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2013年全国高中数学联赛河北赛区预赛(高三)


中 等 数 学 

2 0 1 3 年全国高中数学联赛河北赛 区预赛 ( 高三 )  
中图 分 类号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献 标 识 码 :A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 4— 0 0 3 0— 0 4  




r />填空题 ( 每小题 8分 , 共6 4 分)  

1 O . ( 1 4分) 如图 1 , 在直三棱柱 A B C— A   B   C  
中, 已知  B A C= 9 0 。 , A B= 口 , A C=2 , A A  =1 , 点  D在棱 日 l   C , 上, 且 1 D: D C l = 1 : 3 .   ( 1 ) 证 明: B D上 A   C ;  

1 . 已知集合 

A = { 1 , 1 o ,   ) ,  
B={ Y l Y= l g  ,  ∈ A } .   则  n  = — — .   2 . 已知 复 数 z满 足 z+I   z   I =2+i . 则  =  

( 2 ) 当 口为何值 时 , 二面角  — A 。 D—  。 的大 
小为 6 0 。 ?  
C  

3 . 某科技创新大赛设有 一 、 二、 三等奖 ( 参 与  活动 的均有 奖 ) , 且 相应 奖项 获奖 的概率 是 以 n  
为首项 、 2为公 比的等比数列 , 相应 的奖金依 次是  以7 0 0元 为首项 、 一 1 4 0元为公差的等差数列. 则 
C  

参加此次大赛获得奖金的期望是— — 元.  
4 . c o s   7 5 。 +C O S   1 5 。+C O S   7 5 O   o C O S   1 5 。=
— —

l 冬 I   1  

.  

1 1 . ( 1 4分 ) 已知数列 { 口   } 满足 
0 l=2, 0 2=3,   2 a   + 1 =3 a  一0  


5 . 定义在 R 上 的 函数 f (  ) 满足f ( 1 )= 2 ,  

且对任意的   ∈R , 均有   (   ) < ÷. 则不等式 
f ( 1 。 g  ) >  坠  的解集 为 



( n >2 I ) .  

求( 1 ) 数列 { 口   } 的通项公式 口   ;   ( 2 ) 使 不等 式  Ⅱ n+l 一
数 m的值.  
1 2 . ( 1 4分 ) 在椭 圆中 , 称 过焦点且垂 直于 长 
,  

<   成 立 的所有 正整  j 

6 . 已知O0的方程为  + Y   =1 , 点A ( 1 , 0 ) .  
在o0 上取动点  , 设点 P满,  ̄ z A P=  O B   (  ∈ R)  

H _ A P? A B=1 . 则点 P的轨迹方程为— —_ .  
7 . 已知 z   , z   , …, z   o 0 为 1 0 0条共 面且不 同的 

轴的直线被椭圆所截 的弦为椭 圆的“ 通径” . 如 图 
2 , 已知椭圆  +   =1  a>6 >0 ) 的左 右焦 点分 
0  D  

直线. 若其中编号 为 4   ( k∈ Z+ ) 的直 线互 相平 
行, 编号为 4 k 一 1的直线均 过点  , 则这 1 0 0条直  线 的交点个数最多为 

别为 F   、  , 其离心率为  , 通径长为 3 .  
,  

8 . 已知过正 四面 体  : A , A  的四个 顶 点分 
/ 一一一  

别作 四个相 互平行 的平 面 。 、  、  、  . 若每 相 
邻 两个平面 间的距离 均为 1 , 则该 四面体 的体 积 
为— — .  



/ /  F   /  
一  



 

二、 解答题 ( 共8 6 分)   9 . ( 1 4分) 设△ A B C的  A 、   B、   C所 对  的边分别为 口 、 b 、 C , 且2 a c o s   C= 2 b — C . 求 
( 1 )   A的大小 ;  

\\
~   —



M 

图2  

( 1 ) 求椭 圆的方程.   ( 2 ) 过点 F 。 的直线与椭 圆交 于点 A 、 日, , I 、 , 2  

( 2 ) 当口 =1 时, 6 + c 的取值 范围.  

