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全国高中生创新知识与能力培育计划能力测试(高二数学)


全国高中生创新知识与能力培育计划能力测试
高二数学 (时间:60 分钟 每小题 5 分,共 100 分)
数学符号说明:R 表示实数集,Z 表示整数集,Z+表示正整数集。 1. 已知 A ? ?博雅,优才? , B ? ?清华,北大? ,则映射 f : A ? B 的个数为( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) .

2. 当 a>

1 时,函数 y ? a ? x 与 y ? log a x 的图象大致是( A. B. C.

) . D.

3. 不等式

x2 ? 2 x ? 3 ≤0 的解集为( x ?1

) . B. ?x x<? 1? D. ?x x≤3且x≠ ? 1?

A. ?x x≤3? C. ?x ?1<x≤3?

4. 如图,设正八面体中相邻面所成二面角为 ? ,则 cos ? 等于( A. C.
1 3
1 4

) . B. ? D. ?
1 3
1 4

2 2 2 2 5. 平面直角坐标系 xOy 中,圆 C1 : x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? 4x ? 6 y ? 6 ? 0

的公共弦所在的直线的方程为( A. 3 x ? 5 y ? 1 ? 0

) . B. 3 x ? 5 y ? 1 ? 0
1

C. 3 x ? 5 y ? 1 ? 0

D. 3 x ? 5 y ? 1 ? 0 ) . D. 10

6. 在平面内作 5 条直线,所得三角形的个数最多为( A. 7 B. 8 C. 9

7.

x2 ?

4 的最小值为( x ?1
2

) . C. 3 D. 4

A. 1

B. 2

8. 平面直角坐标系 xOy 中,点 M ( x0 , y0 ) 是圆 x 2 ? y 2 ? a 2 上一点,过 M 点作该圆的切线, 则这条切线的方程为( A. x0 x ? y0 y ? a 2 C. ? x0 x ? y0 y ? a 2 ) . B. x0 x ? y0 y ? a 2 D. ? x0 x ? y0 y ? a 2

9. 已知 f ( x) ? x2015 ? arctan x ,若对任意 x ? (0, ? ) , f (2m) ? f (m cos x ? 1) ? 0 恒成立,则实 数 m 的取值范围是( A. m>1 ) C. m>
1 3

B. m≥1

D. m≥

1 3

2

10. 微积分思想的萌芽可以追溯到公元前 200 多年,古 希腊大数学家阿基米德在《抛物线求积》中研究了 如下问题:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物 线 y ? x 2 与直线 y ? 1 所围图形为弓形 AOB .求弓 形 AOB 面积 S .

1.5

y B

A

1 0.5

D
1 0.5

O

Cx
0.5 1

0.5 S ? ,将 DC 我们可以这样解决该问题:如图,设矩形 ABCD 在抛物线下方的部分面积为

平分 2 n 份,过等分点作 x 轴的垂线,将面积 S ? 分割求和,则
1 ? 02 12 22 (n ? 1)2 ? 1 ? 12 22 32 n2 ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? …… ? ? S ? 2 ? ? ? ? ? …… ? ? ? ?. n ?n n n n2 ? n ? n2 n2 n2 n2 ?

由于 n 可以任意大,可以推出 S ? ,进而可以算出弓形 AOB 面积 S 为(

) .

2

A.

1 3

B.

2 3

C.

4 3

D.

5 3

11. 已知 x ? log11 x ? 2015 , y ? 11y ? 2015 , a ? x ? y ,则 a 的各位数字之和为( A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

) .

12. 已知 △ABC 中,三角的度数为等差数列,三边的长度也为等差数列,且该三角形的周长 为 1,这样的三角形共有( A.1 个 B.2 个 ) . C.3 个 D.4 个

13. 已知集合 T ? ?a ? ? a ? b ? c ? 2, ab ? bc ? ca ?1, b?? , c ?? ? , T 的最大元素与最小元素 之和为 A. 3

n ,其中 m 和 n 为互质的正整数,则 m ? n 等于( m
B. 5 C. 7

) .

D. 9

14. 已知四边形 ABCD ,则 AB ? CD ? AD ? CB ? 0 且 AB ? BC ? BC ? CD ? 0 的充分必 要条件是四边形 ABCD 为( A.菱形 C.平行四边形 ) . B.正方形 D.对角线相互垂直的四边形

?

??? ? ??? ?

? ?

???? ??? ?

?

?

??? ? ??? ?

??

??? ? ??? ?

?

15. 将数列 ?an ? (n ? ? ? ) 前 n 项的积记为 V n ,数列 ?Vn ? (n ? ? ? ) 前 n 项的和记为 Tn ,已知

Tn ? 2n ?1 ? 1 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? … ? a10 等于(
A. 20 B.
61 3

) . D. 21
E

C.

62 3

16. 如图,已知平行四边形 ABCD 中, AB ? 1 , AC ? 2 ,在该平面内 分别过点 A 作 AB 的垂线,过点 D 作 AC 的垂线,两垂线交于点

E .已知 ED ? 3 ,则 EA 的长度为(
A. 10 B. 2 3

) . C. 14
A D C

B

3

D. 4

17. 已知 f ( x ) ? 于( ) .

2x ,则 f (?2015) ? f (?2014) ? f (?2013) ? … ? f (2014) ? f (2015) 的值等 2x ? 1

A. 2015

B. 2015.5

C. 2016

D. 2016.5

18. 已知平面直角坐标系中,点集 ?(sin ? ? sin ? ,cos? ? cos ? ) (? , ? ) ? M ? 恰好为一个圆,则 以下选项中,集合 M 可以为( A. ?(? , ? ) ? ? ? ? ) .

? ?? B. ?(? , ? ) ? ? ? ? ? 3? ? ? ?? D. ?(? , ? ) ? ? ? ? ? 3? ?

? ?? C. ?(? , ? ) ? ? ? ? ? 3? ?

5 4 3 2 19. 集合 x ? ? x ? 2 x ? 5 x ? 5 x ? 2 x ? 1 ? 0 的所有元素之和为(

?

?

) .

A. ?1

B. 1

C. 3

D. 5

20. 定义:点 Z 为直线 XY 外一点,如果存在线段 XY 上一点 W,使 得△ XWZ 与△ WYZ 相似,则称 Z 为线段 XY 的相似点.例如,右 图中点 E 为正方形 ABCD 对角线交点,则 D 为直线 AC 外一点, A 且存在线段 AC 上一点 E, 使得△ AED 与△ ECD 相似, 故 D 为线 段 AC 的一个相似点.

D

E

C

B

阅读以上材料,回答问题:平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0, a) ? a ? 10? , B (0,10) .若 线段 OA 与 OB 有共同的相似点位于二次函数 y ? x 2 的图象上, 则满足条件的所有 a 的和 为( A. 21 ) . B. 24 C. 27 D. 30

4


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