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2013届高三理科数学二轮专题课件4-29坐标系与参数方程(选修4-4)


第四部分

选考内容

第二十九讲 坐标系与参数方程(选修4-4)

考纲要求

?

? ? ?

1.根据具体问题选择适当坐标系,简捷 解决问题. 2.极坐标系的应用. 3.直角坐标与极坐标的互化. 4.参数方程和普通方程的互化.

考纲要求

?

?

5.会利用直线参数方程中参数的几何 意义解决有关线段问题. 6.会利用圆、椭圆的参数方程,解决 有关的最值问题.

要点串讲
1.极坐标系的概念 (1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点;自极 点 O 引一条射线 Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向)这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ.有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ρ≥0,θ 可取任意 实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0,θ),θ 可 以取任意实数.

(3)点与极坐标的关系 一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一 个点.特别地,极点 O 的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐 标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点 可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示 的点也是唯一确定的.

2.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的 正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示. (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直 角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ≥0),于是极坐标与直 角坐标的互化公式如表:

点M 互化 公式

直角坐标(x,y)
?x=ρcosθ ? ? ?y=ρsinθ ?

极坐标(ρ,θ) ρ2=x2+y2 y tanθ= (x≠0) x

在一般情况下,由 tanθ 确定角时,可根据点 M 所在 的象限取最小正角.

3.常见曲线的极坐标方程 曲线 圆心在极点, 半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径为 r 的圆 图形 极坐标方程 ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rcosθ
? π π? ?- ≤θ< ? 2? ? 2

? π? 圆心为?r, ?, 2? ?

ρ=2rsinθ (0≤θ<π) (1)θ= α(ρ∈ R) 或 θ

半径为 r 的圆

过极点,倾斜角为 α 的直线

=π+α(ρ∈R) (2)θ=α(ρ≥0)和 θ= π+α(ρ≥0)

过点(a,0),与极轴垂 直的直线
? π? 过点?a, ? ,与极轴 2? ?

ρcosθ=a
? π π? ?- <θ< ? 2? ? 2

ρsinθ=a (0<θ<π)

平行的直线

4.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形 式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系
?x=f?t? ? y=g(t), 那么? ?y=g?t? ?

就是曲线的参数方程, 在参数方程与

普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致.

5.圆的参数方程如图所示,设圆 O 的半径为 r,点 M 从初始位置 M0 出发, 按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆 周运动,设 M(x,y),则
?x=rcosθ ? ? ?y=rsinθ ?

(θ 为参数).

这就是圆心在原点 O,半径为 r 的圆的参数方程,其 中 θ 的几何意义是 OM0 绕点 O 逆时针旋转到 OM 的位置 时,OM0 转过的角度. 圆心为(a,b),半径为 r 的圆的普通方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2,
?x=a+rcosθ ? 它的参数方程为? ?y=b+rsinθ ?

(θ 为参数).

6.椭圆的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的椭圆的标准
?x=acosφ ? x2 y2 方程为 2+ 2=1(a>b>0),其参数方程为? (φ 为 a b ?y=bsinφ ?

参数),其中参数 φ 称为离心角;焦点在 y 轴上的椭圆的
?x=bcosφ ? y2 x2 标准方程是 2+ 2=1(a>b>0),其参数方程为? a b ?y=asinφ ?

(φ 为参数),其中参数 φ 仍为离心角,通常规定参数 φ 的 范围为 φ∈[0,2π).

7.双曲线的参数方程 以坐标原点 O 为中心,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方
?x=asecφ ? x2 y2 程为 2- 2=1(a>0,b>0),其参数方程为? (φ 为参 a b ?y=btanφ ?

π 3 数),其中 φ∈[0,2π)且 φ≠ ,φ≠ π. 2 2 y2 x2 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 2- 2=1(a>0, b>0), a b
?x=bcotφ ? 其参数方程为? ? y=acscφ ?

(φ 为参数),其中 φ∈(0,2π)且 φ≠π.

以上参数 φ 都是双曲线上任意一点的离心角.

8.抛物线的参数方程 以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线 y2=2px(p>0)
?x=2pt2 ? 的参数方程为? ?y=2pt ?

(t 为参数),参数 t 为任意实数,

它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率 的倒数. 顶点在坐标原点, 开口向上的抛物线 x2=2py(p>0)
?x=2pt ? 的参数方程是? ?y=2pt2 ?

(t 为参数).

9.直线的参数方程 经过点 M0(x0,y0),倾斜角为
? π? α?α≠ ?的直线 2? ?

l 的普通

方程是 y-y0=tanα(x-x0),而过 M0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线 l
?x=x +tcosα ? 0 ? 的参数方程为 ?y=y0+tsinα ?

(t 为参数).

高频考点
类型一 【例 1】 极坐标与直角坐标的互化 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x

轴正半轴为极轴建立极坐标系. 曲线 C 的极坐标方程为
? π? ρcos?θ- ?=1,M,N 分别为 3? ?

C 与 x 轴,y 轴的交点.

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

[分析] (1)按照余弦的和差公式把

? π? cos?θ- ?展开, 3? ?

