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湖北省襄阳市老河口市第一中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


湖北省老河口市第一中学 2014-2015 学年度高二下学期期末考试 理科数学试题
注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
评卷人 得分 一、选择题(本大题共 10 题,每题 5 分,共计 50 分)

1.下列命题中是假命题的是( ). A.自然

数集是非负整数集 B.复数集与实数集的交集是实数集 C.实数集与虚数集的交集是 错误!未找到引用源。 D.纯虚数集与实数集的交集为空集 ).

2.命题“对任意的错误!未找到引用源。 ”的否定是 ( A.不存在错误!未找到引用源。 B.存在错误!未找到引用源。 C.存在错误!未找到引用源。 D.对任意的错误!未找到引用源。

3.中国古代“五行”学说认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木、木克土、土克 水、水克火、火克金”,将这五种不同属性的物质任意排成一列,属性相克的两 种物质不相邻的排列共( ) A.60 种 B.24 种 C.50 种 10 种
n

4.随机变量ξ 的概率分布列为 P(ξ =n)=a( ) (n=0.1.2),其中 a 为 错误!未找到引用源。 常数,列 P(0.1<ξ <2.9)的值为 A、 . 错误!未找到引用源。 C、 错误!未找到引用源。 5.在复平面内,若复数 错误!未找到引用源。 B、 错误!未找到引用源。 D、 错误!未找到引用源。 对应的向量为错误!未找到引用源。 ,复数错

,则向量错误!未找到引用源。对应 误!未找到引用源。对应的向量为错误!未找到引用源。 的复数是( )

-1-

A. 1

B. 错误! 未找到引用源。

C. 错误! 未找到引用源。

D. 错

误!未找到引用源。 6.已知复数错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,则复数错误!未找到引用源。 的共轭复数为( A. 错误!未找到引用源。 ) B. 错误!未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 D.

错误!未找到引用源。 7.幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从 二楼到三楼用 8 步走完,则方法有( ) A.45 种 B.36 种 C.28 种 D.25 种 8.已知椭圆 C: 的离心率为 .双曲线错误!未找 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 到引用源。的渐近线与椭圆 C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭 圆 C 的方程为( ) B. 错误! 未找到引用源。 C. 错误! 未找到引用源。 D. 错

A. 错误! 未找到引用源。 误!未找到引用源。

9.已知函数 f(x)=

-cosx,若

,则( C. f(a)=f(b)

) D. f(a)f(b)>0

A. f(a)>f(b) B. f(a)<f(b)

10.已知双曲线

的两焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,∠F1PF2 的平分线分线段

F1F2 的比为 5 :1,则双曲线离心率的取值范围是

A. (1,

]

B. (1,



C. (2,

]

D. (

,2]

-2-

第 II 卷(非选择题)
评卷人 得分 二、填空题(本大题共 5 题,每题 5 分,共计 25 分)

11.已知抛物线错误!未找到引用源。过其焦点错误!未找到引用源。的直线交抛物线于错 误!未找到引用源。两点,过错误!未找到引用源。中点错误!未找到引用源。作 错误!未找到引用源。轴垂线交错误!未找到引用源。轴于点错误!未找到引用源。,若错误! ,则 = 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 12.车间有 11 名工人,其中 5 名是钳工,4 名是车工,另外 2 名老师傅既能当钳工又能当车 工.现要从这 11 名工人中选派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,则有____种选派方法. 13.9 粒种子分种在 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5,若一个坑内至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种。假定 每个坑至多补种一次,每补种 1 个坑需 10 元,用错误!未找到引用源。表示补种费用,则错 误!未找到引用源。的数学期望值等于 .

14.若复数 错误!未找到引用源。的实部与虚部相等,则实数 b 的 值 错误!未找到引用源。 为___________ 15.点错误!未找到引用源。 ,点错误!未找到引用源。 ,动点错误!未找到引用源。满足 ,则点错误!未找到引用源。的轨迹方程是 误!未找到引用源。 错

评卷人

得分 三、解答题(75 分)

16. (本小题 13 分) 已知抛物线方程为错误!未找到引用源。 ,过错误!未找到引用源。作直线错误!未找到引用 源。. ①若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴不垂直,交抛物线于 A、B 两点,是否 存在错误!未找到引用源。轴上一定点错误!未找到引用源。 ,使得错误!未找到引用源。? 若存在,求出 m 的值;若不存在,请说 明理由? ②若错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。轴垂直,抛物线的任一切线与错误!未
-3-

找到引用源。轴和错误!未找到引用源。分别交于 M、N 两点,则自点 M 到以 QN 为直径的 圆的切线长错误!未找到引用源。为定值,试证之; 17. (本小题满分 12 分) 已知 错误!未找到引用源。 (1 )判断 f(x)的奇偶性; (2)证明错误!未找到引用源。 18. (13 分)如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 20m,要求通行车辆限高 5m,隧道全 长 2.5km,隧道的两侧是与地面垂直的墙,高度为 3 米,隧道上部拱线近似地看成半个椭圆。

