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高考数列,所有类型,经典中的经典


数列第二轮复习专题
等差和等比数列 1.已知正项数列 {an } ,满足 Sn ? (2)设 bn ?

an (an ? 1) ; (1)求证 {an } 为等差数列; 2

n 1 1 , Tn ? ? bk ,求证: ? Tn ? 1 2Sn 2 k ?1

2. (2006 年福建)已知数列{a n }

满足 a 1 =1,a n ?1 =2a n +1(n∈N ? ) (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 4 1 4 2 4 3 ? 4 n (Ⅲ)证明:
b ?1 b ?1 b ?1 b ?1

? (an ? 1)bn (n∈N*),证明:{bn}是等差数列;

a n 1 a1 a 2 n ? < ? ? ? ? n < (n∈N*). 2 3 a 2 a3 a n ?1 2

3.2011 浙江) ( 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 a( a ? R ),设数列的前 n 项和为 S n , 且

1 1 , , a1 a2

1 成等比数列 a4
(1)求数列 {an } 的通项公式及 S n (2)记 An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ... ? ? ? ? ... ? , Bn ? ? ? ,当 n ? 2 时,试比较 An 与 Bn 的大小. a1 a2 a22 a2n S1 S2 S Sn 3

4. (2012 陕西)设 ? an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (1)求数列 ? an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

递推数列 类型一 an ?1 ? an ? f (n) 和 a n ?1 ? f (n)a n 累加和累乘法 1 例 1. 在数列 ?a n ? 中 a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? ln(1 ? ) (n ? N *) ,求 a n . n
例 2.设 ?a n ? 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)a n ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0 (n ? 1,2,3,?) ,求 a n .
2 2

1 作业:已知数列 ?a n ? 满足 Sn ? (1)求通项 an ;

3 an ? 1 2

(2)数列 ?bn ? 满足 b1 ? 5, bn ?1 ? bn ? an ,求 bn 2 作业(2004 全国Ⅰ) .

1) 已知数列 {an }中a1 ? 1 ,且 a2k ? a2k -1 ? (- , a2k ?1 ? a2k ? 3 , 其中 k=1,2,3,…….
k
k

(I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 【解析】解: (I)a2=a1+(-1)1=0, a3=a2+31=3. a4=a3+(-1)2=4, (II) a2k+1=a2k+3k = a2k-1+(-1)k+3k, 所以 a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k, - - 同理 a2k-1-a2k-3=3k 1+(-1)k 1, …… a3-a1=3+(-1). 所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1) - - =(3k+3k 1+…+3)+[(-1)k+(-1)k 1+…+(-1)], 由此得 a2k+1-a1=

a5=a4+32=13, 所以,a3=3,a5=13.

3 k 1 (3 -1)+ [(-1)k-1], 2 2

于是 a2k+1=

3 k ?1 1 3k 1 3k 1 ? (?1) k ? 1. a2k= a2k-1+(-1)k= ? (-1)k-1-1+(-1)k= ? (-1)k=1. 2 2 2 2 2 2
n ?1 2

∴{an}的通项公式为: 当 n 为奇数时,an= 3
? (?1)
n ?1 2

2
n

1 ? ? 1; 2

2 当 n 为偶数时, an ? 3 ? (?1) 2 ? 1 ? 1. 2 2

n

类型二 例 3. (2007 年全国Ⅰ卷)

an?1 ? pan ? q

已知数列 ? an ? 中 a1 ? 2 , an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) , n ? 1 2,…. ,3, (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 中 b1 ? 2 , bn ?1 ?

3bn ? 4 , n ? 1 2,…,证明: 2 ? bn ≤ a4 n ?3 , n ? 1 2,…. ,3, ,3, 2bn ? 3

变式①:递推式: a n ?1 ? pan ? f ?n ? 。 变式②: a n ?1 ? pan ? q
n

或 an ?1 ? pan ? rq

n

1 作业(2006 全国Ⅰ)设数列 ? an ? 的前 n 项的和 Sn ?

4 1 2 a n ? ? 2n?1 ? , n ? 1, 2,3,? 3 3 3

(1)求首项 a1 与通项 an ;
n 2n 3 (2)设 Tn ? , n ? 1, 2,3,? ,证明: ? Ti ? Sn 2 i ?1

2 作业(2006 年山东文)已知数列{ a n }中, a1 ?

1 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3…. 、点(n、an ?1 ? an) 2 2

(1)令 bn ? a n ?1 ? a n ? 3, 求证数列?bn ?是等比数列;

的通项; (2)求数列 ?a n ?

