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第46-48课时 离散型随机变量的均值与方差


第 46 课时 离散型随机变量的均值与方差(1)
主备人:范连兵 审核人:张玉玺

其中, pi ? 0, i ? 1, 2,..., n, p1 ? p2 ? ... ? pn ? 1 ,则称 x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xn pn 为随机变量 X 的均 值或 X 的数学期望,记为 E ( X ) 或 ? .

知识与技能: 学会根据离散型随机变量的分布列计算均值;理解离散型随机变量的均值含义; 熟练掌握两点分布和二项分布中随机变量的均值计算。 过程与方法:在推导公式的过程中让学生体会由特殊到一般的思考问题方法. 情感态度价值观:感悟数学与生活的和谐之美。 教学重点利用离散型随机变量的分布列或两种分布的均值计算公式求随机变量的均值.

2.性质 (1) E (c) ? c ; (2) E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b . ( a, b, c 为常数) 三反馈矫正 1.例题: 例 1.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个小口袋中装有 10 个红球,20 个白球,这 些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出 5 个球,其中红球的个数为 X ,求 X 的数学期望. 分析: 从口袋中摸出 5 个球相当于抽取 n ? 5 个产品, 随机变量 X 为 5 个球中的红球的个数, 则X 服从超几何分布 H (5,10,30) .

教学难点 离散型随机变量的均值(数学期望)的理解
教学过程 一.问题情境 1.前面所讨论的随机变量的取值都是离散的,我们把这样的随机变量称为离散型随机变量.这样刻画 离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢? 甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产 100 件产品所出的不合格品数 分别用 X1 , X 2 表示, X1 , X 2 的概率分布如下.

例 2.从批量较大的成品中随机取出 10 件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为 0.05 , 随机变量 X 表示这 10 件产品中不合格品数,求随机变量 X 的数学期望 E ( X ) .

X1

0

1

2

3
例 3. 设篮球队 A 与 B 进行比赛, 每场比赛均有一队胜, 若有一队胜 4 场则比赛宣告结束, 假定 A, B

pk

0.7

0.1

0.1

0.1
在每场比赛中获胜的概率都是

1 ,试求需要比赛场数的期望. 2

X2

0

1

2

3

pk

0.5

0.3

0.2

0

2.问题: 如何比较甲、乙两个工人的技术? 二.质疑讨论 1. 直接比较两个人生产 100 件产品时所出的废品数.从分布列来看,甲出 0 件废品的概率比乙大, 似乎甲的技术比乙好;但甲出 3 件废品的概率也比乙大,似乎甲的技术又不如乙好.这样比较, 很难得出合理的结论. 2. 学生联想到“平均数” , ,如何计算甲和乙出的废品的“平均数”? 3. ,我们曾用公式 x1 p1 ? x2 p2 ? ... ? xn pn 计算样本的平均值,其中 pi 为取值为 xi 的频率值. 类似地,若离散型随机变量 X 的分布列或概率分布如下:

四巩固迁移 1 据气象预报,某地区下个月有小洪水的概率为 0.25 ,有大洪水的概率为 0.01 .现工地上有 一台大型设备,为保护设备有以下三种方案: 方案 1:运走设备,此时需花费 3800 元; 方案 2:建一保护围墙,需花费 2000 元.但围墙无法防止大洪灾,若大洪灾来临,设备受损,损 失费为 60000 元; 2:篮球比赛中,每次罚球命中得 1 分,不中得 0 分,某篮球运动员罚球命中的概率为 0.7,求: (1) 他罚球 1 次得分 ? 的期望; (2)他罚球 8 次得分 ? 的期望. 五.回顾小结: 1.离散型随机变量均值(数学期望)的概念和意义; 2.离散型随机变量均值(数学期望)的计算方法; 3.超几何分布和二项分布的均值(数学期望)的计算方法. 六.课外作业:课本 P 671, 2,3, 4 , P 71 第1题

X
P

x1

x2

? ?

xn
pn

p1

p2

将其称为离散型随机变量 X 的方差,记为 V ( X ) 或 ? .
2

2.方差公式也可用公式 V ( X ) ?

?x
i ?1

n

2

i

pi ? ? 2 计算.

第 47 课时 离散型随机变量的方差和标准差(2)
主备人:范连兵 审核人:张玉玺 教学目标: 知识与技能:了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差 或标准差。 过程与方法:了解方差公式,并会应用上公式计算有关随机变量的方差 。 情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 教学重点:离散型随机变量的方差、标准差 教学难点:比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题 教学过程 一.问题情境 甲、乙两个工人生产同一种产品,在相同的条件下,他们生产 100 件产品所出的不合格品数
王新敞
奎屯 新疆

3.随机变量 X 的方差也称为 X 的概率分布的方差, X 的方差 V ( X ) 的算术平方根称为 X 的标准差, 即? ? V (X ) . 思考:随机变量的方差和样本方差有何区别和联系? 三.反馈矫正 1.例题: 例 1.若随机变量 X 的分布如表所示:求方差 V ( X ) 和标准差 V ( X ) .

