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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查32 数列的综合问题


开卷速查(三十二)

数列的综合问题

A 级 基础巩固练 1.公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且-3a1,-a2, a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4=( A.-20 C.7 ) B.0 D.40

解析:记等比数列{an}的公比为 q(q≠1),依题意有-2a2=-3a1 +a3, -2a1q=-3a1+a1q2, 即 q2+2q-3=0, (q+3)(q-1)=0, 又 q≠1, 1×[1-?-3?4] 因此有 q=-3,则 S4= =-20. 1+3 答案:A 2.数列{an}满足 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前 n 项 和为 Sn,则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是( A.9 C.11 B.10 D.12 )

解析:因为 a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以 an+1=2an, an=2n-1,Sn=2n-1,则满足 Sn>1 025 的最小 n 值是 11. 答案:C 3.设 y=f(x)是一次函数,若 f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数 列,则 f(2)+f(4)+?+f(2n)等于( A.n(2n+3) C.2n(2n+3) ) B.n(n+4) D.2n(n+4)

解析:由题意可设 f(x)=kx+1(k≠0),则(4k+1)2=(k+1)×(13k+

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1) ,解得 k = 2 ,f(2) + f(4) + ? + f(2n)= (2×2 +1) + (2×4+ 1) + ? + (2×2n+1)=2n2+3n. 答案:A 4 .若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平 数”,则在 1~100 这 100 个数中,能称为“和平数”的所有数的和是 ( ) A.130 C.676 B.325 D.1 300

解析:设两个连续偶数为 2k+2 和 2k(k∈N*),则(2k+2)2-(2k)2= 4(2k+1),故和平数是 4 的倍数,但不是 8 的倍数,故在 1~100 之间, 能称为和平数的有 4×1,4×3,4×5,4×7,?,4×25,共计 13 个,其 1+25 和为 4× 2 ×13=676. 答案:C 5.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是第一 象限的两个点,若 1,x1,x2,4 依次成等差数列,而 1,y1,y2,8 依次成 等比数列,则△OP1P2 的面积是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:根据等差、等比数列的性质,可知 x1=2,x2=3,y1=2, y2=4.∴P1(2,2),P2(3,4).∴S△OP1P2=1. 答案:A 6.已知函数 y=loga(x-1)+3(a>0,a≠1)所过定点的横、纵坐标

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1 分别是等差数列{an}的第二项与第三项, 若 bn= , 数列{bn}的前 n anan+1 项和为 Tn,则 T10 等于( 9 A.11 8 C.11 ) 10 B.11 12 D.11

解析: 由 y=loga(x-1)+3 恒过定点(2,3), 即 a2=2, a3=3, 又{an} 为等差数列,∴an=n,n∈N*. 1 1 1 1 1 1 1 1 10 ∴bn= ,∴T10=1-2+2-3+?+10-11=1-11=11. n?n+1? 答案:B 7.等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn,若 S4≥4,S7≤28,则 a10 的 最大值为__________. 解析:方法一:∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S4≥4,S7≤28, 3 ?S =4a +4× 2 d≥4, ∴? 7×6 S = 7 a + ? 2 d≤28,
4 1 7 1

?2a1+3d≥2, 即? ?a1+3d≤4,
a =a +9d=a1+3d+6d≤4+6d, ? ? 10 1 ∴? 1 15d 2+15d a = a + 9 d = ? 2 a + 3 d ? + ? ? 10 1 2 1 2 ≥ 2 . 2+15d ∴ 2 ≤a10≤4+6d.
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2+15d ∴ 2 ≤4+6d,解得 d≤2. ∴a10≤4+6×2=16.

?2a1+3d≥2, 方法二:同方法一,得? ?a1+3d≤4.
a10=a1+9d,由线性规划得 a10 的最大值为 16. 答案:16 8.已知数列{an}的通项公式为 an=25-n,数列{bn}的通项公式为
? ?bn,an≤bn, bn=n+k,设 cn=? 若在数列{cn}中,c5≤cn 对任意 n∈N* ? ?an,an>bn,

恒成立,则实数 k 的取值范围是__________. 解析:数列 cn 是取 an 和 bn 中的最大值,据题意 c5 是数列{cn}的最 小项,由于函数 y= 25- n 是减函数,函数 y =n+ k 是增函数,所以 b5≤a5≤b6 或 a5≤b5≤a4,即 5+k≤25-5≤6+k 或 25-5≤5+k≤25-4, 解得-5≤k≤-4 或-4≤k≤-3,所以-5≤k≤-3. 答案:[-5,-3] 9.定义函数 f(x)={x· {x}},其中{x}表示不小于 x 的最小整数,如 {1.4}=2,{-2.3}=-2.当 x∈(0,n](n∈N*)时,函数 f(x)的值域为 An, 1 1 1 记集合 An 中元素的个数为 an,则a +a +?+a =________.
1 2 n

解析:由题意,a1=1,当 x∈(n,n+1]时,{x}=n+1,x· {x}∈(n2 +n,n2+2n+1],{x· {x}}的取值依次为 n2+n+1,n2+n+2,?,n2

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+2n+1 共 n+1 个,即 an+1=an+n+1,由此可得 an=1+2+3+?+ 1 ? ?1 n?n+1? 1 2 ? - n= 2 ,a = =2? ?n n+1?, n n?n+1? ? ? 1 1 1 2 所以a +a +?+a =2- . 1 2 n n+1 2 答案:2- n+1 10.[2014· 四川]设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x) =2x 的图像上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距
?an? 1 为 2-ln2,求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

解析:(1)由已知,b1=2a1,b8=2a8=4b7,有 2a8=4×2a7=2a7+ 2, 解得 d=a8-a7=2. n?n-1? 所以,Sn=na1+ 2 d=-2n+n(n-1)=n2-3n. (2)函数 f(x)=2x 在(a2, b2)处的切线方程为 y-2a2=(2a2ln2)(x-a2), 1 它在 x 轴上的截距为 a2-ln2. 1 1 由题意,a2-ln2=2-ln2,解得 a2=2. 所以,d=a2-a1=1.
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从而 an=n,bn=2n, n-1 n 1 2 3 所以 Tn=2+22+23+?+ n 1 +2n, 2- 1 2 3 n 2Tn=1+2+22+?+ n 1. 2- 1 1 1 n 1 n 因 此 , 2Tn - Tn = 1 + 2 + 22 + ? + n 1 - 2n = 2 - n 1 - 2n = 2- 2- 2n+1-n-2 . 2n 2n+1-n-2 所以,Tn= . 2n B级 能力提升练

11.[2014· 湖北]已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n +800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由. 解析:(1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比 数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4. 当 d=0 时,an=2;当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2,从而得 数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2. (2)当 an=2 时,Sn=2n.显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立.

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当 an=4n-2 时,Sn=

n[2+?4n-2?] 2 = 2 n . 2

令 2n2>60n+800, 即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍 去),此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41. 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n;当 an=4n-2 时,存在 满足题意的 n,其最小值为 41. 12. [2014· 课标全国Ⅰ]已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, an≠0, anan+1=λSn-1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 解析:(1)由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1. 两式相减得 an+1(an+2-an)=λan+1. 由于 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令 2a2=a1+a3,解得 λ=4. 故 an+2-an=4,由此可得 {a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是 首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2.

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因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列.

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