、 (3)设 S n、Tn 分别为数列 ?a n ? ?bn ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ?
存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? S n ? ?Tn ? ? 为等差数列?若 n ? ?

类型三

an? 2 ? pan?1 ? qan

待定系数法:先把原递推公式转化为 an ? 2 ? sa n?1 ? t (an ?1 ? sa n ) 其中 s,t 满足 ? 例 1(2006 福建文)已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ).
*

?s ? t ? p ?st ? ?q

(1)证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ? 1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列。

【解】 (I)证明:? an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2( an ?1 ? an ), ? a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an ?1 ? 2( n ? N * ). an ?1 ? an

??an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
(II)解:由(I)得 an ?1 ? an ? 2 (n ? N ),
n *

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1
? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
(III)证明:? 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ? 1)bn ,

? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn , ? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1.
②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? (n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ ④ ① ②

nbn? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 nbn ? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0, 即 bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。
例 2. 2013 广一模文) ( 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 2, a2 ? 8, Sn ?1 ? 4Sn ?1 ? 5Sn (n ? 2) ,Tn 是 数列 {log 2 an } 的前 n 项和. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求 Tn ; (3)求满足 (1 ?

1 1 1 1010 )(1 ? ) ? ... ? (1 ? ) ? 的最大正整数 n 的值. T2 T3 Tn 2013

【解析】 (1)∵当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? 4Sn ? 1 ? 5Sn , ∴ S n ? 1 ? S n ? 4 S n ? S n ?1 . ∴ an ?1 ? 4an . ∵ a1 ? 2 , a2 ? 8 , ∴ a2 ? 4a1 . ……………3 分

?

?

……………1 分 ……………2 分

∴数列 an 是以 a1 ? 2 为首项,公比为 4 的等比数列. ∴ an ? 2 ? 4
n ?1

? ?

? 22 n ? 1 .
2n ?1

……………4 分

(1) 解:由(1)得: log 2 an ? log 2 2

? 2n ? 1 ,

……………5 分

∴ Tn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? ? ? log2 an

? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1?

……………6 分

?

n ?1 ? 2n ? 1? 2

……………7 分

? n2 .
(3)解: ? 1 ?

……………8 分

? ?

1 ?? 1? ? ?1 ? ? ? ? T2 ? ? T3 ? ? ?

? 1? ? ?1 ? ? ? Tn ? ? ?

? 1 ?? 1? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 2 ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ?

? 1 ? ?1 ? 2 ? n ? ?

……………9 分

?

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 n2 ? 1 ? ? ??? 22 32 42 n2
1 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ? ? ? n ? 1? ? n ? 1? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? n 2
……………10 分

?

?

n ?1 . 2n

……………11 分



n ? 1 1010 4 ,解得: n ? 287 . ? 2013 7 2n

……………13 分 ……………14 分

故满足条件的最大正整数 n 的值为 287 . 例 3.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an? 2 ? 【解】由 an? 2 ?

2 1 an?1 ? an ,求 a n 。 3 3

2 1 an?1 ? an 可转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 3 3 2 ? 1 ?s ? 1 ? ?s ? t ? 3 ? ? ?s ? ? ?? 即 a n ? 2 ? ( s ? t )a n ?1 ? stan ? ? 3 1 或? 1 t?? ? ?t ? 1 ?st ? ? 3 ? ? ? 3 ? 1 ?s ? 1 ? ? ?s ? ? 这里不妨选用 ? , 3 ,大家可以试一试) 1 (当然也可选用 ? ?t ? ? 3 ?t ? 1 ? ?

则 a n? 2 ? an?1 ? ? (a n?1 ? a n ) ? ?an?1 ? an ? 是以首项为 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 ?

1 1 的等比数列, 3 3 1 所以 an?1 ? an ? (? ) n?1 ,应用类型 1 的方法,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 3 代入上式得 (n ? 1) 个等式累加之, 1 1 ? (? ) n?1 1 0 11 1 n?2 7 3 1 3 即 an ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) 又? a1 ? 1 ,所以 a n ? ? (? ) n?1 。 ? 1 3 3 3 4 4 3 1? 3
点评: a n ? 2 ? pan ?1 ? qan 可以变形为 a n ? 2 ? ? ? a n ?1 ? ? ? (a n ?1 ? ? ? a n ) 的形式,就是

