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【南方凤凰台】2014届高考数学(理)二轮复习专题检测评估 专题二 第2讲 立体几何综合问题


第 2讲
一、 填空题

立体几何综合问题

1. (2013· 上海卷改编)若两个球的表面积之比为1∶4,则这两个球的体积之比 为 .

(第2题) 2. 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,O为底面正方形ABCD的中心,则 三棱锥B1 BCO的体积

VB1 -BCO

=

.

9π 3. (2013· 天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 2 ,

则正方体的棱长为

.

4. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦 值等于 .

5. 已知一圆柱的侧面展开图是长和宽分别为3π和π的矩形,则该圆柱的体积 是 .

1

(第6题) 6. 如图,已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,一质点自点A出 发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为 cm.

7. 如图,用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的容积 是 .

(第7题) 8. (2013· 湖北卷)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时, 用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸, 盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是 寸.

(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体
1 积公式是V台体= 3 h(S+ SS' +S'),其中S',S分别为上、下底面面积,h为台体高)

二、解答题 9. (2013· 上海卷)如图,正三棱锥O ABC底面边长为2,高为1,求该三棱锥的体积及 表面积.

2

(第9题) 10. 已知四棱锥S ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAB是等边三角 形,侧面SCD是以CD为斜边的直角三角形,E为CD的中点,M为SB的中点. (1) 求证:CM∥平面SAE; (2) 求证:SE⊥平面SAB; (3) 求三棱锥S AED的体积.

(第10题) 11. 如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠
1 PAD=90° ,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=AB=BC= 2 AD.

(1) 求证:CD⊥平面PAC; (2) 侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明; 若不存在,请说明理由.

(第11题)
3

4

第2 讲
1. 1∶8
2 2. 3

立体几何综合问题

3.
2 4. 3

3

3π 2 9π 2 5. 4 或 4

6. 13
3π 3

7. 8. 3

9. 由已知条件可知,正三棱锥O ABC的底面△ABC是边长为2的等边三角形, 经计算得S△ABC= 3 .
1 3 VOABC 3 所以该三棱锥的体积 = × 3 ×1= 3 .

设O'是正三角形ABC的中心.
3 由正三棱锥的性质可知,OO'⊥平面ABC.延长AO'交BC于D,得AD= 3 ,O'D= 3 .又 2 3 因为OO'=1,所以正三棱锥的斜高OD= 3 ,
1 2 3 故侧面积为 2 ×6× 3 =2 3 .
5

所以该三棱锥的表面积 SOABC = 3 +2 3 =3 3 .
3 因此,所求三棱锥的体积为 3 ,表面积为3 3 .

10. (1) 取SA的中点N,连接MN,
1 因为M为SB的中点,N为SA的中点,所以MN∥AB,且MN= 2 AB. 1 又E为CD的中点,所以CE∥AB,且CE= 2 AB.

所以MN∥CE,且MN=CE, 所以四边形CENM为平行四边形, 所以CM∥EN. 又EN?平面SAE,CM?平面SAE,所以CM∥平面SAE. (2) 因为侧面SCD是直角三角形,∠CSD为直角,E为CD的中点,所以SE=1. 又SA=AB=2,AE= 5 ,所以SA2+SE2=AE2, 则ES⊥SA. 同理可证ES⊥SB. 因为SA∩SB=S,所以SE⊥平面SAB.
1 1 1 1 3 3 VSAEB VESAB V (3) SAED = 2 =2 = 2 × 3 × 4 ×4×1= 6 .

11. (1) 因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD. 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD. 而CD?底面ABCD,所以PA⊥CD.

6

1 2 在底面ABCD中,因为∠ABC=∠BAD=90°,AB=BC= 2 AD,所以AC=CD= 2 AD,所以AC⊥

CD. 又因为PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC. (2) 在PA上存在中点E,使得BE∥平面PCD. 证明如下:设PD的中点是F,
1 连接BE,EF,FC,则EF∥AD,且EF= 2 AD.

(第11题) 由已知∠ABC=∠BAD=90°,所以BC∥AD.
1 又BC= 2 AD,所以BC∥EF,且BC=EF,

所以四边形BEFC为平行四边形,所以BE∥CF. 因为BE?平面PCD,CF?平面PCD,所以BE∥平面PCD.

7



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