2 0 1 4年第 4期 

3 1  

分别 为△ F 。  F : 、 △F 。 A   的内心 , 延长 B   与椭  圆交 于点  , 求 四边形 。 , 2  , 。 的面积 与△  日  
的 面积 的 比值 P .  

5 0 0 ( 兀) ?  

4 . ÷ .  
C O S   7 5 。+c o 8 2 1 5 。+ C o s   7 5 。 . c 0 s   1 5 。   =C O 8   7 5 。+s i n   7 5 。+s i n   1 5 。 . c o s   1 5 。  

( 3 ) 在  轴上是否存在定点 C , 使C  ? C 雪 为常 

数? 若存在 , 求点 C的坐标 ; 若不存在 , 说 明理 由.  
1 3 . ( 1 5分 ) 已知 函数 
,  



、  

3 0 。 = 丢 .  
5 . 0<   <2 .  

) = f   0 一 ÷l e h +   ( 口 ∈R ) .  
、   ,  

( 1 ) 若f ( 戈 ) 在 区间 ( 一∞, 0 ) 上单 调递 增 , 求  实数 0的取值 范围 ;   ( 2 ) 若在 区间 ( 0 , +∞) 上, 函数 f (  ) 的图像  恒在曲线 Y= 2 a e   下方 , 求实数 0的取值范围.  
1 4 . ( 1 5 分) 设 
A=  4+2 x 3一  2—5   +3 4
.  

令g (  ) = 2 f (  ) 一   .  
由  , (   ) <   1  
j  2 f   (  )一1< 0   g   (  )< 0 .  

因此 , g (  ) 在 R上 为减 函数.  
注意到 ,  

求使 A为完全平方数 的整数 的值.  

g ( 1 ) = 2 厂 ( 1 ) 一1 = 3 .  

参 考 答 案 


又, ( 1 。 g :  ) >  
g ( 1 o g 2   )> g ( 1 ) .  

j   2 f / 1 o g 2  ) 一 l o g 2   x > 3 , 则 



1 .{ 1} .  

由题意知 
=  

由g (  ) 的单调性得 

l g   1 0  ? g   )  

l o g 2   <1  

0<   <2 .  

6 . Y  =2 x 一1 .  



{ 0 , 1 , 一1 } .  

设点 P (  , y ) . 则由   :  

(   ∈ R) , 得 

从而, A   nB={ 1 } .  

2 丢+ i .  
设z =  + i (   ∈ R) . 贝 Ⅱ  

(  - 1 ) , 砂 ) (   =  
将坐标式代入  . A — B: 1得 


+ i +、 /   _ 『: 2 + i  
j  +   =2   =   3  

k =  
又点  在 O0上 , 则 

① 

(  一1 ) 。 + k 2 y   1 .  

=  

② 

+i .  

联立 式① 、 ②消去 k 得Y   = 2 x一 1 .  
7 . 4   3 5 1 .  

3 . 5 0 o .  

由题 意 , 知 1 0 0条 直 线 任 意 两 条 的组 合 有  c  种方式 . 故这 1 0 0条直线的交点个数最多为 
c   一c   5一c   5+l=4   3 5 1 .  

设获得 的奖金为 元. 则  = 7 0 0 , 5 6 0 , 4 2 0 .  
由题意知 

P (  = 7 0 0 ) = 口 , P (  = 5 6 0 )= 2 a ,  
P (  = 4 2 0 )= 4 a .   由7  : 1 , 得。 =   .  
8 .  
j  

.  

如图 3 , 将正 四面体补 成一个 正方 体 ,  , 、  
分别 是 A  。 、 C 。 D  的 中 点 , 则面 髓 。 D 。 D 和 面 

故 骘 = 7 0 0 ×   1 + 5 6 o ×  + 4 2 o × 等  

B B 。 F   F是两个平行平 面 , 其距离是 1 .  

3 2  
D .  
A  

中 等 数 学 
F 。   C   ( f 4   )  

 ̄A 1 D=、  孺
5 1 . S  ̄ 。=   1   5  
c  =

:   4  

.  

