ? (?1,1,1) . 2

? ? y1 ? 0, ?m ? BC ? 0, 所以 ? ? ? ? x1 ? z1 . ?m ? BF ? 0.
取 z1 ? 1 ,则 m ? (1,0,1) . 设平面 ABF 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则

? ? x2 ? y 2 , ?n ? AB ? 0, 所以 ? ? ? ?z 2 ? 0. ? N ? BF ? 0.
取 y 2 ? 1 ,则 n ? (1,1,0) . 所以 cos ? m, n ?? F

z E G A B x C M

m?n | m|?| n|

?

1 . 2
?

D

y

因此,二面角 A-BF-C 的大小为 60 . 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ )解:由题意,得 AB ? (sin ? ? cos? , ? 2 sin ? ) , 当 ? ?

????? 2 分

2π 2π 2π 1 ? 3 ? cos ? 时, sin ? ? cos ? ? sin , 3 3 3 2

???? 4 分

? 2 s i? n??

2π 6 1? 3 6 2 s i n? ? AB ? ( ,? ). 3 2 故 2 2

??? 6 分

(Ⅱ )解:因为 AB ? (sin ? ? cos? , ? 2 sin ? ) , 所以 | AB |2 ? (sin ? ? cos? )2 ? (? 2 sin ? )2 ????? 7 分 ????? 8 分 ????? 9 分

? 1 ? sin 2? ? 2sin 2 ?
? 1 ? sin 2? ? 1 ? cos 2? π ? 2 ? 2 sin(2? ? ) . 4 π π π 5π ≤ 2? ? ≤ . 因为 0 ≤ ? ≤ ,所以 2 4 4 4
所以当 2? ? 即当 ? ?

π 5π 2 2 ? 时, | AB |2 取到最大值 | AB | ? 2 ? 2 ? (? ) ? 3 ,? 10 分 4 4 2
????? 12 分

π 时, | AB | 取到最大值 3 . 2

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)解: b1 ? 1 , b2 ? 1, b3 ? 2 . (Ⅱ)解:由题意,得 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 结合条件 an ? N* ,得 an≥n . ?????? 3 分

? an ?

, ?????? 4 分

又因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm ,使得 an ≤m ? 1 成立的 n 的最大值为

bm ?1 ,
所以 b1 ? 1 , bm≤bm?1 (m ? N* ) . 设 a2 ? k ,则 k≥2 .假设 k ? 2 ,即 a2 ? k >2 , 则当 n≥2 时, an ? 2 ;当 n≥3 时, an≥k ? 1 .所以 b2 ? 1, bk ? 2 . 因为 {bn } 为等差数列,所以公差 d ? b2 ? b1 ? 0 , 所以 bn ? 1,其中 n ? N .这与 bk ? 2(k ? 2) 矛盾,
*

?????? 5 分

所以 a2 ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? a3 ?

?????? 6 分

? an ?

,所以 b2 ? 2 ,

由 {bn } 为等差数列,得 bn ? n ,其中 n ? N .
*

?????? 7 分

因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm ,所以 an ≤n , 由 an≥n ,得 an ? n . (Ⅲ)解:设 a2 ? k (k ? 1) ,因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b1 ? b2 ? ?????? 8 分

? an ?



? bk ?1 ? 1 ,且 bk ? 2 ,
?????? 9 分

所以数列 {bn } 中等于 1 的项有 k ? 1 个,即 a2 ? a1 个; 设 a3 ? l (l ? k ) ,则 bk ? bk ?1 ?

? bl ?1 ? 2 , 且 bl ? 3 ,
?????? 10 分

所以数列 {bn } 中等于 2 的项有 l ? k 个,即 a3 ? a2 个; ?? 以此类推,数列 {bn } 中等于 p ? 1 的项有 a p ? a p ?1 个. 所以 b1 ? b2 ?

?????? 11 分

? bq ? (a2 ? a1 ) ? 2(a3 ? a2 ) ?
? ?a1 ? a2 ?

? ( p ?1)(ap ? a p?1 ) ? p

? ap?1 ? ( p ?1)a p ? p ? ap?1 ? ap )

? pap ? p ? (a1 ? a2 ?
? p(q ? 1) ? A .
即 b1 ? b2 ?

? bq ? p(q ?1) ? A .

