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江苏省灌云县第一中学2014-2015学年高二数学暑期作业(套卷)(5)


高二数学暑假作业(五)
参考公式 1 n 1 n 样本数据 x1,x2,?,xn 的方差 s2= ∑(xi-- x )2,其中- x = ∑xi. n i=1 n i=1 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 ....... 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题纸相应位置上. 2i

1.已知复数 z= -1,其中 i 为虚数单位,则 z 的模为 1-i ▲ .

2.经统计,在银行一个营业窗口每天上午 9 点钟排队等候的人数及相应概率如下: 排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 ▲ . ▲ . 4 0.1 ≥5 0.04

则该营业窗口上午 9 点钟时,至少有 2 人排队的概率是

? ?x+y≤2, 3.若变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 z=2x+y 的最大值是 ? ?y≥0,
4.右图是一个算法流程图,则输出 k 的值 是 ▲ .
开始 k←1 S←40

5.如图是甲、乙两位射击运动员的 5 次 训练成绩(单位:环)的茎叶图,则 成绩较为稳定(方差较小)的运动员 是 ▲ .

k←k+1 S←S-2k S≤0 Y 输出 k 结束 (第 4 题图) (第 5 题图) N

甲 乙 7 8 9 7 8 8 9 3 1 0 9 6 9

6.记不等式 x2+x-6<0 的解集为集合 A,函数 y=lg(x-a)的定义域为集合 B.若“x∈A” 是“x∈B”的充分条件,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

y2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,过双曲线 C:x2- =1 的右焦点 F 作 x 轴的垂线 l,则 l 与双 3 曲线 C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ . ▲ .

8.已知正六棱锥 P-ABCDEF 的底面边长为 2,侧棱长为 4,则此六棱锥的体积为

? ? 9.在△ABC 中, ? ABC=120 ?, BA=2, BC=3, D, E 是线段 AC 的三等分点,则 BD · BE

的值 为 ▲ . ▲ .

10.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 Sk-1=8,Sk=0,Sk+1=-10,则正整数 k=

? ? 11.若将函数 f(x)=∣sin(? x- )∣(?>0)的图象向左平移 个单位后,所得图象对应的函 6 9 数为偶函数 ,则实数?的最小值是 12.已知 x,y 为正实数,则 ▲ . ▲ .

4x y + 的最大值为 4x+y x+y

13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,直线 l:y=kx+3 与圆 C 相交于 A,B 两点,M 为弦 AB 上一动点,以 M 为圆心,2 为半径的圆与圆 C 总有公共点, 则实数 k 的取值范围为 ▲ .

14.已知 a,t 为正实数,函数 f(x)=x2-2x+a,且对任意的 x∈[0,t],都有 f(x)∈[-a, a].若对每一个正实数 a,记 t 的最大值为 g(a),则函数 g(a)的值域为 ▲ . ........ 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 acosC+ccosA=2bcosA. (1)求角 A 的值; (2)求 sinB+sinC 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 在四棱锥 P-ABCD 中,BC∥AD,PA⊥PD,AD=2BC,AB=PB, E 为 PA 的中点. (1)求证:BE∥平面 PCD; (2)求证:平面 PAB⊥平面 PCD.
A E D P

B (第 16 题图)

C

17. (本小题满分 14 分) 如图,摩天轮的半径 OA 为 50m,它的最低点 A 距地面的高度忽略不计.地面上有一长 度为 240m 的景观带 MN,它与摩天轮在同一竖直平面内,且 AM=60m.点 P 从最低点 A 处 按逆时针方向转动到最高点 B 处,记? AOP=?,? ∈(0,π). 2? (1)当? = 时,求点 P 距地面的高度 PQ; 3 (2)试确定? 的值,使得? MPN 取得最大值.
B P

O ? A Q M (第 17 题图) N

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2,右准线 l:x=m+1 与 x 轴的交点为 B,BF2=m. (1)已知点( 6 ,1)在椭圆 C 上,求实数 m 的值; 2

(2)已知定点 A(-2,0). TA ①若椭圆 C 上存在点 T,使得 = 2,求椭圆 C 的离心率的取值范围; TF1 ②当 m=1 时,记 M 为椭圆 C 上的动点,直线 AM,BM 分别与椭圆 C 交于另一点 P,Q, → → → → 若AM =λ AP ,BM=? BQ ,求证:λ+?为定值.
P F1 O F2 y M A Q l B x

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=x2-x+t,t≥0,g(x)=lnx. (1)令 h(x)=f(x)+g(x),求证:h(x)是增函数; (2)直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切.对于确定的正实数 t,讨论直线 l 的条数,并 说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列{an}的各项均为正数,其前 n 项的和为 Sn,且对任意的 m,n∈N*,
2 都有(Sm+n+S1) =4a2ma2n.

a2 (1)求 的值; a1 (2)求证:{an}为等比数列; (3)已知数列{cn},{dn}满足|cn|=|dn|=an,p(p≥3)是给定的正整数,数列{cn},{dn}的前 p 项的和分别为 Tp,Rp,且 Tp=Rp,求证:对任意正整数 k(1≤k≤p),ck=dk.

