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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.2.2半角的正弦、余弦和正切课件


3.2.2

3.2.2
【学习要求】

半角的正弦、余弦和正切

1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公
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式的过程. 2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值 和恒等式的证明. 【学法指导】 α 1.已知角 α 的某三角

函数,用半角公式可求 的正弦、余弦、 2 正切值,思路是先由已知利用同角三角函数公式求出该角 的余弦值,再用半角公式求解.

3.2.2

2.确定半角的正弦、余弦、正切无理表示式前符号的原则 (1)如果没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正负两
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个符号. α (2)若给出角 α 的具体范围,则先求 所在范围,然后再根据 2 α 所在范围选用符号. 2

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.2

1.半角公式:
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(1)S a :sin 2

α ± = 2

α ± (2)C a :cos = 2 2

α ± (3)T a :tan = 2 2 sin α 1-cos α = 1+cos α = sin α (有理形式).

1-cos α 2 ; 1+cos α 2 ; 1-cos α 1+cos α (无理形式)

填一填·知识要点、记下疑难点

3.2.2

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2.半角公式变形: 1-cos α 2α (1)sin = ; 2 2 α 1+cos α (2)cos2 = ; 2 2 1-cos α 2α (3)tan = 1+cos α . 2

研一研·问题探究、课堂更高效

3.2.2

探究点一
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半角公式的推导与应用 α α α 问题 1 试用 cos α 表示 sin 、cos 、tan . 2 2 2 2α 2α 2α 答 ∵cos α=cos -sin =1-2sin , 2 2 2 1-cos α 2α 2α ∴2sin 2=1-cos α,∴sin 2= , 2
α ∴sin =± 2 1-cos α ; 2
2α 2α

1+cos α ∵cos α=2cos 2-1,∴cos 2= , 2

α ∴cos =± 2

1+cos α ; 2

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3.2.2

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1-cos α sin 1-cos α 2 2 α 2 ∵tan = α=1+cos α=1+cos α, 2 cos2 2 2


α ∴tan =± 2

1-cos α . 1+cos α

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1-cos α α sin α 问题 2 证明 tan = = . 2 1+cos α sin α α α 2sin cos 2 2 sin α α 答 ∵ = =tan , α 2 1+cos α 2 2cos 2 α sin α α 1-cos α ∴tan = ,同理可证 tan = . 2 1+cos α 2 sin α
1-cos α α sin α ∴tan 2= = sin α . 1+cos α

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探究点二 半角公式的符号选择

3.2.2

α 问题 已知角 α 所在的象限,如何确定角 所在的区域(试用图 2 中序号来表示)?
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α (1)若 α 为第一象限角,则 的终边落在区域 2

①⑤ ;
α (2)若 α 为第二象限角,则 的终边落在区域 2

②⑥ ;
α (3)若 α 为第三象限角,则 的终边落在区域 ③⑦ ; 2 α (4)若 α 为第四象限角,则 的终边落在区域 ④⑧ . 2

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探究点三 如何用 tan α 表示 sin α,cos α,tan α 2

3.2.2

α 问题 设 tan =t, t∈R, 试用含 t 的代数式表示 sin α, α, α. cos tan 2 α α 2sin cos 2 2 α α 解 sin α=2sin 2cos 2= 2α 2α 本 cos 2+sin 2
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α 2tan 2 2t = α=1+t2; 1+tan2 2

cos 2-sin 2 1-tan 2 1-t2 α α cos α=cos22-sin22= α α= α=1+t2; cos22+sin22 1+tan22 α 2tan 2 sin α 2t tan α= = = . cos α α 1-t2 1-tan2 2







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[典型例题] 例 1 求值: π (1)sin ;(2)cos 22° 30′;(3)tan 67° 30′. 12
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3.2.2

π 3 1-cos 1- 2- 3 6 2 π 解 (1)sin = = = 12 2 2 2 8-4 3 ? 6- 2?2 6- 2 = = = . 4 4 4
1+cos 45° = 2 2 1+ 2+ 2 2 = . 2 2

(2)cos 22° 30′=

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? 1-?- ? ? ? 1+?- ? ?

3.2.2
2? ? 2? ? 2? ? 2? ?

(3)tan 67° 30′=
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1-cos 135° = 1+cos 135°



2+ 2 = 2- 2

?2+ 2?2 2+ 2 = = 2+1. ?2- 2??2+ 2? 2

θ 小结 若 θ 为特殊角,求 的三角函数值时,常选用半角公式 2 的无理形式求值.求值时,注意把二次根式化成最简形式,能 开方的要开方.