?????? 12 分

20.(本小题满分 13 分) 1 1 4 解: (1)由条件得a2+b2=1,且 c2=2b2,所以 a2=3b2,解得 b2=3,a2=4. x2 3y2 所以椭圆方程为: 4 + 4 =1. (2)设 l1 方程为 y+1=k(x+1),
?y=kx+k-1, 联立? 2 消去 y 得(1+3k2)x2+6k(k-1)x+3(k-1)2-4=0. 2 ?x +3y =4,

???????4 分

-3k2+6k+1 3k2+2k-1 因为 P 为(-1,1) ,解得 M( , ) 1+3k2 1+3k2

??????6 分

k2-6k-3 -k2-2k+3 1 当 k≠0 时,用-k代替 k,得 N( 2 , ) . 将 k=-1 代入,得 M k +3 k2+3 (-2,0) ,N(1,1) . 因为 P(-1,-1) ,所以 PM= 2,PN=2 2,

1 所以△PMN 的面积为2× 2×2 2=2. (3)解法一:设 M(x1,y1),N(x2,y2),则

?????????8 分

?x12+3y12=4, ? 2 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0, 2 ?x2 +3y2 =4,

因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0. 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1). → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 x12+y12=2. 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=±1,所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1), N(-1, 1). 所以直线 MN 的方程为 y=-x. 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1) , → → 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 y12=(x1+1)2+1. 1 又因为 x12+3y12=4,所以解得 x1=-2或-1, 1 经检验:x=-2满足条件,x=-1 不满足条件. 1 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=-2. ???????13 分

3k2+2k-1 解法二:由(2)知,当 k≠0 时,因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 = 1+3k2 -k2-2k+3 - , k2+3 化简得 4k (k2-4k-1)=0,解得 k=2± 5. ??????10 分 1 5 1 5 1 若 k=2+ 5,则 M(-2, 2 ) ,N(-2,- 2 ) ,此时直线 MN 的方程为 x=-2. 1 5 1 5 1 若 k=2- 5,则 M(-2,- 2 ) ,N(-2, 2 ) ,此时直线 MN 的方程为 x=-2. 当 k=0 时,M(1,-1) ,N(-1,1) ,满足题意,此时直线 MN 的方程为 x+y=0. 1 综上,直线 MN 的方程为 x=-2或 x+y=0. 21.(本小题满分 14 分) 解: (1)因为点 P(1,-1)在曲线 y=f(x)上,所以-m=-1,解得 m=1. 1 因为 f ′ (x)=x -1,所以切线的斜率为 0, 所以切线方程为 y=-1.????????????4 分 1-mx 1 (2)因为 f ′ (x)=x -m= x . ①当 m≤0 时, x∈(1,e), f ′ (x)>0,所以函数 f (x)在(1,e)上单调递增,则 f (x) max =f (e)=1-me. ?????????13 分

1 1 ②当m≥e,即 0<m≤e时,x∈(1,e), f ′ (x)>0,所以函数 f (x)在(1,e)上单调递增, 则 f (x)max= f (e)=1-me. 1 1 1 1 ③当 1<m<e,即e<m<1 时,函数 f (x)在 (1,m)上单调递增,在(m,e)上单调递减, 1 则 f (x) max=f (m)=-lnm-1. ????????7 分

1 ④当m≤1,即 m≥1 时,x∈(1,e), f ′ (x)<0,函数 f (x)在(1,e)上单调递减,则 f (x) max =f (1)=-m. ?????????9 分 1 综上,①当 m≤e时,f (x)max=1-me; 1 ②当e<m<1 时,f (x)max=-lnm-1; ③当 m≥1 时,f (x)max=-m. 分 (3)不妨设 x1>x2>0.因为 f (x1)=f (x2)=0,所以 lnx1-mx1=0,lnx2-mx2=0, 可得 lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1-lnx2=m(x1-x2). 要证明 x1x2>e2,即证明 lnx1+lnx2>2,也就是 m(x1+x2)>2. lnx1-lnx2 lnx1-lnx2 2 x1 2(x1-x2) 因为 m= ,所以即证明 > ,即 lnx > . x1-x2 x1-x2 x1+x2 x1+x2 2 ??????????12 分 2(t-1) x1 令x =t,则 t>1,于是 lnt> . t+1 2 2(t-1) (t-1)2 1 4 令?(t)=lnt- (t>1) ,则? ′ (t)= t - = >0. t+1 (t+1)2 t(t+1)2 2(t-1) 故函数?(t)在(1,+∞)上是增函数,所以?(t)>?(1)=0,即 lnt> 成立. t+1 所以原不等式成立. ???????14 分 ??????????10


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