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11-12学年高一数学:1.1.7 柱、锥、台和球的体积 优化训练(人教B版必修2))


1.1.7

柱、锥、台和球的体积 优化训练

1.已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3,体对角线的长为 2 14,则这个长 方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24 D.48 答案:D 2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积是 ( ) A.16π B.20π C.24π D.32π 解析:选 C.由 V=Sh,得 S=4,即正四棱柱底面边长为 2.因为该正四棱柱的对角线即为 球的直径,所以球的表面积 S′=4π R =4π ( ) =D π =(2 +2 +4 )π =24π ,故选 C. 2 3.若圆锥的母线长是 8,底面周长为 6π ,则其体积是( ) A.9 55π B.9 55 C.3 55π D.3 55 答案:C 4.若圆柱的侧面积为 18,底面周长为 6π ,则其体积是________. 答案:27 2 5.正四棱台的两底面边长分别为 1 cm 和 2 cm,它的侧面积是 3 5 cm ,那么它的体积 3 是________cm . 1 1 解析: 设正四棱台的斜高为 h′, 由侧面积公式 S 正棱台侧= (c+c′)h′= (1×4+2×4)h′ 2 2 5 .再根据两底中心的连线与上、下底边的一半及斜高组成的直角梯形, 2 1 7 可以求出高 h=1,那么 V 正棱台= (S 上+S 下+ S上·S下)h= . 3 3 7 答案: 3 =3 5,解得 h′= 1.两个球的体积之和为 12π ,它们的大圆周长之和为 6π ,则两球的半径之差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4 3 3 3 3 解析:选 A.可设出两球的半径 r1,r2,则有 π (r1+r2)=12π ,即 r1+r2=9. 3 又∵2π (r1+r2)=6π ,∴r1+r2=3. 3 3 2 由 r1+r2=(r1+r2)[(r1+r2) -3r1r2],可得 r1r2=2, 2 从而|r1-r2|= ?r1+r2? -4r1r2=1. 1 2.一圆锥的底面半径为 4,在距圆锥顶点高线的 处,用平行于底面的平面截圆锥得到一 4 个圆台,得到圆台是原来圆锥的体积的( ) 63 1 A. B. 64 16 1 1 C. D. 4 64 1 解析:选 A.∵在距圆锥顶点高线的 处,用平行于底面的平面截圆锥,圆锥底面半径为 4, 4
2

D

2

2

2

2

2

∴截面圆半径为 1. 设截去的底面半径为 1 的小圆锥的高为 h,体积为 V1,底面半径为 4 的圆锥的高为 4h, 体积为 V2, 1 1 2 2 π ×4 ×4h- π ×1 ×h 3 V圆台 V2-V1 3 63 则 = = = . V2 V2 1 64 2 π ×4 ×4h 3 3.把直径分别为 6 cm,8 cm,10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球,则这个大铁球的半径为 ( ) A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 4 4 6 3 4 8 3 4 10 3 3 解析:选 B.设大铁球的半径为 R,则有 π R = π ·( ) + π ·( ) + π ·( ) , 3 3 2 3 2 3 2 解得 R=6.

4.如图,在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周, 则所形成的旋转体的体积是( ) 9π 7π A. B. 2 2 5π 3π C. D. 2 2

解析:选 D.如图,该旋转体的体积是以 AD 为半径,CD 和 BD 为高的两个圆锥的体积之差, 因为∠ABC=120°,所以∠ABD=60°.又因为 AB=2,所以 DB=1,AD= 3. 1 1 1 3π 2 2 2 所以 V= π ·AD ·CD- π ·AD ·BD= π ·AD ·(CD-BD)= . 3 3 3 2 5.已知高为 3 的直棱柱 ABC-A′B′C′的底面是边长为 1 的正三角形,则三棱锥 B′- ABC 的体积为( ) 1 1 A. B. 4 2 C. 3 6 D. 3 4

1 解析:选 D.由题意,得 VB′-ABC= VABC-A′B′C′ 3 1 1 3 3 = × × ×1×1×3= . 3 2 2 4 1 6.如图所示,圆锥的高为 h,圆锥内水面的高为 h1,且 h1= h.若将圆锥倒置,水面高为 3 h2,则 h2 等于( )

