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3.1.3


乌海市第十中学

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计 王 祥 教学分析 “二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上,进一步 研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切 公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二 倍角的推导知道,二倍角的内涵是

:揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推 导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、 因此本节内容也是培养学生运算 和逻辑推理能力的重要内容, 对培养学生的探索精神和创新能力、 发现问题和解决问题的能 力都有着十分重要的意义. 本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中 α、β 关系的特殊情形 α=β 时的简 化,让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联 系,同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学 生自己去做,因为, 《数学课程标准》提出:“要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境 中初步认识对象的特征,获得一些体验”. 在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、 高难度的练习, 更不要再补充一些较为 复杂的积化和差或和差化积的恒等变换, 否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改 精神. 教学目标 1.知识与技能:通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公 式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑 推理能力,从而提高解决问题的能力. 2.过程与方法:通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒 等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生 进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、 解决问题的能力. 3.情感态度价值观:通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意 识,以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点 教学重点:二倍角公式推导及其应用. 教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 (复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公式的来龙 去脉,然后让学生默写这六个公式.教师引导学生:和角公式与差角公式是可以互相化归的. 当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天, 我们进一步探讨一下二倍角的问题, 请同学们思考一下, 应解决哪些问题呢?由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?(请学生默写出来,并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角 α、β 会有特殊关系 α=β 吗?此时公式变成什么形式?
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③在得到的 C2α 公式中,还有其他表示形式吗? ④细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢? ⑤能看出公式中角的含义吗?思考过公式成立的条件吗? ⑥让学生填空:老师随机给出等号一边括号内的角,学生回答等号另一边括号内的角,稍后 两人为一组,做填数游戏:sin( )=2sin( )cos( ),cos( )=cos2( )-sin2( ). ⑦思考过公式的逆用吗?想一想 C2α 还有哪些变形? ⑧请思考以下问题:sin2α=2sinα 吗?cos2α=2cosα 吗?tan2α=2tanα? 活动:问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察正弦、余弦的和角公 式,提醒学生注意公式中的 α,β,既然可以是任意角,怎么任意的?你会有些什么样的奇妙 想法呢?并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到 α,β 会有相等这个特殊情况, 教师就此进入下 一个问题,如果学生没想到这种特殊情况,教师适当点拨进入问题②,然后找一名学生到黑 板进行简化,其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写,最后 学生都不难得出以下式子,鼓励学生尝试一下,对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍 得花时间,充分地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思 维空间,为学生将来遇到的 3α 或 3β 等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ?sin2α=2sinαcosα(S2α); cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ?cos2α=cos2α-sin2α(C2α); tan(α+β)=

tan? ? tan ? 2 tan? ? tan2? ? (T2? ) 1 ? tan? tan ? 1 ? tan2 ?

这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦,余弦,正切公 式,并指导学生阅读教科书,确切明了二倍角的含义,以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适 时提出问题③,点拨学生结合 sin2α+cos2α=1 思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右 表中的公式.

这时教师点出,这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示).倍角公式给出了 α 的三角 函数与 2α 的三角函数之间的关系. 问题④,教师指导学生,这组公式用途很广,并与学生一起观察公式的特征与记忆,首 先公式左边角是右边角的 2 倍;左边是 2α 的三角函数的一次式,右边是 α 的三角函数的二 次式,即左到右→升幂缩角,右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式,余弦是多项式, 正切是分式. 问题⑤,因为还没有应用,对公式中的含义学生可能还理解不到位,教师要引导学生观 察思考并初步感性认识到:(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等 不可省去;(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数;(Ⅲ)二倍角 公式是两角和的三角函数公式的特殊情况; (Ⅳ)公式(S2α),(C2α)中的角 α 没有限制, 都是 α∈R. 但公式(T2α)需在 α≠ 但是当 α=kπ+ 诱导公式.
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? ,k∈Z 时,虽然 tanα 不存在,此时不能用此公式,但 tan2α 是存在的,故可改用 2

1 ? ? kπ+ 和 α≠kπ+ (k∈Z)时才成立,这一条件限制要引起学生的注意. 2 4 2

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问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性, 即二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍 的形式,其他如 4α 是 2α 的二倍,

a a 3a a a ? ? a 是 的二倍,3α 是 的二倍, 是 的二倍, -α 是 2 2 4 3 6 2 4 2

的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式. 例如:sin

a a a a a a =2sin cos ,cos =cos2 -sin2 等等. 2 4 4 3 6 6 1 a a a a a sin6α,4sin cos =2(2sin cos )=2sin , 2 4 4 4 4 2

问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用, 这点教师更要提醒学生 引起足够的注意.如:sin3αcos3α=

2 tan 40? =tan80° ,cos22α-sin22α=cos4α,tan2α=2tanα(1-tan2α)等等. 2 ? 1 ? tan 40
问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα. 若 sin2α=2sinα,则 2sinαcosα=2sinα,即 sinα=0 或 cosα=1,此时 α=kπ(k∈Z). 若 cos2α=2cosα,则 2cos2α-2cosα-1=0,即 cosα= 若 tan2α=2tanα,则

1? 3 1? 3 (cosα= 舍去). 2 2

2 tan a =2tanα,∴tanα=0,即 α=kπ(k∈Z). 1 ? tan 2 a

解答:①—⑧(略) 例题讲解: 例 1 已知 sin2α=

5 ? ? , <α< ,求 sin4α,cos4α,tan4α 的值. 13 4 2

活动:教师引导学生分析题目中角的关系,观察所给条件与结论的结构,注意二倍角公 式的选用, 领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义, 它是描述两个数 量之间关系的.本题中的已知条件给出了 2α 的正弦值.由于 4α 是 2α 的二倍角,因此可以考虑 用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题,目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用, 理解二倍角的相对性,教师大胆放手,可让学生自己独立探究完成.

? ? ? <α< ,得 <2α<π. 4 2 2 5 又∵sin2α= , 13
解:由 ∴cos2α= ? 1 ? sin 2 2a = ? 1 ? (

5 2 12 ) ?? . 13 13

5 12 120 × (? )= ? ; 169 13 13 5 119 cos4α=cos[2×(2α)]=1-2sin22α=1-2× ( )2= ; 13 129 sin 4 a 120 169 120 tan4α= =()× =? . cos 4 a 169 119 119
于是 sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2× 点评:学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法,但要提醒学生注意,在解题时 注意优化问题的解答过程,使问题的解答简捷、巧妙、规范,并达到熟练掌握的程度.本节 公式的基本应用是高考的热点.
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课后作业 课本习题 3.1 A 组 15、16、17. 课题小结 1.先由学生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获?对前面学过的两角和公式有什么新的 认识?对三角函数式子的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的 化简、求值与恒等式证明. 2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导,明白从一般到特殊的思想,并 要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题 目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤, 领悟变换思路,强化数学思想方法之目的. 课后反思: 1.新课改的核心理念是: 以学生发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应用, 充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念,体现“活动、开放、综合”的创 新教学模式.本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式,在这个活动过程中, 由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生记忆中.本节课的教学设计流程 还是比较流畅的. 2.纵观本教案的设计,学生发现二倍角后就是应用,至于如何训练二倍角公式正用,逆用, 变形用倒成了次要的了.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎 样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的. 3.教学矛盾的主要方面是学生的学, 学是中心, 会学是目的, 根据高中三角函数的推理特点, 本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创 新式学习方法.这样做增加了学生温故知新的空间,增强了学生的参与意识,教给了学生发 现规律、探索推导、获取新知的途径,让学生真正尝试到探索的喜悦,真正成为教学的主体. 学生会体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.

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