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相似三角形辅助线


相似三角形中的辅助线: 在添加辅助线时,所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形,或得到成比 例的线段或出等角,等边,从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主 要的辅助线有以下几种: 1 作平行线 ○ 例题:如图,D 是△ABC 的 BC 边上的点,BD:DC=2:1,E 是 AD 的 中点,求:BE:EF 的值. 解法一:过点 D 作 CA 的平行线交 BF

于点 P,则
BP BD PE DE ? ? 2, ? ?1 , PF DC FE AE

∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以 BE=5EF ∴BE:EF=5:1.
DQ DA ? ? 2, EF EA

解法二:过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q, 则

BE ? BF ? EF BF BC ? ? 3, ? 3DQ ? EF ? 6 EF ? EF ? 5EF, DQ DC

∴BE:EF=5:1.

解法三:过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S,

1 解法四:过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T, 则DT ? CT ? DC , 2 BE BT 5 ∵BD=2DC ∴ ∴BE:EF=5:1. ? ; BT ? DC , EF TC 2

练习:如图,D 是△ABC 的 BC 边上的点,BD:DC=2:1,E 是 AD 的 中点, 连结 BE 并延长交 AC 于 F, 求 AF: CF 的值. (答案 2: 3)

解法一:过点 D 作 CA 的平行线交 BF 于点 P, 解法二:过点 D 作 BF 的平行线交 AC 于点 Q, 解法三:过点 E 作 BC 的平行线交 AC 于点 S, 解法四:过点 E 作 AC 的平行线交 BC 于点 T,

例题 1:如图,在△ABC 的 AB 边和 AC 边上各取一点 D 和 E,且使 AD=AE, DE 延长线与 BC 延长线相交于 F,求证: BF BD ? (证明:过点 C 作 CG//FD 交 AB 于 G) CF CE (该题关键在于 AD=AE 这个条件怎样使用.由这道题还可以增加一种证 明线段相等的方法:相似、成比例.) 例题 2:如图,△ABC 中,AB<AC,在 AB、AC 上分别截取 BD=CE,DE,BC 的延长线相交于点 F,证明:AB·DF=AC·EF. 分析:证明等积式问题常常化为比例式,再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相 似,因而要通过两组三角形相似,运用中间比代换得到,为构造相似三角形,需添加平 行线。. 方法一: 过 E 作 EM//AB, 交 BC 于点 M, 则△EMC∽△ABC (两角对应相等, 两三角形相似) . 方法二:过 D 作 DN//EC 交 BC 于 N.

例题 3: 在△ABC 中, D 为 AC 上的一点, E 为 CB 延长线上的一点, BE=AD,DE 交 AB 于 F。求证:EF×BC=AC×DF 证明:过 D 作 DG∥BC 交 AB 于 G,则△DFG 和△EFB 相似, DG DF DG DF ∴ ∵BE=AD,∴ ? ? BE EF AD EF DG AD DG BC ? ? 由 DG∥BC 可得△ADG 和△ACB 相似,∴ 即 BC AC AD AC ∴EF×BC=AC×DF.

例题 4:已知点 D 是 BC 的中点,过 D 点的直线交 AC 于 E,交 BA 的延长 AE 线于 F,求证: AF ? BF EC 分析:利用比例式够造平行线,通过中间比得结论 . (或利用中点”倍长中线”的思想平移线段 EC,使得所得四条线段分 别构成两个三角形.) 例题 5: 已知: 在等腰三角形 ABC 中, AB=AC, BD 是高, 求证: BC2=2AC·CD 分析:本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题;让它归属一条线段, 找到这一线段 2 倍是哪一线段.

例题 6;已知: 从直角三角形 ABC 的 直角顶点 A 向斜边 BC 引垂线, 垂足为 D,边 AC 的中点为 E,直线 ED 与边 AB 的延长线交于 F,求 证:AB:AC=DF:AF 分析:利用前两题的 思想方法,借助中点构造中位线,利用平行 与 2 倍关系的 结论,证明所得结论. 找到后以比例式所在三角 形与哪个三角形相似. 例题 7:如图,△ABC 中,AD 是 BC 边上中线,E 是 AC 上一点,连接 ED 且交 AB 的延长线于 F 点.求证:AE:EC=AF:BF. 分析:注意观察图形的 特殊性,有些像全等中,旋转的基本图形,因 此可以没有相互关系的 成比例的四条线段转化为成比例的四条线段 (通过全等找相等的线段)关键是要把成比例线段放在两个三角形中. 例题 8:如图,平行四边形 ABCD 中,E 为 AB 边中点,点 F 在 AD 边上,且 AF:FD=1:2,EF 交 AC 于 G,求 AG:GC 的 值

(构造线段相等转化比例式) 例题 9:在?ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 是 AD 上一点,过 C 作 CF∥AB, 延长 BP 交 AC 于 E,交 CF 于 F,求证:BP?=PE·PF 分析:在同一直线上的三条线段成比例,可以通过中间比转化,也可以 通过线段相等,把共线的线段转化为两个三角形中的线段,通过相似证 明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系, 有利于证明.