高二数学暑假作业(五)参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 5 2.0.74 3.4 4.6 5.甲

6.(-∞,-3] 3 11. 2 未指定书签。

7.4 3 12. 4 3

8.12 3 13.[- ,+∞) 4

11 9. 9

10.9 14.(0,1)∪{2}错误!

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.解: (1)因为 acosC+ccosA=2bcosA,所以 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA, 即 sin(A+C)=2sinBcosA. 因为 A+B+C=π,所以 sin(A+C)=sinB. 从而 sinB=2sinBcosA. 1 因为 sinB≠0,所以 cosA= . 2 π 因为 0<A<π,所以 A= . 3 ?????????? 7 分 ?????????? 4 分

2π 2π 2π (2)sinB+sinC=sinB+sin( -B)=sinB+sin cosB-cos sinB 3 3 3 3 3 π = sinB+ cosB= 3sin(B+ ). 2 2 6 2π π π 5π 因为 0<B< ,所以 <B+ < . 3 6 6 6 所以 sinB+sinC 的取值范围为( 3 , 3]. 2 ?????????? 14 分 ?????????? 11 分

16.证明: (1)取 PD 的中点 F,连接 EF,CF. 1 因为 E 为 PA 的中点,所以 EF∥AD,EF= AD. 2 1 因为 BC∥AD,BC= AD, 2 所以 EF∥BC,EF=BC. 所以四边形 BCFE 为平行四边形. 所以 BE∥CF. ?????????? 4 分
B (第 16 题图) C E A P F D

因为 BE?平面 PCD,CF?平面 PCD, 所以 BE∥平面 PCD. (2)因为 AB=PB,E 为 PA 的中点,所以 PA⊥BE. ?????????? 6 分

因为 BE∥CF,所以 PA⊥CF.

?????????? 9 分

因为 PA⊥PD,PD?平面 PCD,CF?平面 PCD,PD∩CF=F, 所以 PA⊥平面 PCD. 因为 PA ?平面 PAB,所以平面 PAB ?平面 PCD. 17.解: (1)由题意,得 PQ=50-50cos ? . 2? 2? 从而,当? = 时,PQ=50-50cos =75. 3 3 即点 P 距地面的高度为 75m. ?????????? 4 分 ?????????? 12 分 ?????????? 14 分

(2) (方法一)由题意,得 AQ=50sin ? ,从而 MQ=60-50sin ? ,NQ=300-50sin ? . 又 PQ=50-50cos ? , NQ 6-sin? MQ 6-5sin? 所以 tan?NPQ= = ,tan?MPQ= = . PQ 1-cos? PQ 5-5cos? ?????????? 6 分 从而 tan ? MPN=tan(? NPQ-? MPQ) 6-sin? 6-5sin? - 1 - cos ? 5 -5cos? tan?NPQ-tan?MPQ = = 1+tan?NPQ?tan?MPQ 6-sin? 6-5sin? 1+ × 1-cos? 5-5cos? 12(1-cos?) = . 23-18sin?-5cos? 12(1-cos?) 令 g(? )= ,? ∈(0,π), 23-18sin?-5cos? 12×18(sin?+cos?-1) 则 g ?(?)= ,? ∈(0,π). (23-18sin?-5cos?)2 由 g ?(?)=0,得 sin ? +cos ? -1=0,解得? = ? . 2 ?????????? 9 分

?????????? 11 分 ? ? 当? ∈(0, )时,g ?(? )>0,g(? )为增函数;当? ∈( ,?)时,g ?(? )<0, 2 2 g(? )为减函数, 所以,当? = ? 时,g(? )有极大值,也为最大值. 2 ? ? ,所以 0<? MPN< , 2 2

因为 0<? MPQ<? NPQ<

从而当 g(? )=tan ? MPN 取得最大值时,? MPN 取得最大值. 即当? = ? 时,? MPN 取得最大值. 2 ?????????? 14 分

(方法二)以点 A 为坐标原点,AM 为 x 轴建立平面直角坐标系,

则圆 O 的方程为 x2+(y-50)2=502,即 x2+y2-100y=0,点 M(60,0),N(300,0). 设点 P 的坐标为 (x0,y0),所以 Q (x0,0),且 x02+y02-100y0=0. NQ 300-x0 MQ 60-x0 从而 tan?NPQ= = ,tan?MPQ= = . PQ y0 PQ y0 ?????????? 6 分 从而 tan ? MPN=tan(? NPQ-? MPQ) 300-x0 60-x0 - y0 y0 tan?NPQ-tan?MPQ = = 1+tan?NPQ?tan?MPQ 300-x0 60-x0 1+ × y0 y0 24y0 = . 10y0-36x0+1800 由题意知,x0=50sin ? ,y0=50-50cos ? , 12(1-cos?) 所以 tan ? MPN== . 23-18sin?-5cos? (下同方法一) ?????????? 9 分

18.解: (1)设椭圆 C 的方程为
2

x2 y2 + =1(a>b>0). a2 b 2
2

? ? ?a2=m+1, ?a =m+1, c 由题意,得? 解得?b =m, ?(m+1)-c=m, ? ? ?c=1.
x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. m+1 m 因为椭圆 C 过点( 6 3 1 ,1),所以 + =1 , 2 m 2(m+1)