詈 , 则  
× 

C  A  

A  


× 

3_ _ a   .

解得 0=   ’/  
I 冬 I   3   I 羽4  
.  

如图4 , 设正方体的棱长为 a , A . M= MN= 1 . 则 


号 ,   =  

=  .  

从而 , 当口=   时, 二面角  — A 。 D—   为6 0 。 .  
1 1 . ( 1 ) 由2 a   + l = 3 a   一 a   一 l , 知  2 ( a   + l — a   ) = a   一 a   一 1 .  

由A i Dl ? A1 E l = / 4 l M? Dl El , 得  =   .  

从 而 ,   四 面  l ^ . = 口 3 — 4   x   1 。 3 = 学.  
二、 9 . ( 1 ) 由2 a c o s   C= 2 b — c , 得 

则数列 { 。   一 口   一 。 } 是以口 : 一 。 。 = l 为首项 、   1  
为公 比的等  数 列.  

s i n  ? c 0 s   c+ ÷s i n   c= s i n   B  
=s i n ( A+C)=s i n   A? C O S   C+C O S   A? s i n   C .  

于是 , a  一a   一  

累加得 a   = 4  

则÷s i n   C = c 0 s   A ? s i n   c .  
( 2 ) 由( 1 ) 知所求不等式 即为 

而s i n   C # 0 , 于是, c o s   A= ÷.  
又 0<   A< 7 c , 从而 ,   :   .  
  一


.  

/1、  一   一  




【  J   一 
,【  
2  

, )  

2  
。 

/1、  一 。  
2   .  

< 了。  

4 一 【  

一 

( 2 ) 由( 1 ) 及余 弦定理得 


显然 , m> 14无 解 .  





b 。+c 。一2 6 c c 0 s  

从而 , 易得 ( m, n ) =( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , ( 3 , 2 )  
1 2 . ( 1 ) 由旦 =   1 得 口: 2 c .  


(  )   =   + 3 6 c ≤ t + 3 (  )  
b+c ≤2 .  

a 

又通径 长为 3 , 将  = c 代人椭圆方程得 




又b + C > a= 1 , 故b + C 的取值范围为( 1 , 2 ] .  

1 O . 作D E ∥A 。 B   与A   c   交于点 E . 则 
D E上 Al C1 .  

6 ‘ |   -- i  
n 

b 2 2 :3 j。 l .    
一 —

a 

解得 a = 2 , b = , / 3.  

由直三棱柱 A B C— A I B   C 。 知  平面  C   上平 面 A 。 C .  

从 而 , 椭 圆 的 方 程 为 等 + 予 = 1 .  
( 2 ) 设△ F   B F 2 的 内切圆的半径为 r . 则 
5 △   日 ,   :   ( 1 日 F   l +1  F 2   l +I   F 。 F 2   I ) r :3 r ,  
S /  ̄ F I , F2 -  


故D E上平 面  c .  

联结 A E . 则A E为 B D在平面 A 。 C上 的射影.  
在矩形 。 C   中, 计算得 A E_ - A   C .   由三垂线定理得 B D上 A . C .   ( 2 ) 作 。  - 上 -  。  , 垂 足为 , , 联结 日   则 
BF


1   I F
l  

I   r:r .  

LA l D,  

B F B   为二面角 曰一 A 。 D一 曰 。 的平面角.  

故   寺 
腿   寺 

于 是 ,B F B i : 6 0 。 , B l F : 拿.  

2 0 1 4年第 4期 

3 3  

从而 , p:  
F  7 B  

=   .

由题意知 g ( x ) < 0 在区间( 0 , +∞) 上恒成立.  
注意到 ,   g   (  )=( 2 a一 1 ) e  一 2 a e   +1  


( 3 ) 假 设 在  轴 上存 在 定 点 C ( n , 0 ) , 使 得 
C  ?   为常数.  
设直线 l B u :   =m y+1 .  
f x = mY + 1.  

( e   一 1 ) [ ( 2 口一 1 ) e   一 1 ] .  

