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三角函数图像与性质教案


个 性 化 辅 导 教 案
教师 姓名 学科 阶段 课题 名称 教学 目标 教学 重点 难点 数学 第()阶段 观察期:□ 学生姓名 年级 维护期:□ 课时计划
第()次课 共()次课

上课时间 教材版本 北师大

三角函数的图像与性质
掌握三角函数的图像与性质,并会运用三角函数的图像与性质解题

重点:三角函数的图像与性质 难点:利用三角函数图像与性质解决定义域,最值,单调性、奇偶性、周期性、对称性的问题

教学过程:
【考纲要求】 1、能画出 的图像,了解三角函数的周期性.

2、 理解正弦函数、 余弦函数在区间[0, ]的性质 2π (如单调性、 最大值和最小值以及与 x 轴 交点等).理解正切函数在区间( )内的单调性.

3、 了解函数
知识 要点

的物理意义; 能画出

的图像, 了解参数

对函数图像变化的影响. 4、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问 题.

【基础知识】 1.三角函数的图象及性质 (1)正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:



函 质



y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,

R

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

最 值

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周 期 性 奇 偶 性 在 ? 2 k? ? 单 调 性

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?

2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?
在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上是增 函数;在 ? 2k? , 2k? ? ? ? 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对 称 性 对称轴 x ? k? ? 对称中心 ? k? ?

?
2

? k ? ??

? ?

?

? , 0 ? ?k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

3..求三角函数的最值,主要利用正、余弦函数的有界性,一般通过三角变换化为下列基本类 型处理: ① y ? a sin x ? b ,设 t ? sin x 化为一次函数 y ? at ? b 在闭区间 t ?[?1,1] 上的最值求之; a b ② y ? a sin x ? b cos x ? c , 引 入 辅 助 角 ? (cos ? ? ,sin ? ? ) , 化 为 2 2 2 a ?b a ? b2
y ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ? c 求解方法同类型①;

③ y ? a sin 2 x ? b sin x ? c ,设 t ? sin x ,化为二次函数 y ? at 2 ? bt ? c 在 t ?[?1,1] 上的最值求之;
a(t 2 ? 1) ④ y ? a sin x cos x ? b(sin x ? cos x) ? c ,设 t ? sin x ? cos x 化为二次函数 y ? ? bt ? c 在闭区 ?2 间 t ? [? 2, 2] 上的最值求之; at 2 ? b ⑤ y ? a tan x ? b cot x ,设 t ? tan x 化为 y ? 用 ? 法求值;当 ab ? 0 时,还可用平均值定理求 t 最值; a sin x ? b ⑥y? 根据正弦函数的有界性,即可分析法求最值,还可“不等式”法或“数形结合” . c sin x ? d 4.考点训练 考点 1、三角函数性质(1)定义域、值域、最值

1.求函数 y ? (2 sin x ? 1) ? 1 ? 2 cos x 的定义域
1 ? ?sin x ? 2 , ?2 sin x ? 1 ? 0, ? 5? ? ? ?? 解: ? ? ?2k? ? ,2k? ? 3 6 ? ?1 ? 2 cos x ? 0, ?cos x ? 1 , ? 2 ?

?(k ? z ).

? ? ?? 2.当 x ? ?? , ? 时,函数 f(x)=sinx+ 3 cosx 的值域是 A ? 2 2?

1 B. [- ,1] C. [-2,2] 2 1 3.函数y= 的最大值是B 2 ? sin x ? cos x

A. [-1,2]

D. [-1,2]

A.

2 -1 2

B.

2 +1 2

C.1-

2 2

D.-1-

2 2

考点 2、三角函数性质(2)单调性、奇偶性、周期性、对称性 1.下列四个函数中,在区间(0,1)上为增函数的是B 1 A. y ? ? log 2 x B.y=sinx C. y ? ( ) x D.y=cosx 2 2.下列函数中,既为偶函数又在(0,π )上单调递增的是 A.y=tan|x|. B.y=cos(-x). C. y ? sin(x ? ). 2

?

x D. y ?| cot | 2

学生的课堂表现:很积极□

比较积极□

一般□

不积极□ 分 存在问题

学生上次的作业完成情况:数量 配合需求:家 长: 学管师:

% 完成质量

班主任签字

家长或学生签字

教研主任审批



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