王新敞
奎屯

新疆

X
P

0

1

1? p

p

分别用 X1 , X 2 表示, X1 , X 2 的概率分布如下.

解:因为 ? ? 0 ? (1 ? p) ? 1? p ? p ,所以 V ( X ) ? (0 ? p)2 (1 ? p) ? (1 ? p)2 p ? p(1 ? p) ,

X1

0

1

2

3

V ( X ) ? p(1 ? p)
例 2.求第 2.5.1 节例 1 中超几何分布 H (5,10,30) 的方差和标准差. 解:第 2.5.1 节例 1 中超几何分布如表所示: X P 0 1 2 3 4 5

pk
X2

0.7
0

0.1
1

0.1
2

0.1
3

pk

0.5

0.3

0.2

0

2584 23751

8075 23751

8550 23751

3800 23751

700 23751

42 23751

二.质疑讨论 1.如何比较甲、乙两个工人的技术? 2 我们知道,当样本平均值相差不大时,可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏 离程度.能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢? 3. 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布如表所示:

数学期望 ? ?

n 5 2 2 ,由公式 V ( X ) ? ? xi pi ? ? 有 3 i ?1

V (X ) ? 0? ?

2584 8075 8550 3800 700 42 5 ? 1? ? 4? ? 9? ? 16 ? ? 25 ? ? ( )2 23751 23751 23751 23751 23751 23751 3

X
P

x1

x2
p2

? ?

xn
pn

p1

204750 ? 0.9579 213759 故标准差 ? ? 0.9787 .
例 3.求第 2.5.1 节例 2 中的二项分布 B(10,0.05) 的方差和标准差. 解: : p ? 0.05 ,则该分布如表所示:

则 ( xi ? ? )2 (? ? E( X )) 描述了 xi (i ? 1, 2,..., n) 相对于均值 ? 的偏离程度,故 (其中 ( x1 ? ?) p1 ? ( x2 ? ?) p2 ? ... ? ( xn ? ? ) pn ,
2 2 2

X

0
0 0 C10 p (1 ? p)10

1
1 1 C10 p (1 ? p)9

2
2 2 C10 p (1 ? p)8

3
3 3 C10 p (1 ? p)7

4
4 4 C10 p (1 ? p)6

5
5 5 C10 p (1 ? p)5

pi ? 0, i ? 1, 2,..., n, p1 ? p2 ? ... ? pn ? 1 )刻画了随机变量 X 与其均值 ? 的平均偏离程度,我们

pk
X

6

7

8

9

10

pk

6 6 C10 p (1 ? p)4

7 7 C10 p (1 ? p)3

8 8 C10 p (1 ? p)2
n

9 9 C10 p (1 ? p)1

10 10 C10 p (1 ? p)0

3.超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法.

由第 2.5.1 节例 2 知 ? ? E ( X ) ? 0.5 ,由 V ( X ) ?

?x
i ?1

2

i

pi ? ? 2 得

六.课外作业: P 71 2

0 1 10 ? 2 ? 02 ? C10 0.050 ? 0.9510 ? 12 ? C10 0.051 ? 0.959 ? ... ? 102 ? C10 0.0510 ? 0.950 ? 0.52

? 0.725 ? 0.25 ? 0.475 故标准差 ? ? 0.6892 .
说明:一般地,由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式:当 X ~ H (n, M , N ) 时,

V (X ) ?

nM ( N ? M )( N ? n) ,当 X ~ B(n, p) 时, V ( X ) ? np(1 ? p) . N 2 ( N ? 1)

例 4.有甲、乙两名学生,经统计,他们字解答同一份数学试卷时,各自的成绩在 80 分、90 分、 100 分的概率分布大致如下表所示: 甲 分数 X甲 概率 80 90 100 乙 分数 X 乙 概率 80 90 100

0.2

0.6

0.2

0.4

0.2

0.4

试分析两名学生的答题成绩水平. 解:由题设所给分布列数据,求得两人的均值如下:

E (X甲)=80 ? 0.2+90 ? 0.6+100 ? 0.2=90 , E (X乙)=80 ? 0.4+90 ? 0.2+100 ? 0.4=90
方差如下:

V ( X甲) ? (80 ? 90)2 ? 0.2 ? (90 ? 90)2 ? 0.6 ? (100 ? 90)2 ? 0.2 ? 40 V ( X乙 ) ? (80 ? 90)2 ? 0.4 ? (90 ? 90)2 ? 0.2 ? (100 ? 90)2 ? 0.4 ? 80
由上面数据可知 E( X甲) ? E( X乙 ),V ( X甲) ? V ( X乙 ) , 这表明, 甲、 乙两人所得分数的平均分相等, 但两人得分的稳定程度不同,甲同学成绩较稳定,乙同学成绩波动大.