用 x,y 分别代替方程中的 ρcosθ,ρsinθ 即可,把极坐标 方程化为直角坐标方程,然后求出点 M,N 的坐标;(2) 所求的直线过极点,直线的一个极坐标方程是 θ=α(ρ∈ R),其中 θ 为直线的倾斜角,只要根据直线过点 O,P, 求出该直线的倾斜角即可.

[解]

(1)由

? π? ρcos?θ- ?=1,得 3? ?

?1 ρ? cosθ+ ?2 ?

? 3 ? sinθ?=1. 2 ?

1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1,即 x+ 3y=2. 2 2 π 2 3 θ=0,ρ=2,所以 M(2,0).θ= 时,ρ= ,所以 2 3
?2 3 π ? ? N? , ?. ? 3 2? ?

(2)M 点 的 直 角 坐 标 为 (2,0) , N 点 的 直 角 坐标 为
? 2 3? ? ? . 0, ? 3 ? ? ?

所以 P
?2 3 π ? ? ? , ?, ? 3 6? ?

? 点的直角坐标为?1, ? ?

3? ? , 则 P 点的极坐标为 3? ?

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= , ρ∈(-∞, +∞). 6

[点评] 直角坐标与极坐标互化公式用错,三角函数 展开错误, 对直线的极坐标基础知识生疏等都是导致解题 错误的原因. 在直角坐标与极坐标互化时, 重点是极坐标 化为直角坐标, 要牢记其互化公式, 正确地进行三角变换, 还要注意互化前后的等价性.

类型二

求曲线的极坐标方程

【例 2】 已知 P,Q 分别在∠AOB 的两边 OA,OB π 上,∠AOB= ,△POQ 的面积为 8,求 PQ 的中点 M 的 3 极坐标方程. [分析] (1)建立以 O 为极点,OP 所在直线为极轴的 极坐标系. (2)设点 M 的极坐标,依△POQ 的面积建立关系式.

[解] 建立如图所示的极坐标系,设动点 M 坐标为
? π? (ρ,θ),?0<θ< ?.P,Q 3? ? ? π? 两点坐标分别为(ρ1,0),?ρ2, ?. 3? ?

1 π 则有 ρ1ρ2sin =8 2 3 1 ρρ sinθ=4 2 1
?π ? 1 ρρ2sin? -θ?=4 2 ?3 ? ?π ? 1 2 ②×③得 ρ ρ1ρ2sinθsin? -θ?=16 4 ?3 ?

① ② ③ ④

32 由①得 ρ1ρ2= 代入④得 3

? 2 3 π? ?0<θ< ? ,即为所求极坐标方程. ρ= ?π ?? 3? sinθsin? -θ? ?3 ?
2

类型三

把参数方程化为普通方程

【例 3】 将下列参数方程化为普通方程,并说明方 程表示的曲线.
?x=2+sin2θ ? (1)? ?y=-1+cos2θ ?

(θ 为参数);

a? 1 ? ? ?x=2?t+ t ? ? ? (2)? ? ? ?y=b?t-1? ? 2? t ?

(a、b 为大于零的常数,t 为参数).

[分析]

将参数方程化为普通方程主要就是消去参

数, 消参数常用的方法是代入消元法或利用三角恒等式消 去参数,有时需要把式子变形才能消去参数.

[解]

(1)由 y=-1+cos2θ 可得 y=-2sin2θ, sin2θ 把

=x-2 代入 y=-2sin2θ 可得 y=-2(x-2), 2x+y-4 即 =0, 又∵2≤x=2+sin2θ≤3, ∴所求的方程是 2x+y-4=0(2≤x≤3), 它表示的是 一条线段.

a? 1 ? (2)∵x= ?t+ ?,∴t>0 时,x∈[a,+∞), 2? t ? t<0 时,x∈(-∞,-a]. a? 1 ? a2? 2 1? 2 由 x= ?t+ ?两边平方可得 x = ?t +2+ 2? 2? t ? 4? t? b? 1 ? b2? 2 1? 2 由 y= ?t- ?两边平方可得 y = ?t -2+ 2? 2? t ? 4? t? ① ②

x2 y2 ①-②并化简,得所求的曲线方程为 2 - 2=1(a>0, a b b>0), 它表示的曲线是中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线.

类型四

椭圆参数方程的应用 已知曲线
?x=-4+cost, ? C1:? ?y=3+sint, ?

【例 4】

(t 为参

?x=8cosθ, ? 数)C2:? ?y=3sinθ. ?

(θ 为参数)

(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表 示什么曲线; π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的 2 动点,求 PQ 的中点 M 到直线 数)距离的最小值.
?x=3+2t, ? C3:? ?y=-2+t ?

(t 为参

[分析]

(1)曲线 C1,C2 的参数方程都可以通过适当

变形采用平方消元的方法化为普通方程, 根据得到的普通 方程和学习过的曲线方程就可以知道参数方程表示的是 π 什么曲线;(2)当 t= 时,点 P 的坐标就是已知的,动点 2 Q 的坐标可以用参数 θ 表示, 既而就可以用参数 θ 表示出 点 M 的坐标,将直线的参数方程化为普通方程,根据点 线距离公式就得到一个关于 θ 的函数, 求这个函数的最小 值即可.