2 A. h 3 3 C. 19 h 3
圆台

19 B. h 27 3 D. 6 h 3

1 1 19 2 2 2 2 2 = · h[π (2r) + π ?2r? ·π ?3r? +π (3r) ]= π hr .圆锥倒 3 3 9 x h2 3rh2 1 3rh2 2 置时,水形成了圆锥.设圆锥底面半径为 x,则 = ,于是 x= ,则 V 圆锥= π ( ) h2 3r h h 3 h 解析:选 C.V 3 2 3 19 3π r h2 19 2 . 所以 π hr = ? h = h. 2 h2 9 h2 3 7. 半径为 r 的球放置于倒置的等边圆锥容器内, 再将水注入容器内到水与球面相切为止, 取出球后水面的高度是________. = 3π r h2
2 3

解析:设球未取出时 PC=b,球取出后,水面高 PH=x,如图所示,因为 AC= 3r,PC= 1 1 2 2 3 3r,所以以 AB 为底面直径的圆锥形容器的容积 V 圆锥= π AC ·PC= π ( 3r) ·3r=3π r ,V 3 3 4 3 1 1 1 3 2 2 水的体积 V 水= π EH ·PH= π (PHtan30°) ·PH= π x , 球= π r .球取出后水面下降到 EF, 3 3 3 9 1 4 3 3 3 3 而 V 水=V 圆锥-V 球,即 π x =3π r - π r .所以 x= 15r. 9 3 3 故球取出后水面的高为 15r. 3 答案: 15r 3 8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为 5∶2∶8,体积为 14 cm ,则棱台的高为 ________. 解析:

如图所示,设正四棱台 AC′的上底面边长为 2a,则斜高 EE′和下底面边长分别为 5a、 2 2 8a.高 OO′= ?5a? -?4a-a? =4a. 1 2 2 2 2 又∵ ×4a×(64a +4a + 4a ×64a )=14, 3

1 ∴a= ,即高为 2 cm. 2 答案:2 cm 9.(2010 年高考湖北卷) 圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球 的半径与圆柱的底面半径相同 ) 后,水恰好淹没最上面的球 ( 如图所示 ) ,则球的半径是 ________cm.

4 2 2 3 解析:设球的半径为 r,则由 3V 球+V 水=V 柱,得 6r·π r =8π r +3× π r ,解得 r= 3 4. 答案:4 2 10.圆台上底的面积为 16π cm ,下底半径为 6 cm,母线长为 10 cm,那么,圆台的侧 面积和体积各是多少? 解:

首先,圆台的上底的半径为 4 cm, 2 于是 S 圆台侧=π (r+r′)l=100π (cm ). 其次,如图,圆台的高 h=BC 2 2 = BD -?OD-AB? 2 2 = 10 -?6-4? =4 6(cm), 1 所以 V 圆台= h(S+ SS′+S′) 3 1 = ×4 6×(16π + 16π ×36π +36π ) 3 304 6π 3 (cm ). 3 11. 如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥 C-A′DD′,求棱锥 C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比. =

解:已知长方体可看成直四棱柱 ADD′A′-BCC′B′,设它的底面 ADD′A′的面积为 S, 高为 h,则它的体积为 V=Sh,因为棱锥 C-A′DD′的底面面积为 ,高是 h,所以棱锥 C- 2 1 1 1 1 5 A′DD′的体积 VC-A′DD′= × ×Sh= Sh, 余下的体积是 Sh- Sh= Sh.所以棱锥 C-A′DD′ 3 2 6 6 6 的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5. 12.如图,三棱锥 A-BCD 的两条棱 AB=CD=6,其余各棱长均为 5,求三棱锥的内切球

S

的体积.

解:

如图,取 CD 的中点 E,连接 AE,BE. ∵AC=AD,BC=BD, ∴CD⊥AE,CD⊥BE, ∴CE 和 DE 是三棱锥 C-ABE 和 D-ABE 的高. ∵AD=5,DE=3, ∴AE=BE=4, ∴S△ABE=3 7. ∴VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE 1 = ·S△ABE·CD=6 7. 3 ∵该三棱锥的四个面全等,面积均为 12,设内切球半径为 r, 1 ∴VA-BCD= (S△ABC+S△BCD+S△ACD+S△ABD)·r 3 1 = ·48·r=16r, 3 3 ∴r= 7, 8 4 3 63 7 ∴V 球= π r = π. 3 128 即三棱锥的内切球的体积为 63 7 π. 128

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