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红对勾文科数学6-1


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必考部分

必考部分·第六章

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第六章 不等式、推理与证明

必考部分·第六章

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第一节 不等关系与不等式

高三总复

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第六章·第一节

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考纲解读 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式?组?的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.

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第六章·第一节

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考情剖析 本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题,一般是以选择题 或填空题的形式出现: 1.依据不等式的性质,判断不等式或有关结论是否成立 . 2.利用不等式的性质进行大小关系的比较. 3.不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用 .

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第六章·第一节

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自主回顾· 打基础

合作学习· 速通关

提升素养· 破难点

课时作业

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第六章·第一节

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自主回顾·打基础
强根基·固本源

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第六章·第一节

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1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的, 我们用数学符号

>、<、≥、≤、≠

连接两个数或代数

式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫 做不等式.

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第六章·第一节

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2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有 a- b>0? a>b ; a-b=0? a=b ; a-b<0? a<b .另外, 若 b>0, a a a 则有b>1?a>b;b=1?a=b;b<1?a<b. 3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c? a>c ;

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第六章·第一节

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(3)可加性:a>b?a+c > b+c,a>b,c>d?a+c > b+ d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an > bn(n∈N,n≥2); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).

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第六章·第一节

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1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致? 提示:不一致.同向不等式相加,对两边字母无条件 限制,而同向不等式相乘必须两边字母为正,否则不一定 成立.

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第六章·第一节

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1 1 2.(1)a>b?a<b成立吗? (2)a>b?an>bn(n∈N,且n>1)对吗? 提示:(1)不成立,当a,b同号时成立,异号时不成 立. (2)不对,若n为奇数,成立,若n为偶数,则不一定成 立.

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第六章·第一节

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1.在城区限速40

km/h的路标,指示司机在前方路段 km/h,写不等式就是

行驶时,应使汽车的速度v不超过40 ( ) A.v<40 km/h C.v≠40 km/h B.v>40 km/h D.v≤40 km/h

答案:D

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第六章·第一节

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2.给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a2>b2; ③a>b?a3>b3;④|a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( A.①② C.③④ B.②③ D.①④ )

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第六章·第一节

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解析:当c=0时,①不成立;当|a|=1,b=-2时,④ 不成立.
答案:B

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第六章·第一节

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3.如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的 大小关系是( ) B.-a>a2>-a2>a D.a2>-a>a>-a2

A.a2>a>-a2>-a C.-a>a2>a>-a2

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第六章·第一节

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1 解析:∵a +a<0,∴-1<a<0.不妨令a=- 2 ,易知选
2

项B正确.
答案:B

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第六章·第一节

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1 4. 与 3+1的大小关系为________. 2- 1
1 解析: -( 3 +1)=( 2 +1)-( 3 +1)= 2 - 3 2-1 1 <0,∴ < 3+1. 2-1
1 答案: < 3+1 2-1

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第六章·第一节

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5.已知12<x<60,15<y<36,则x-y的取值范围是 ________.
解析:∵15<y<36,∴-36<-y<-15.又∵12<x<60, ∴12-36<x-y<60-15,即-24<x-y<45.

答案:(-24,45)

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第六章·第一节

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合作学习·速通关
抓重点·破疑难

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第六章·第一节

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用不等式(组)表示不等关系

【例1】

(1)某商人如果将进货单价为8元的商品按

每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售 价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价 每提高1元,销售量就可能相应减少10件.若把提价后 商品的售价设为x元,怎样用不等式表示每天的利润不 低于300元?

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第六章·第一节

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【解析】

若提价后商品的售价为x元,则销售量减少

x-10 1 ×10件,因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)] 元,则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x- 8)[100-10(x-10)]≥300.

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第六章·第一节

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实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应 注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换, 常见的文字语言及其转换关系如下表:

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第六章·第一节

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文字 语言 符号 语言

大于, 高于, 超过 >

小于, 大于等于, 小于等于, 低于, 少于 < 至少,不 低于 ≥ 至多,不 超过 ≤

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第六章·第一节

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某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要 在A,B两种设备上加工,在每台A,B设备上加工一件甲产 品所需工时分别为1小时和2小时,加工一件乙产品所需工 时分别为2小时和1小时,A,B两种设备每月有效使用台时 数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.

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第六章·第一节

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解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y,则由题意可 ? ?x+2y≤400, ?2x+y≤500, 知? ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N.