?? ? ? ? p a n ? 2 ? (? ? ? )a n?1 ? ? ? ? ? a n ,则可从 ? 解得 ? , ? ,于是数列 ?a n?1 ? ? ? a n ? 是公比为 ? 的等 ?? ? ? ? ? q
比数列,就转化为前面的类型。 类型四 a n ?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

取倒数

例 1.已知正项数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 且 an ?1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ? 3

(n ? 1)an , 2n an ? n

例 2(2011 广东)设 b>0,数列 {a n } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , an ?

b n ?1 ?1 . 2n ?1

例 3. (2006 年江西理)已知数列 {an } 满足: a1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式;

3nan ?1 3 (n ? 2, n ? N *) ,且 an ? 2an ?1 ? n ? 1 2

(2)证明:对于一切正整数 n,不等式 a1 ? a2 ? a3 ? an ? 2 ? n !

类型五、逐差法 例 1.(2013 广州一模) 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,且 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? (n ? 1) S n ? 2n(n ? N *) . (1)求数列 {a n } 的通项公式;

(2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断 a p ? 1, aq ? 1, ar ? 1 是否成等比数列?并说明理由. 例 2.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 ,点 P (an , an ?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 数列 ? bn

? 满足 nb1 ? ? n ? 1? b2 ? ??? ? 2bn?1 ? bn ? ? ?

?1? ?3?

n ?1

?1? ?? ? ?3?

n?2

1 ? ??? ? ? 1 , n ?N? . 3

(Ⅰ)求数列 ? an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? ?anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 解: (Ⅰ)由点 P (an , an ?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,所以 an ?1 ? an ? 1 . 则数列 ? an ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 an ? n .

?1? 由 nb1 ? ? n ? 1? b2 ? ??? ? 2bn ?1 ? bn ? ? ? ?3?
则 ?n ? 1?b1 ? ?n ? 2?b2 ? ? ? bn ?1 两式相减得:

n ?1

?1? ?? ? ?3?

n?2

1 ? ??? ? ? 1 , 3

?1? = ? ? ?3?

n? 2

1 ? ? ? ? 1 ,( n ? 2 ) 3

1 1 b 1 ?b2 ? ? ? bn ? ( )n?1 , n ? 2 .即数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ? ( ) n ?1 , n ? 2 . 3 3 1 n ?1 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ,所以 S n ? ( ) . 3
? 1, (n ? 1) 1 n ?1 1 n ?2 2 1 n?2 ? 当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? ( ) ? ( ) . ? ? ? ( ) .所以 bn ? ? 6 3 3 3 3 ?? 3n , (n ? 2) ? ? ?1, ( n ? 1) ? (Ⅱ)因为 cn ? ?anbn ,所以 cn ? ? 6n . ? 3n , ( n ? 2) ?
当 n ? 1 时, Tn ? T1 ? ?1 , 当 n ? 2 时,

6? 2 6?3 6? 4 6? n 2 3 4 n ? 3 ? 4 ? ? ? n ? ?1 ? 6( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ) . 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 4 n 1 2 3 4 n ?1 n 令 T ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ,则 T ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? n ?1 , 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 (1 ? n ?2 ) 5 1 1 n 2 2 1 1 1 n 2 27 n 3 两式相减得: T ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 ? ? ? n ?1 ? ? ? n ? n?1 , 1 18 2 3 3 3 3 3 3 3 3 9 3 1? 3
设 Tn ? ?1 ?

5 3 1 1 n ? ? ? ? . 12 4 3n 2 3n 2 3 4 n 5 3 1 1 n 3 1 9 3n 因此 Tn ? ?1 ? 6( 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ) ? ?1 ? 6( ? ? n ? ? n ) ? ? ? n ? n , n ? 2 . 3 3 3 3 12 4 3 2 3 2 2 3 3 3 1 9 3n 又 n ? 1 时, T1 ? ?1 也满足上式,故 Tn ? ? ? n ? n . 2 2 3 3
所以 T ? 3. (2006 年陕西)已知正项数列 ? an ? ,其前 n 项和 Sn 满足 10 Sn ? an ? 5an ? 6 且 a1 , a3 , a15 成等比数列,
2

求数列 ? an ? 的通项 an . 【解】: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.

类型六 an?1 ? an ? pn ? q 或 a n ?1 ? a n ? pq 解法:这种类型一般可转化为 ?a 2 n?1 ?与 ?a 2 n ? 是等差或等比数列求解。

n

例 1. (1)在数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ?1 ? 6n ? a n ,求 a n (2)在数列 {a n } 中, a1 ? 1, a n a n ?1 ? 3 ,求 a n
n

例 1. (2005 重庆文) 数列 {a n }满足a1 ? 1且8a n ?1 a n ? 16 a n ?1 ? 2a n ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ? (1)求 b1、b2、b3、b4 的值; (2)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {a n bn } 的前 n 项和 S n . 【解】法一:

1 1 an ? 2

(n ? 1).