例题 10:如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC、BD 交于 O 点,BA、CD 的 延长线交于 E 点,连结 EO 并延长分别交 AD、BC 于 N、M 求证: BM=CM AN AO AD EA AN ? ? ? ? MC OC BC EB BM (证明线段相等的又一方法) 2 作垂线 ○ 例题 1:如图从 ABCD 顶点 C 向 AB 和 AD 的延长线引垂线 CE 和 CF, AB ? AE ? AD ? AF ? AC2 垂足分别为 E、F,求证: 证明:过 B 作 BM⊥AC 于 M,过 D 作 DN⊥AC 于 N AB ? AE ? AC ? AM (1) ∴ AM:AE=AB:AC

(1)+(2)得

AB ? AE ? AD ? AF ? AC ? AM ? AC ? AN ? AC( AM ? AN) ?ADN ? ?BCM

例题 2:?ABC 中,AC=BC,P 是 AB 上一点,Q 是 PC 上一点 (不是中点),MN 过 Q 且 MN⊥CP,交 AC、BC 于 M、N,求证: PA : PB ? CM : CN 证明:过 P 作 PE⊥AC 于 E,PF⊥CB 于 F,则 CEPF 为矩形 ∴ PF // EC ∵ ∠A=∠B=45° ∴RtΔ AEP=RtΔ PFB ? AP : PB ? PE : PF ∵ EC=PF ∴ ∴ PA ? PE ? PE (1) PB PF EC 在Δ ECP 和Δ CNM 中 CP⊥MN 于 Q ∴ ∠QCN+∠QNC=90°又 ∵ ∠QCN+∠QCM=90° ∴∠MCQ=∠CNQ ∴RtΔ PEC∽RtΔ MCN ∴ EP ? EC 即 EP ? CM (2) CM CN EC CN 由(1)(2)得 PA ? CM
PB CN

3 作延长线 ○ 例 1. 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,若∠BCD 的平分线 CH⊥AB 于点 H, BH=3AH,且四边形 AHCD 的面积为 21,求△HBC 的面积。 分析:因为问题涉及四边形 AHCD,所以可构造相似三角形。把问题转化 为相似三角形的面积比而加以解决。 解:延长 BA、CD 交于点 P ∵CH⊥AB,CD 平分∠BCD ∴CB=CP,且 BH=PH ∵BH=3AH ∴PA:AB=1:2 ∴PA:PB=1:3 ∵AD∥BC ∴△PAD∽△PBC ∴S△PAD:S△PBC ? 1 : 9 1 ∵ S△ PCH ? S△ PBC ∴ S△PAD ? S四边形AHCD ? 2: 7 ∵ S四边形AHCD ? 21 2 1 ∴ S△PAD ? 6 S△PBC ? 54 ∴ S△ HBC ? S△ PBC ? 27 2 例 2. 如图,RtABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,E 为 CD 的中点,AE 的延 长线交 BC 于 F,FGAB 于 G,求证:FG=CF·BF 分析: 欲证式即 FG ? CF 由“三点定形”, Δ BFG 与Δ CFG 会相似吗? BF FG 显然不可能。 (因为Δ BFG 为 RtΔ ),但由 E 为 CD 的中 点,∴可设法构造一个与Δ BFG 相似的三角形来求解。 不妨延长 GF 与 AC 的延长线交于 H,则 AF ? FG ? FH FG ? FH AE ED EC ED EC 又 ED=EC ∴FG=FH 又易证 RtΔ CFH∽RtΔ GFB CF FH ∴FG·FH=CF·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF·BF ?
FG BF

4 作中线 ○ 例题 1: 如图, 中, AB⊥AC, AE⊥BC 于 E, D 在 AC 边上, 若 BD=DC=EC=1, 求 AC. 解: 取 BC 的中点 M, 连 AM ∵AB⊥AC ∴ AM=CM ∴∠1=∠C 又 BD=DC ∴∠DBC=∠DCB ∴∠CAM=∠C=∠DBC ∴Δ MAC∽Δ DBC MC AC 1 ∴ 又 DC=1 MC= BC ∴ AC ? MC ? BC ? 1 BC 2 (1) ?
DC BC 2 DC 2

又 RtΔ AEC∽RtΔ BAC 又 ∵ EC=1 ∴ AC 2 ? CE ? BC ? BC 由(1)(2)得, AC ? 1 AC 4 ∴ AC ? 3 2
2

(2)

小结:利用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形相似,取 BC 中点 M,构造Δ MAC∽Δ DBC 是解题关键


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