2.练习:课本 P 701, 2 五.回顾小结: 1.离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义; 2.离散型随机变量的方差和标准差的计算方法;

解: (1)

P( X ? 4) ?
的分布列为

1 1 6 8 9 ,因此 X ? , P( X ? 3) ? 0, P( X ? 2) ? , P( X ? 1) ? , P( X ? 0) ? 4 A4 24 24 24 24
0 1 2 3 4

第 48 课时 离散型随机变量的均值与方差(3)
主备人:范连兵 审核人:张玉玺 教学目标 (1)进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征,通过它们可以刻划总体水平; (2)会求均值与方差,并能解决有关应用题. 教学重点,难点:会求均值与方差,并能解决有关应用题. 教学过程 一.问题情境 1.离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义,以及计算公式. 2.练习 1.设随机变量 X ~ B(n, p) ,且 E ( X ) ? 1.6,V ( X ) ? 1.28 ,则 n ? 答案: n ? 8, p ? 0.2 ,p? ;

X
P

9 8 6 1 0 24 24 24 24 9 8 6 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? 0 ? 4 ? ? 1, (2) E ( X ) ? 0 ? 24 24 24 24 9 8 6 1 V ( X ) ? (0 ? 1) 2 ? ? (1 ? 1) 2 ? ? (2 ? 1) 2 ? ? (3 ? 1) 2 ? 0 ? (4 ? 1) 2 ? ?1 24 24 24 24
例 2.有甲、乙两种品牌的手表,它们日走时误差分别为 X , Y (单位: s ) ,其分布列如下:

X P
Y P ?2 0.1

?1 0.1 ?1 0.2

0 0.8
0 0.4
1 0.2

1 0.1 2 0.1

比较两种品牌手表的质量.

2.随机变量 ? 的分布列为 P( ? ? k )

?

ak 1 5 P( ? ? ? ) ? 2 45 ( k ? 1,2??5)则 2

例 3.某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6 , 且客人是否游览哪个景点互不影响,设 ? 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点 数之差的绝对值. (Ⅰ)求 ? 的分布列及数学期望; (Ⅱ)记“函数 f ( x) ? x ? 3? x ? 1 在区间 [2, ??) 上单调递增”为事件 A ,求事件 A 的概率.
2

1 5 1 2 1 P( ? ? ? ) ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? ? 2 15 15 5 答案: 2
3.随机变量 ? 的分布列为

?
P

?2
0.16

?1

0

1

2 0.3 例 4.有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏,以便自己轻松获利,以海报形式贴出游戏规则:顾客 免费掷两枚骰子,把掷出的点数相加,如果得 2 或 12,顾客中将 30 元;如果得 3 或 11,顾客中 将 20 元;如果得 4 或 10,顾客中将 10 元;如果得 5 或 9,顾客应付庄家 10 元;如果得 6 或 8, 顾客应付庄家 20 元;如果得 7,顾客应付庄家 30 元.试用数学知识解释其中的道理.

a 10

a2

a 5

则: E?

0.16 ?
=

;答案:

a a ? a 2 ? ? 0.3 ? 1 10 5

50a 2 ? 15a ? 27 ? 0

a?

3 9 a?? 5或 10 (舍)∴ E? ? ?0.32 ? 0.06 ? 0.12 ? 0.6 ? 0.34

二.反馈矫正 1.例题: 例 1.有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,记自己拿自己 写的贺年卡的人数为 X . (1)求随机变量 X 的概率分布; (2)求 X 的数学期望和方差.

例 5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数 8,9,10 的概率分别 为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较 两名射手的射击水平
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

三.巩固迁移 1.甲、乙两种水稻在相同条件下各种 100 亩 甲 亩产 亩数 亩产 300 20 310 320 25 乙 320 20 330 40 330 40 340 15 340 10

离散型随机变量 ? 2 的概率分布为

?2
P

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

1 7

1 7
王新敞
奎屯 新疆

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

亩数 30 在以上收获情况下,应选择种植哪种水稻

2. 一接待中心,有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5,电话 C、 D 占线的概率均为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响,假设该时刻有 ? 部电话占线,试求随机 变量 ? 的概率分布和它的期望。

3 一盒中有 9 个正品和 3 个次品,每次取一测试,不放回在取出一个正品前已取出的废品数为 ? ,求 期望、方差。 4(0—1 分布)某射击手击中目标的概率为 P,它射击一次,击中目标的次数 ? 的期望、方差。

5. 一盒中装有零件 12 个,其中有 9 个正品,3 个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放 回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望

6.A、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示: A 机床 次品数ξ 概率 P
1

B 机床 2 0.06
王新敞
奎屯 新疆

0 0.7

1 0.2

3 0.04

次品数ξ 概率 P

1

0 0.8

1 0.06

2 0.04

3 0.10

问哪一台机床加工质量较好

7.已知离散型随机变量 ? 1 的概率分布为

?1
P

1

2

3

4

5

6

7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7


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