13 20 7 1 8 3 1 ? ; a ? , 故b3 ? ? 4; a4 ? , 故b4 ? . ? 2; a2 ? , 故b2 ? 7 1 3 3 4 3 1 1 20 3 8 ? ? 1? 8 2 4 2 2 4 4 2 8 4 2 4 2 4 2 4 4 4 (II)因 (b1 ? )(b3 ? ) ? ? ? ( ) , (b2 ? ) ? ( ) , (b1 ? )(b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列. 3 3
(I)a1 ? 1, 故b1 ?

1

因 an ? 2 , (否则将 a n ? 2 代入递推公式会导致矛盾)

故an ?1 ?

5 ? 2a (n ? 1). 16 ? 8an

因bn ?1 ?

4 1 4 16 ? 8an 4 20 ? 16an ? ? ? ? ? , 3 a ? 1 3 6an ? 3 3 6an ? 3 n ?1 2 4 2 8 20 ? 16an 4 4 2(bn ? ) ? ? ? ? bn ?1 ? , b1 ? ? 0, 1 3 3 a ? 6an ? 3 3 3 n 2 4 故 | bn ? | 确是公比为q ? 2 的等比数列. 3 1 n 4 4 2 4 1 因b1 ? ? , 故bn ? ? ? 2 n , bn ? ? 2 ? (n ? 1) 由bn ? 3 3 3 3 3 3
故S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn
1 (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 1 (1 ? 2 n ) 5 ? 3 ? n 1? 2 3 1 n ? ( 2 ? 5n ? 1) 3 ?

1 an ? 1 2

得a n bn ?

1 bn ? 1, 2

解法二: (Ⅰ)由 bn ?

1 an ? 1 2

得a n ?

1 1 ? , 代入递推关系8a n ?1 a n ? 16 a n ?1 ? 2a n ? 5 ? 0, bn 2

整理得

4 6 3 4 ? ? ? 0,即bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1bn bn ?1 bn 3

8 20 由a1 ? 1, 有b1 ? 2, 所以b2 ? , b3 ? 4, b4 ? . 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ), b1 ? ? ? 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列, 故 3 3

4 1 n 1 4 ? ? 2 , 即bn ? ? 2 n ? (n ? 1). 3 3 3 3 1 1 由b n ? 得a n bn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2 故S n ? a1 b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn bn ? 1 (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 1 (1 ? 2 n ) 5 ?3 ? n 1? 2 3 1 ? (2 n ? 5n ? 1). 3 ?
解法三: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) b2 ? b1 ?

2 4 8 2 8 4 , b3 ? b2 ? , b4 ? b3 ? , ? ? ( ) 2 3 3 3 3 3 3

2 1 猜想{bn ?1 ? bn }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列, bn ?1 ? bn ? ? 2 n 3 3 5 ? 2a n 又因a n ? 2, 故a n ?1 ? (n ? 1).因此 16 ? 8a n

bn ?1 ? bn ?

1 a n ?1 ? 1 2

?

1 an ? 1 2

?

1 2 ? 5 ? 2a n 1 2a n ? 1 ? 16 ? 8a n 2

?

16 ? 8a n 10 ? 8a n 6 ? ? ; 6a n ? 3 6a n ? 3 6a n ? 3

bn ? 2 ? bn ?1 ?

1 an?2 ? 1 2

?

1 a n ?1 ? 1 2

?

16 ? 8a n ?1 16 ? 8a n ? 6a n ?1 ? 3 6a n ? 3

?
因b2 ? b1 ?

36 ? 24 a n 16 ? 8a n 20 ? 16 a n ? ? ? 2(bn ?1 ? bn ). 6a n ? 3 6a n ? 3 6a n ? 3

2 1 ? 0,{bn?1 ? bn }是公比q ? 2的等比数列, bn?1 ? bn ? ? 2 n , 3 3

从而 bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1

1 ? (2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ? ? 21 ) ? 2 3 1 n 1 4 ? (2 ? 2) ? 2 ? ? 2 n ? (n ? 1). 3 3 3 1 1 由bn ? 得a n bn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2 故S n ? a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn

类型七 非线性递推数列 例 1. (2006 年山东理)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 bn=

1 1 2 ? ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1. a n an ? 2 3Tn ? 1

例 2. (2005 江西理)已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a0 ? 1, an ?1 ? (1)证明 a n ? a n ?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {a n } 的通项公式 an. 21.解: (1)方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a0 ? 1, a1 ?