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第六章·第一节

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比较大小

【例 2】

(1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N= )

a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定

(2)已知 a>b>0,比较 aabb 与 abba 的大小. (1)可用作差法求解. (2)利用作商法求解判 断.
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第六章·第一节

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【解析】

(1)∵M-N =a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-

(a2-1)=(a1-1)(a2-1) 又 a1,a2∈(0,1),故(a1-1)(a2-1)>0,故 M>N.
a -b aabb a a a-b (2)∵abba= a-b=(b) , b

a 又 a>b>0,故b>1,a-b>0, a a -b aabb ∴(b) >1,即abba>1,又 abba>0,∴aabb>abba, ∴aabb 与 abba 的大小关系为:aabb>abba.

【答案】 (1)B (2)aabb>abba
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第六章·第一节

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1.作差比较法的目的是判断差的符号,而作商比较法的目 的是判断商与1的大小.两种方法的关键是变形. 2.当两个代数式为多项式形式时,常用作差法比较大小 .当 两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商比较法 .

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第六章·第一节

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比较下列各组中两个代数式的大小. (1)3m2-m+1与2m2+m-3; a2 b2 (2)a>0,b>0比较 + 与a+b的大小. b a

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解:(1)∵(3m2-m+1)-(2m2+m-3) =m2-2m+4=(m-1)2+3>0, ∴3m2-m+1>2m2+m-3. a3+b3-a2b-ab2 a2 b2 (2)作差:∵ b + a -(a+b)= ab a2?a-b?+b2?b-a? ?a-b??a2-b2? = = ab ab ?a-b?2?a+b? = , ab

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?a-b?2?a+b? 又∵a>0,b>0,∴ ≥0, ab a2 b2 故 b + a ≥a+b.

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第六章·第一节

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不等式性质的应用

【例3】

(1)下面四个条件中,使a>b成立的充分而 ) B.a>b-1 D.a3>b3

不必要的条件是( A.a>b+1 C.a2>b2

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第六章·第一节

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a (2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;② d b + c <0;③a-c>b-d;④a· (d-c)>b(d-c)中成立的个数是 ( ) A.1 C.3 B.2 D.4 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真 假.

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第六章·第一节

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【解析】

(1)由a>b+1得a>b+1>b,即a>b;且由a>b

不能得出a>b+1.因此,使a>b成立的充分不必要条件是a>b +1. (2)∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,故① 错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0,∵c<d<0,∴-c>-d>0, a b ac+bd ∴a(-c)>(-b)(-d),∴ac+bd<0,∴ d + c = cd <0,故 ②正确.

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第六章·第一节

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∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d),a -c>b-d,故③正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),故④正确,故选 C.
【答案】 (1)A (2)C

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第六章·第一节

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在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题 和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并 应用性质判断命题真假.

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1 (1)设a,b是实数,则“0<ab<1”是“b<a”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件

)

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(2)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有正确结论的序号是( A.① C.②③ B.①② D.①②③ )

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1 1 解析:(1)若0<ab<1,当a<0时,b> a ;当a>0时,b< a ; 1 反之,若b<a,当a<0时,ab>1;当a>0时,ab<1.故选C. 1 ? 1 1? ? a>b>1? >0 1 1 > ? ab ??a· >b· ? b a? (2)① ab ab ? a>b c<0 ? ? ? c c c c ? < 即 > ,所以①正确; b a a b

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?a? a ? ? ? ? ?c<1? a>b>1?b>1 ?? ?b? ??ac<bc,所以②正确; ② ? c<0 bc>0 ? ? ?

a>b>1? a-c>b-c>1? ? ? ? ?loga(a-c)>loga(b-c), ? ③ ? ? c<0 ? a>1 ? ? a>b>1? ? ? c<0 ? ? ?a-c>1?logb(a-c)>loga(a-c),所以logb(a-

c)>loga(b-c).所以③正确.
答案:(1)C (2)D

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第六章·第一节

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1.在学习不等式的性质时,要特别注意下面几点 (1)不等式的性质是解、证不等式的基础,对任意两实数 a、b有a-b>0?a>b,a-b=0?a=b,a-b<0?a<b,这是比 较两数(式)大小的理论根据,也是学习不等式的基石. (2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质,并 注意在解题中灵活、准确地加以应用.
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第六章·第一节

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(3)不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c,这是放缩 法的依据,在运用传递性时,要注意不等式的方向,否则 易产生这样的错误:为证明a>c,选择中间量b,在证出 a>b,c>b后,就误认为能得到a>c. (4)同向不等式可相加,但不能相减,即由a>b,c>d, 可以得出a+c>b+d,但不能得a-c>b-d.