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3.2.2 研一研·问题探究、课堂更高效 π π π 跟踪训练 1 求值:(1)sin ;(2)cos 15° ;(3)cot -tan . 8 8 8 π 2 1-cos 4 1- 2 2- 2 π 解 (1)sin 8= = 2 2 = 2 . 3 1+ 1+cos 30° 2+ 3 2 (2)cos 15° = = = 2 2 2 8+4 3 ? 6+ 2?2 6+ 2 = = = . 4 4 4 π π 1+cos 1-cos 4 4 π π (3)cot 8-tan 8= π - π sin sin 4 4
π 2cos 4 2 = = =2. π 2 sin 4 2

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3.2.2 研一研·问题探究、课堂更高效 1 α α α 例 2 已知 cos α= ,α 为第四象限角,求 sin 、cos 、tan . 3 2 2 2 1 1- 1-cos α 3 α 3 解 sin =± =± =± , 2 2 2 3 1 1+3 1+cos α α 6 cos 2=± =± 2 2 =± 3 .
1 1-3 1-cos α α 2 tan 2=± =± 1=± 2 . 1+cos α 1+ 3 α ∵α 为第四象限角,∴ 为第二、四象限角. 2 α α 3 α 6 α 当2为第二象限角时,sin2= 3 ,cos2=- 3 ,tan2=- α α 3 α 6 α 当 为第四象限角时,sin =- ,cos = ,tan =- 2 2 3 2 3 2

2 2; 2 . 2

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3.2.2

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小结 在运用半角公式时,要注意根号前符号的选取,不能确 θ 定时,根号前应保持正、负两个符号,而对于 tan ,还要注 2 1-cos θ θ sin θ 意运用公式 tan = = 来求值. 2 1+cos θ sin θ

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3 θ 跟踪训练 2 已知 cos θ=- ,且 180° <θ<270° ,求 tan . 5 2 θ θ 解 ∵180° <θ<270° ,∴90° <135° < ,∴tan <0, 2 2
θ ∴tan 2=- 1-cos θ =- 1+cos θ
? 3? 1-?-5? ? ? ? 3?=-2. 1+?-5? ? ?

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x? sin 2x ? ?1+tan xtan ?=tan x. 例 3 证明: 2? 2cos x? 2sin xcos x? sin x 1-cos x? ? ? 证明 方法一 左边= 2cos x ?1+ × sin x ? cos x ? ? ? 1-cos x? sin x ? ? =sin x?1+ ?=cos x=tan x=右边. cos x ? ? x tan x-tan 2 sin 2x 方法二 左边= × ? 2cos x x? tan?x-2? ? ? x sin 2 2sin xcos x = · 2cos x x x cos x cos · tan 2 2 sin x = =tan x=右边. cos x 故原等式成立.

3.2.2

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3.2.2

小结 “切化弦”是三角恒等变换中常用的方法之一.证明三
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角恒等式或化简三角函数式时,常常要进行函数名的统一或角 的统一.

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1 跟踪训练 3 求证: = sin 2α. 1 α 4 α-tan2 tan 2 cos2α cos2α 证明 方法一 左边= α α = 2α 2α cos2 sin2 cos 2-sin 2 α- α α α sin cos sin cos 2 2 2 2 α α α α 2 2 cos αsin cos cos αsin cos 2 2 2 2 = α α= cos α 2 2 cos 2-sin 2 α α 1 =sin2cos2cos α=2sin αcos α 1 = sin 2α=右边.∴原式成立. 4 cos2x

3.2.2

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3.2.2

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cos2α 方法二 左边= 1+cos α 1-cos α - sin α sin α cos2α 1 1 = = sin αcos α= sin 2α=右边. 2cos α 2 4 sin α
∴原式成立.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.2

1. tan 22.5° 的值为
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( D ) 3-1 B. 2 D. 2-1

A. 3-1 2-1 C. 2
解析

2 1-cos 45° 1- 2 tan 22.5° = = = 2-1. sin 45° 2 2

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3π 1 1 1 1 2. 已知 π<θ< ,则 + + cos θ等于 2 2 2 2 2 θ θ A.sin B.cos 4 4 θ θ 本 C.-sin D.-cos 4 4 课 时 3π π θ 3π π θ 3π 栏 解析 ∵π<θ< 2 ,∴2<2< 4 ,4<4< 8 , 目 开 θ θ 关 ∴cos 2<0,sin 4>0, 1 1 1 1 θ 2 θ 原式= cos 2= 2+2 2-2cos 2 ? θ? θ 2θ = sin =?sin 4?=sin . 4 ? 4 ?

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( A )

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3.2.2 练一练·当堂检测、目标达成落实处 4 3π α α α 3.已知 sin α=- ,π<α< ,求 sin ,cos ,tan . 5 2 2 2 2 3π π α 3π 解 ∵π<α< ,∴ < < . 2 2 2 4 4 3 又∵sin α=- ,∴cos α=- . 5 5 ? 3? 1-?-5? 1-cos α α ? ? 2 5 则 sin 2= = = 5 , 2 2 3 1- 1+cos α 5 α 5 cos =- =- =- , 2 2 2 5 α sin 2 α tan = =-2. 2 α cos 2 1-cos α α sin α (另解:tan 2= = sin α =-2) 1+cos α

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.2

1.半角公式前面的正负号的选择 (1)如果没有给出决定符号的条件,则要保留根号前的正负号; α (2)若给出角 α 的具体范围时,则根号前的符号由角 所在象限 2 确定; (3)若给出的角 α 是某一象限的角时,则根据下表确定符号: α α α α sin cos tan α 2 2 2 2 第一象限 第一、三象限 +、- +、- 第二象限 第一、三象限 +、- +、- 第三象限 第二、四象限 +、- -、+ 第四象限 第二、四象限 +、- -、+ + + - -

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练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.2.2

1+cos α 1-cos α 2α 2.半角公式的三个变式:cos = ,sin = , 2 2 2 2 本 1-cos α 2α 课 tan = .在实际进行三角函数的化简、求值、证明 2 1+cos α 时


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时经常用到.


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