1 an (4 ? an ), n ? N . 2

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2

∴ a 0 ? a1 ? 2 ,命题正确. 2°假设 n=k 时有 a k ?1 ? a k ? 2. 则 n ? k ? 1时, a k ? a k ?1 ?

1 1 ak ?1 (4 ? ak ?1 ) ? ak (4 ? a k ) 2 2

1 ? 2(a k ?1 ? a k ) ? (a k ?1 ? a k )( a k ?1 ? a k ) 2 1 ? (a k ?1 ? a k )( 4 ? a k ?1 ? a k ). 2
而 a k ?1 ? a k ? 0. 又 a k ?1 ?

4 ? ak ?1 ? ak ? 0,

? ak ? ak ?1 ? 0.

1 1 a k (4 ? a k ) ? [4 ? (a k ? 2) 2 ] ? 2. 2 2 ∴ n ? k ? 1时命题正确.
由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 a n ? a n ?1 ? 2. 方法二:用数学归纳法证明:

1°当 n=1 时, a0 ? 1, a1 ?

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , ∴ 0 ? a0 ? a1 ? 2 ; 2 2

2°假设 n=k 时有 a k ?1 ? a k ? 2 成立,

1 x(4 ? x) , f (x) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 2 1 1 1 有: f (a k ?1 ) ? f (a k ) ? f (2), 即 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2
令 f ( x) ? 也即当 n=k+1 时

ak ? ak ?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有ak ? ak ?1 ? 2
1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2 2

(2)下面来求数列的通项: a n ?1 ?

2(a n ?1 ? 2) ? ?(a n ? 2) 2
n ?1 1 2 1 1 2 1 1 1 22 2n 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn?1 ? ? (? bn?2 ) 2 ? ? ? ( ) 2 bn?1 ? ? ? ?( )1? 2??? 2 bn , 2 2 2 2 2 2 n n 1 1 又 bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2 ?1 ,即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2 2

例 3. (重庆 2005 理) 数列{an}满足 a1 ? 1且a n ?1 ? (1 ?

1 1 )an ? n (n ? 1) . n ?n 2
2

(Ⅰ)用数学归纳法证明: an ? 2(n ? 2) ; (Ⅱ)已知不等式 ln(1 ? x) ? x对x ? 0成立, 证明 : a n ? e 2 (n ? 1) ,其中无理数 e=2.71828…. 【解】(Ⅰ)证明: . (1)当 n=2 时, a 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 a k ? 2(k ? 2), 那么 a k ?1 ? (1 ?

1 1 )a k ? k ? 2 . 这就是说,当 n ? k ? 1时不等式成立. k (k ? 1) 2

根据(1)(2)可知: a k ? 2对所有n ? 2 成立. 、 (Ⅱ)证法一: 由递推公式及(Ⅰ)的结论有 a n?1 ? (1 ? 两边取对数并利用已知不等式得 ln a n ?1

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? 2 ? n )a n .( n ? 1) n ?n 2 n ?n 2 1 1 ? ln(1 ? 2 ? ) ? ln an n ? n 2n
2

? ln a n ?

1 1 1 1 ? n ? n . 故 ln a n ?1 ? ln a n ? n(n ? 1) 2 n ?n 2
2

(n ? 1).

上式从 1 到 n ? 1 求和可得

ln a n ? ln a1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n ?1 1? 2 2 ? 3 (n ? 1)n 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 2 n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2. ? 1? ? ( ? ) ??? ? ? ? 1 2 2 3 n ?1 n 2 n 2n 1? 2 1?
即 ln a n ? 2, 故a n ? e 2 (Ⅱ)证法二: 由数学归纳法易证 2 ? n(n ? 1)对n ? 2 成立,故
n

(n ? 1).

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? an ? n(n ? 1) n(n ? 1) n ?n 2
2

(n ? 2).

令 bn ? a n ? 1

(n ? 2), 则bn ?1 ? (1 ?

1 )bn n(n ? 1)

(n ? 2).

取对数并利用已知不等式得

ln bn ?1 ? ln(1 ?

1 ) ? ln bn n(n ? 1)

? ln bn ?