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2.理解不等式的思想和方法 (1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法, 应引起高度注意,要注意强化. (2)加强化归意识,把比较大小问题转化为实数的运 算. (3)通过复习要强化不等式“运算”的条件.如a>b、 c>d在什么条件下才能推出ac>bd. (4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用,加强知 识间的联系.
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提升素养·破难点
研经典·明考向

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第六章·第一节

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易错易混警示(九) 忽视不等式同解变形致误 【典例】 范围. x x3 x3 已知1≤lg y ≤2,2≤lg ≤3,求lg 的取值 y 3 y

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失误展示 x x3 ∵1≤lg ≤2,2≤lg ≤3, y y ?2 1≤lgx-lgy≤2 ? ?5≤lgx≤1 ? ∴? ,解得? 1 18 2≤3lgx-2lgy≤3 ? ? - ≤lgy≤2 ? 5 ? 1 又lg =3lgx- lgy, 3 3 y x3



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失误展示 1 1 ? 18? 21 ∴lg =3lgx- lgy≤3×1- ×?- 5 ?= , 3 3 ? ? 5 3 y 1 2 1 8 x3 又lg =3lgx- 3lgy≥3× 5-3×2=15,∴lg 的取值 3 3 y y
? 8 21? 范围是?15, 5 ?. ? ?

x3

x3

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正确解答 x ? ?1≤lgy≤2, 由? 3 x ?2≤lg ≤3 y ? 1≤lgx-lgy≤2, ? ? 变形,得? 1 2≤3lgx- lgy≤3, ? 2 ?

2b-a ? ? lgx-lgy=a, ? lgx= 5 , ? ? 令? 解得? 1 2b-6a 3lgx-2lgy=b, ? ? ? lgy= . ? 5 ?

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正确解答 2b-a 1 2b-6a 16 1 1 ∴lg =3lgx- lgy=3· - · = b- a . 3 5 3 5 15 5 3 y 1 1 ? 2 ? ?-5≤-5a≤-5, ?1≤a≤2, 由? 得? ? ?2≤b≤3, ?32≤16b≤16. 5 ?15 15 x3

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正确解答 26 16 1 26 x3 ∴ ≤ b- a≤3,即 ≤lg ≤3. 15 15 5 15 3 y ∴lg x3 3
?26 ? 的取值范围是?15,3?. ? ?

y

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(1)同向不等式相加或相乘不是等价变形,在解题过程中多次使 用有可能扩大所求范围. 点 拨 提 升 (2)此类问题的解决方法是:先建立待求整体与已知范围的整体 的等量关系,最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求 整体的范围. (3)错因分析:利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围, 但应注意两点:一是必须严格运用不等式的性质;二是在多次 运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,要特别注 意.错因在于运用同向不等式相加这一性质时,不是等价变形 .

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1.已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y的取值 范围是________.

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解析:设z=2x-3y=λ(x+y)+μ(x-y),则2x-3y=(λ +μ)x+(λ-μ)y,对比两边的系数有: 1 ? ?λ=-2, 得? ?μ=5, ? 2
? ?λ+μ=2, ? ? ?λ-μ=-3,

解之

1 5 所以z=-2(x+y)+2(x-y),又由条件有:

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1 1 5 -1<x+y<4且2<x-y<3代入,则有-2<- 2(x+y)< 2 ,5<2 (x 15 -y)< ,所以3<z<8.故z=2x-3y的取值范围是(3,8).(本题 2 也可用线性规划知识求解)
答案:(3,8)

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2 3 x x 2.设实数x,y满足3≤xy2≤8,4≤ y ≤9,则 y4 的最大值

是________.

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2 4 4 x x x 5 解析:令 xy2=m, y =n,则y2=n2,所以 xy2· 2=x = y
2 1 x x m n - mn ,所以 x=m n ,此时,y= =m5 n 5 ,则 4= 8 -4 = n y m5 n 5 1 5 2 5

2

2

3

3 5

6 5

n2 x3 m ∈[2,27],故y4的最大值是 27.

答案:27

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