(1)若最大拱高 h 为 6 m,则隧道设计的拱宽错误!未找到引用源。是多少? (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程 量最小,则应如何设计拱高 h 和拱宽错误!未 + =1 的面积公式为 找到引用源。?(已知:椭圆 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 S=错误!未找到引用源。 ,柱体体积为底面积乘以高。 ) (3)为了使隧道内部美观,要求在拱线上找两个点 M、N,使它们所在位置的高度恰好是限高 5m,现 以 M、N 以及椭圆的左、右顶点为支点,用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭,形成一 个梯形,若 l=30m,梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的错 误!未找到引用源。倍,试确定 M、N 的位置以及错误!未找到引用源。的值,使总造价最少。 19. (本小题满分 12 分) 用数学归纳法证明: 。 错误!未找到引用源。 20. (本小题 满分 12 分) .用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2:1,问该长 方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 21. ( (本小题满分 12 分)

已知函数
-4-

(Ⅰ)若函数 (Ⅱ)讨论函数

为增函数,求 的取值范围 ; 的零点个数,并说明理由。

22. (本小题共 15 分)如图,有一块半椭圆形钢板,其半轴长为错误!未找到引用源。 ,短半 轴长为错误!未找到引用源。 ,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底错误!未找到引用 , 源。是半椭圆的短轴,上底错误!未找到引用源。的端点在椭圆上,记错误!未找到引用源。 梯形面积为错误!未找到引用源。 .

(I)求面积错误!未找到引用源。以错误!未找到引用源。为自变量的函数式,并写出其定 义域; (II)求面积错误!未找到引用源。的最大值. 参考答案 1.C 【解析】准确理解概念. 2.C 【解析】 试题分析:命题“对任意的错误!未找到引用源。 ”的否定是“存在错误!未找到引用源。 ”. 考点:全称命题的否定. 3.D 【解析】 4.C 【解析】解:因为随机变量ξ 的概率分布列为 P(ξ =n)=a( ) (n=0.1.2) 错误!未找到引用源。 根据各个概率值的和为 1,得到 a 的值,然后可知 P(0.1<ξ <2.9)=p(ξ =1)+ p(ξ =2)= 错 ,选 C. 误!未找到引用源。 5.D 【解析】 6.A 【解析】
n

-5-

试题分析: ,所以复数错误!未找到引用源。的共轭复数为 错误!未找 错误!未找到引用源。 . 到引用源。 考点:1.复数的运算;2.共轭复数. 7.C 【解析】 因为 10÷8 的余数为 2, 故可以肯定一步一个台阶的有 6 步, 一步两个台阶的有 2 步, 2 那么共有 C8=28 种走法. 8.D 【解析】 试题分析:由椭圆 C: 的离心率为 ,得 错误!未找到引用源。 错误!未 错误!未找到引用源。 ,从而 ,所以椭圆C的方程可写为: , 找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 又因为双曲线错误!未找到引用源。的渐近线方程为 :错误!未找到引用源。与椭圆C的四 个交点坐标分别为: ,从而以这四个交点为顶点的四边形的面积为 错误!未找到引用源。 错误! ,从而错误!未找到引用源。 ,所以椭圆 C 的方程为 ,故 错误!未找到引用源。 未找到引用源。 选D. 考点:椭圆的方程. 9.B 【解析】 试题分析: ,当 时, , 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错

,则当 时, ,即函数错误! 误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 单调递增,即错误!未找到引用源。 . 未找到引用源。在 错误!未找到引用源。 考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.利用函数的单调性比较大小. 10.A 【解析】略 11.8 【解析】略 12 . 185 【解析】 错误!未找到引用源。 .

13. 错误!未找到引用源。 【解析】 试题分析:根据题意,每个坑需要补种的概率是相等的,都是 ,所以此 错误!未找到引用源。

-6-

问题相当于独立重复试验,做了三次,每次发生的概率都是 ,所以需要 错误!未找到引用源。 补种的坑的期望为 ,所以补种费用错误!未找到引用源。的期望为 错误!未找到引用源。 错误! . 未找到引用源。错误!未找到引用源。 考点:独立重复试验. 14.2 【解析】化简即得 15. 错误!未找到引用源。 【解析】根据椭圆的定义可知,点 P 的轨迹是以点错误!未找到引用源。 ,点错误!未找到引 用源。为焦点,长轴长为 10 的椭圆的方程。因此而控制,动点错误!未找到引用源。满足的 轨迹方程是 。 错误!未找到引用源。 16. (1 存在错误!未找到引用源。 (2) 错误!未找到引用源。 【解析】解:①设错误!未找到引用源。的方程为:错误!未找到引用源。 , 设错误!未找到 ,错误!未找到引用源。 引用源。 由 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ?2 分 找到引用源。 若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 即: 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ??4 分 ??3 分 消去错误!未找到引用源。得: , 错误!未找到引用源。 错误!未

错误!未找到引用源。 ??6 分

错误!未找到引用源。

故 存 在 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 使 得 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ??7 分