1 n(n ? 1)

(n ? 2). 1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

上式从 2 到 n 求和得

ln bn ?1 ? ln b2 ?

? 1?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1. 2 2 3 n ?1 n
(n ? 2).

因 b2 ? a 2 ? 1 ? 3.故 ln bn ?1 ? 1 ? ln 3, bn ?1 ? e1?ln 3 ? 3e

故 a n ?1 ? 3e ? 1 ? e 2 , n ? 2, 又显然a1 ? e 2 , a 2 ? e 2 , 故a n ? e 2 对一切n ? 1 成立.

类型

归纳猜想法

例 1. (2006 年全国 2) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,…. (1)求 a1,a2; (2) n}的通项公式. {a 【解】 :(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2

1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= . 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 由①可得 S3= . 4 n 由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,…. n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立. k (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= , k+1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立. n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立. n+1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 n {an}的通项公式 an= ,n=1,2,3,…. n+1 ……12 分 n-1 n 1 - = , n n+1 n(n+1) ……10 分 k+1 1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2 ……8 分

二、练习: 2、 已知数列 ?a n ? 中 a1 ? 1 , a n ?1 ? a n ?

1 3n?1

(n ? N *) ,求 a n .

3、已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a n ? a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) , 求 an . 4、已知数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , a n ?1 ? ( 2 ? 1)( a n ? 2) , n ? 1,2,3,? ,求 a n . 5、设数列 ?a n ? 满足 a1 ? a , a n ?1 ? can ? 1 ? c , (n ? N *) ,其中 a , c 为实数,且 c ? 0 ,求数列 {a n } 的通项公式. 公式. 6、在数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 , a n ?1 ? ?a n ? ?
n ?1

? (2 ? ? )2 n (n ? N *) ,其中 ? ? 0 ,求数列 ?a n ?的通项

7、已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 1, a 2 ?

5 5 2 , a n ? 2 ? a n ?1 ? a n ( n ? 1,2,? ),求数列 {a n } 的通项公式. 3 3 3

8、已知数列 ?a n ? 中 a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a n ?1 ? (1 ? q)a n ? qan?1 ( n ? 2 , q ? 0 ),求数列 {a n } 的通项公式. 9、已知数列 ?a n ? 的 a1 ?

3a n 3 , a n ?1 ? n ? 1,2,? ,求 ?a n ? 的通项公式. 2a n ? 1 5

10、已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , a 2 ? ?2 , a n ? 2 ? ? 三、练习题答案: 1

1 (n ? N *) ,求 a100 . an

a n = 2 ? ln n

(n ? N *)

2

1 1 a n = (7 ? n ?1 ) (n ? N *) 6 3

3

?1 n ?1 ? a n = ? n! ?2 n ? 2 ?
(提示:在递推关系式两边同时加 nan ,构造出 (n ? 1)a n ? a n ?1 (n ? 2) )

4 6

a n = 2[( 2 ? 1) n ? 1] (n ? N *) a n = (n ? 1)?n ? 2 n an = 3 ?

5

a n = (a ? 1)c n?1 ? 1 (n ? N *)

(n ? N *)
(提示: bn ? 3 ?

7

2n 3 n ?1

2n ) (n ? N *) 3 n ?1

8

? 1 ? q n ?1 ?1 ? an = ? 1? q ? n ?
an =

q ?1 q ?1

9

3n 3n ? 2

(n ? N *)

(提示:取倒数构造等差数列)

10

a100 =

1 (提示:以 4 为周期) 2

数列与不等式
1. (2008 年陕西).已知数列 {an } 的首项 a1 ?

3an 3 , an ?1 ? , n ? 1, 2,? 5 2an ? 1

(1)求 {an } 的通项公式; (2)证明:对任意的 x ? 0, an ?

1 1 2 ? ( n ? x).n ? 1, 2,? ; 2 1 ? x (1 ? x) 3

(3)证明: a1 ? a2 ? ? ? an ?

n2 . n ?1
2

2. (2007 四川理)已知函数 f ( x) ? x ? 4 ,设曲线 y ? f (x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线与 x 轴的交点为

( xn?1 , 0)(n ? N* ) ,其中 x1 为正实数.
(Ⅰ)用 xn 表示 xn ?1 ; (Ⅱ)求证:对一切正整数 n, xn ?1 ? xn 的充要条件是 x1 ? 2 。 (Ⅲ)若 x1 ? 4, 记 an ? lg

xn ? 2 ,证明数列 {an } 成等比数列,并求数列 { xn } 的通项公式. xn ? 2


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