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1.1.3导数的几何意义1


1.1.3 导数的几何意义 中国人民大学附属中学 一.曲线的切线 如图,曲线C是函数y=f(x)的图象, P(x0,y0) 是曲线C上的任意一点, Q(x0+Δx, y0+Δy) 为P邻近一点, PQ为C的割线, PM//x轴, QM y y=f(x) //y轴, β为PQ的倾斜角. 则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, ?y ? tan ? . ?x ?y 表明: 就是割线的斜率 . ?x O P β Δx Q Δy M x y y=f(x) Q 割 线 T 切线 P ? x o 请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时, 割线PQ绕着点P逐渐转动的情况. 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时, 割线PQ有一个极限位置PT. 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时, 割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线 的斜率. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? tan ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 即: k 切线 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线 的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质— —函数平均变化率的极限. 注意,曲线在某点处的切线: (1) 与该点的位置有关; (2) 要根据割线是否有极限位置来判断与 求解。如有极限, 则在此点有切线, 且切线 是唯一的; 如不存在,则在此点处无切线; (3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个 交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. 例1.求抛物线y=x2过点(1,1)的切线的 斜率。 解:过点(1,1)的切线斜率是 f (1 ? ?x) ? f (1) (1 ? ?x) ? 1 lim ? lim f ’(1)= ? x ?0 ?x ?0 ?x ?x 2 ? lim (2 ? ?x) ? 2 ?x ? 0 因此抛物线过点(1,1)的切线的斜率为2. 例2.求双曲线y= 程。 解:因为 1 x 1 过点(2,2 )的切线方 1 1 ? f (2 ? ?x) ? f (2) ?1 1 2 ? ? x 2 lim ? lim ? lim ?? ?x ?0 ? x ? 0 ? x ? 0 ?x ?x 2(2 ? ?x) 4 为- , 4 1 所以这条双曲线过点(2, )的切线斜率 2 1 由直线方程的点斜式,得切线方程为 1 y ? ? x ?1 4 例3.求抛物线y=x2过点( 程。 5 ,6)的切线方 2 5 解:点( ,6)不在抛物线上,设此切线过 2 抛物线上的点(x0,x02),因为 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x0 ? ?x) ? x lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 2 2 0 2 x0 ? ?x ? (?x) ? lim ? 2 x0 ?x ?0 ?x 2 所以此切线方程的斜率为2x0, 5 又因为此切线过点( ,6)和点(x0,x02), 2 2 x0 ?6 ? 2 x0 即x02-5x0+6=0, 所以 5 x0 ? 2 解得x0=2,或x0=3, 所以切线方程为y=4x-4或 y=6x-9. 方程. 解:k= ? 1 例4.求曲线y=sinx在点( , )处的切线 6 2 f ( ? ?x) ? f ( ) sin( ? ?x) ? sin 6 6 ? lim 6 6 lim ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ?x ? ? ? ? 1 3 1

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