②设 在抛物线上,由抛物线的对称性,不妨设 , 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

-7-

则过 P 点的切线斜率 ,切线方程为: 错误!未找到引用源。 ,且 ?9 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

令 ,∴ 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 令 ,∴ ?10 分 ,半径 ?11 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 则以 QN 为直径的圆的圆心坐标为 ∴ 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ∴错误!未找到引用源。 ??13 分

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

17.解: (1)定义域为错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。为偶函数 (2)当 错误!未找到引用源。 当错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 【解析】略 18. (1)错误!未找到引用源。m; (2)当拱高为(错误!未找到引用源。+3)m、拱宽为 20 错 m 时, 隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小; (3) , 误! 未找到引用源。 错误! 未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 【解析】 试题分析: ( 1 )先建立直角坐标系,找到对应椭圆方程再把 b=h-3=3 与点 P 坐标代入 椭圆方程,即可求出隧道设计的拱宽 l 是多少; ( 2) 转 化 为 求 半 椭 圆 的 面 积 最 小 值 问 题 , 对 椭 圆 方 程 用 基 本 不 等 式 即 可 求 出 对 应 的 半椭圆面积以及满足要求的拱高 h 和拱宽 l . ( 3 )先求出总造价的表达式,再利用导函数研究其最值即可. 试题解析:解: (1)如下图建立直角坐标系,则点 P(10,2) ,椭圆方程为 错误!未找到引用

-8-

+ =1,将 b=h-3=3 与点 P 坐标代入椭圆方程,得 a=错误!未找到 源。 错误!未找到引用源。 ,l=2a=错误!未找到引用源。 ,隧道的拱宽约为错误!未找到引用源。m。 5 分 引用源。 (2)要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小,由柱体的体积公式可知:只需半椭 圆的面积最小即可。 由椭圆方程 + =1,得 + 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错

=1。因为 + ≥ 误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到 ,即 ab≥40,?8 分 引用源。 所以半椭圆面积 S= ≥ 。当 S 取最小值时,有 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误! = = ,得 a=10 错误!未找到引用 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,b=错误!未找到引用源。 ,此时 l=2a=20 错误!未找到引用源。 , h= b+3=错误!未找到 源。 引用源。+3,故当拱高为(错误!未找到引用源。+3)m、拱宽为 20 错误!未找到引用源。m 时, 隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小 (3)设错误!未找到引用源。 , 设错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 · 错误!未找到引用 源。 =2 (10 错误!未找到引用源。 ) ,则 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。或 17(舍)∴错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。取最小值,此时错误!未找到引用源。,代入椭圆方程得 错误!未找到 引用源。 ∴ ? 错误!未找到引用源。 13 分 13 分

考点:1.圆与圆锥曲线的综合; 2. 利用导数求闭区间上函数的最值 . 19.见解析 【解析】证明(1)错误!未找到引用源。时, 左边 =右边,等式成立????3 分 错误!未找到引用源。 (2)假设错误!未找到引用源。时等式成立, 即 ??????4 分 错误!未找到引用源。

-9-

则错误!未找到引用源。 左边= ????6 分 错误!未找到引用源。 ???10 分 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。时, 等式成立 由(1) (2)知,对一切 ????12 分 错误!未找到引用源。

20.解:设长方体的宽为错误!未找到引用源。 (m) ,则长为错误!未找到引用源。 (m),高 为 . 错误!未找到引用源。 故长方体的体积为 --------6 分 错误!未找到引用源。 从而错误!未找到引用源。令错误!未找到引用源。 ,解得错误!未找到引用源。 (舍去)或 ,因此错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ;当 时,错误!未 错误!未找到引用源。 ,故在错误!未找到引用源。处错误!未找到引用源。取得极大值,并且这个极 找到引用源。 大值就是错误!未找到引用源。的最大值,从而最大体积错误!未找到引用源。 ,此时长方体 的长为 2 m, 高为 1.5 m 【解析】略 21 --- -----------------------12 分 .

- 10 -

【解析】略 22. (I) 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 其定义域为 错误!未找到引用源。 (II)梯形面积错误!未找到引用源。的最大值为 错误!未找到引用源。 【解析】解: (I)依题意,以错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。为原点建 立直角坐标系错误!未找到引用源。 (如图) ,则点错误!未找到引用源。的横坐标为错误!

- 11 -

. 未找到引用源。

点错误!未找到引用源。的纵坐标错误!未找到引用源。满足方程 , 错误!未找到引用源。 解得错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 其定义域为 . 错误!未找到引用源。 (II)记错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 . 令错误!未找到引用源。 ,得 . 错误!未找到引用源。 因为当 时,错误!未找到引用源。 ;当 时,错误! 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 ,所以 是错误!未找到引用源。的最大值. 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 因此,当 错误!未找到引用源。 . 未找到引用源。 即梯形面积错误!未找到引用源。的最大值为 . 错误!未找到引用源。 时,错误!未找到引用源。也取得最大值,最大值为 错误!

- 12 -


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