[解]

[点评] 本题第(2)问中,在表示点 M 的坐标时,若 受第(1)问的影响, 把点 M 的坐标用曲线 C2 的直角坐标表 达,这样就很难得到正确结果了;即使能用参数的方法得 5 到 d= |4cosθ-3sinθ-13|, 由于对绝对值内函数式变形 5 5 5 不对,也会导致错误,如 d= |4cosθ-3sinθ-13|= 5 5 |5cos(θ+φ)-13|,仍然认为当 cos(θ+φ)=-1 时取最小

值,从而得出错误结论,对绝对值内的函数最值,要格外 小心,要考虑绝对值对函数值域的影响,如函数 f(x)的值 域为[-5,4]时,则|f(x)|的值域就变成了[4,5].

类型五 【例 5】

直线和圆的参数方程 π 已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 α= . 6

(1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x2+y2=4 相交于两点 A, 求点 P 到 A, B, B 两点的距离之积.

[解]

π ? ?x=1+tcos6 (1)直线 l 的参数方程为? ?y=1+tsinπ 6 ?



? 3 ?x=1+ 2 t 即? ?y=1+1t 2 ?

(t 为参数).

? 3 ?x=1+ 2 t (2)把直线? ?y=1+ 1t 2 ?

代入 x2+y2=4,

3 2 1 2 得(1+ t) +(1+ t) =4, 2 2 化简得 t2+( 3+1)t-2=0, 所以 t1t2=-2,则点 P 到 A,B 两点的距离之积为 2.

好方法好成绩

1.参数方程化为普通方程的常用方法 将参数方程化为普通方程一般有加减消元、代入消 元、平方消元等,要熟练掌握这些常用的消元方法.

2.直角坐标与极坐标的互化公式 直角坐标与极坐标的互化公式是: x=ρcosθ,y= y ρsinθ,tanθ= . x 在解决极坐标与参数方程的综合问题时要进行合理 分析、 寻找解决问题的方法. 一般来说把参数方程化为普 通方程、 把极坐标方程化为直角坐标方程、 把问题转化到 熟悉的环境下进行解决,是解决问题的一种基本方法.

高考陪练
1.(2011· 北京)在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心 的极坐标是(
? π? A.?1, ? 2? ?

)
? π? B.?1,- ? 2? ?

C.(1,0)

D.(1,π)

解析:ρ2=-2ρsinθ ∴x2+y2=-2y 即 x2+(y+1)2=1,圆心为(0,-1)
? π? ∴圆心的极坐标为?1,- ?. 2? ?

答案:B

? π? 2. (2011· 安徽)在极坐标系中, ?2, ?到圆 点 3? ?

ρ=2cosθ

的圆心的距离为( A.2 C. π2 1+ 9

) B. D. 3 π2 4+ 9

? π? 解析:将点?2, ?化为直角坐标为(1, 3? ?

3),

ρ=2cosθ 化为直角坐标系方程为:(x-1)2+y2=1, 圆心为(1,0),∴两点间距离为 3.
答案:D

3.(2011· 江西)若曲线的极坐标方程为 ρ=2sinθ+ 4cosθ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标 系,则该曲线的直角坐标方程为________.

?x=ρcosθ ? 解析:∵? ?y=ρsinθ. ?

∴x2+y2=ρ2,

∵ρ=2sinθ+4cosθ, ∴ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ, ∴x2+y2=2y+4x. ∴x2+y2-4x-2y=0. 即(x-2)2+(y-1)2=5.
答案: 2+y2-4x-2y=0(答(x-2)2+(y-1)2=5 也对) x

4 . (2011· 东 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为 广
?x= 5cosθ ? ? ?y=sinθ ?

? 52 ?x= t (0≤θ<π)和? 4 ?y=t ?

(t∈R),它们的交点坐

标为________.

?x= 5cosθ ? 解析: ? 由 ?y=sinθ ?

x2 2 (0≤θ<π)消去 θ 得 +y =1(- 5

5<x≤ 5,0≤y≤1) ? 52 ?x= t 由? 4 ?y=t ? =1 消去 y 得 x2+4x-5=0 解得 x=1 或 x=-5(舍) 4 x2 2 (t∈R)消去 θ 得 y2= x(x≥0)代入 +y 5 5

4 2 5 当 x=1 时 y = ,y=± ,又 0≤y≤1, 5 5
2

2 5 ∴y= 5
? 2 5? ? ? 故两曲线交点坐标为?1, ?. 5 ? ?
? 2 5? ? ? 答案:?1, 5 ? ? ?

5.(2011· 上海)在极坐标系中,直线 ρ(2cosθ+sinθ) =2 与直线 ρcosθ=1 的夹角的正切值________.
解析:原极坐标方程可化为 2x+y=2 与 x=1. 1 设两直线夹角为 θ,则 tanθ= . 2 1 答案: 2

高考专题训练二十九


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