( i ) 若口 > ÷, 当  充分大时, g (   ) 也充分大,  
不符合题意.  
. 

联立方程{ I 3   ,   一   2 =0 得  +4 y 2—1
( 3 m   + 4 ) ) ,   + 6 m y一 9: 0 .   设点 B(   。 , Y 。 ) , M(  , ) ,   ) . 从而 ,  
6 m  9   Y   J +Y 2   一— 3 2—+4’ Y l Y 2   一— 3 2—+4 ‘   m m

( i i ) 若口 ≤÷, 则有 2 a 一 1 ≤ 0 , 此时, 在区间  
( 0 , +∞) 上 恒有 g   (  )< 0 , 从而 , g (  ) 在 区间 

( 0 , +∞) 上是减函数.   要使 g ( x ) < 0 在 区间( 0 , +。 o ) 上恒成 立 , 只  
需满足  g ( 0 ) =一 。 一   ≤0   j口 ≥一 了 1
. 

贝 0 (   1 一 n ) (   2 一 n ) = ( m y l + 1 一 凡 ) ( m y 2 + 1 一 n )   : m   Y l y 2 +, n ( 1 一 n ) ( Y l + Y 2 ) +( 1 一 n ) 2  
9 m2

一  3
= 一  



 

2+4   , 扎

3 , 扎 2+4  

+( -n )   。   1 ¨  

3 m2 n 2—1 2  

+4n 2—8 n +4   ‘  

于 是 , 口 ∈ [ 一   1 ,   】 .   综 合 ( i ) 、 ( i i ) , 知 当Ⅱ ∈ 【 一   I ,   】 时 , 函 数  
) 的图像恒在直线 Y= 2 a e   的下方.  
1 4 . 注意到 ,  
A=(   +  一1 )  一 3 ( x—l 1 ) .  

3 m +4  

故  . 一 C B:(   一 n ) (   : 一 n )+ y 。 y :  
3 m  n  一1 2 m +4 n  一8 n一5  
3 m +4  
2   ^

8 n一1 1  
.  

= 

一 斗 一 ——  — 一

jm 。+4 1  

所以, 当   =1 1 时, A= 1 3 1  是完全平方数.   因为  ?   为常数 , 所以, 当n =   时,  
?   =

接 下来证 明 : 没有其 他整数  满足要求.  
( 1 ) 当 >1 1 时, 有 A<(  +  一 1 )   .  
又 A一(   +  一 2 )  一  + 3 0> 0 , 于是 ,  
A>(   +  一2 )   .  

(   )   一   1 3 5 .  

因 此 , 在   轴 上 存 在 定 点 c (   , o ) , 使  ? 一 C B  
为常数.  

从而, (  +  一 2 )  < A<(  +  一1 ) 2 .   又因为  ∈ Z, 所以, A不是完全平方数.   ( 2 ) 当 戈< 1 1 时, 有 A>(  +  一 1 ) 2 .   令 A= y 2 ( Y∈ Z ) . 则 
l yl >I x  +   一1   I   l yI 一1≥ I x  +   一1   I  

1 3 . ( 1 ) 由   ) 在 区间( 一∞ , 0 ) 上单 调递增 ,  
知在 区间 ( 一 ∞, 0 ) 上均有 
,   (  ) =( 2 a一 1 ) e  +1   >0 i .  

故1 — 2 n ≤   .   而当   ∈( 一。 。, 0 ) 时,   1>1故 


y Z 一 2   l y l + 1 ≥(  +  一 1 )  

=  一 3 ( x一 1 1  — 2   I x   +  一1   I + 1   > 1 0 .  

1—2 a≤ 1  

aI >0 .  


解 此不等式得  的整数值为 ± 3 、 ± 2 、 ± 1 、 0 、  
4 、 一 5 , 但它们对应 的 A均不是完全平方数.   综上 , 使  为完全平方数 的整数  的值为 l 1 .   ( 张生春 提供 )  

( 2 ) 令g ( x ) = , (  ) 一 2 a e  
=  

) e h  e   帆  


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