1 解得 m=2 或 m=- (舍去). 2 所以 m=2. (2)①设点 T(x,y). 由 TA = 2,得(x+2)2+y2=2[(x+1)2+y2],即 x2+y2=2. TF1
2 2

?????????? 4 分

??????? 6 分

y =2, ?x + ? 2 x y2 由? 得 y2=m2-m. + =1, ? ?m+1 m 因此 0≤m2-m≤m,解得 1≤m≤2. 所以椭圆 C 的离心率 e= 1 3 2 ∈[ , ]. 3 2 m+1 ?????????? 10 分

②(方法一)设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2). ? ? 则AM=(x0+2,y0), AP =(x1+2,y1).
?x0+2=?(x1+2), ? ? 由AM=? AP , 得 ? ?y0=?y1. ?x0=?x1+2(?-1), 从而? ?y0=?y1.

?????????? 12 分

[?x1+2(?-1)]2 x02 因为 +y02=1,所以 +(? y1)2=1. 2 2 x12 即? 2( +y12)+2 ?(?-1)x1+2(?-1)2-1=0. 2 因为 x12 +y12=1,代入得 2 ? (?-1)x1+3 ? 2-4 ?+1=0. 2

由题意知,?≠1, 3?-1 ?-3 故 x1=- ,所以 x0= . 2 2? -?+3 同理可得 x0= . 2 因此 ?????????? 14 分

?-3 -?+3
2 = 2

, ?????????? 16 分

所以?+?=6. (方法二)设 M(x0,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2). y0 直线 AM 的方程为 y= (x+2). x0+2

y0 x2 1 2 2 2 2 将 y= (x+2)代入 +y2=1,得( (x0+2)2+y0 )x +4y0 x+4y0 -(x0+2)2 =0(*). 2 2 x0+2 x02 2 2 因为 +y02=1,所以(*)可化为(2x0+3)x2+4y0 x-3x0 -4x0=0. 2
2 3x0 +4x0 3x0+4 因为 x0x1=- ,所以 x1=- . 2x0+3 2x0+3

3x0-4 同理 x2= . 2x0-3 ? ? → → 因为AM=? AP , BM =? BQ ,

?????????? 14 分

x0+2 x0-2 x0+2 x0-2 所以?+?= + = + x1+2 x1-2 3x0+4 3x0-4 - +2 -2 2x0+3 2x0-3 = 即 λ+?为定值 6. (x0+2)(2x0+3) (x0-2)(2x0-3) + =6. x0+2 -x0+2 ?????????? 16 分

1 19.解: (1)由 h(x)=f(x)+g(x)=x2-x+t+lnx,得 h' (x)=2x-1+ ,x>0. x 1 因为 2x+ ≥2 x 1 2x· =2 2,所以 h' (x)>0, x ?????????? 3 分

从而函数 h(x)是增函数.

(2)记直线 l 分别切 f(x),g(x)的图象于点(x1,x12-x1+t),(x2,lnx2), 由 f'(x)=2x-1,得 l 的方程为 y-(x12-x1+t)=(2x1-1)(x-x1),即 y=(2x1-1)x-x12+t. 1 1 1 由 g'(x)= ,得 l 的方程为 y-lnx2= (x-x2),即 y= ·x+lnx2-1. x x2 x2

? 2x1-1= 1 , ? x2 所以? (*) 2 ? ?-x1 +t=lnx2-1.
(1+x2)2 消去 x1 得 lnx2+ -(t+1)=0 4x22 (**). ?????????? 7 分

2 (1+x)2 1 1+x 2x -x-1 (2x+1)(x-1) 令 F(x)=lnx+ = ,x>0. 2 -(t+1),则 F'(x)= - 3 = 4x x 2x 2x3 2x3

由 F'(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,F'(x)<0,当 x>1 时,F'(x)>0, 所以 F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 从而 F(x)min=F(1)=-t. ?????????? 9 分

当 t=0 时,方程(**)只有唯一正数解,从而方程组(*)有唯一一组解, 即存在唯一一条满足题意的直线;
+ +

?????????? 11 分

当 t>0 时,F(1)<0,由于 F(et 1)>ln(et 1)-(t+1)=0, 故方程(**)在(1,+∞)上存在唯一解; ?????????? 13 分

1 1 1 x-1 令 k(x)=lnx+ -1(x≤1),由于 k' (x)= - 2= 2 ≤0,故 k (x)在(0,1]上单调递减, x x x x 1 故当 0<x<1 时,k (x)>k (1)=0,即 lnx>1- , x (1+x)2 1 1 从而 lnx+ -(t+1)>( - )2-t. 2 4x 2x 2 1 1 1 1 所以 F( )>( t+ )2-t= t+ >0,又 0< <1, 2 4 2( t+1) 2( t+1) 故方程(**)在(0,1)上存在唯一解. 所以当 t>0 时,方程(**)有两个不同的正数解,方程组(*)有两组解. 即存在两条满足题意的直线. 综上,当 t=0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 1; 当 t>0 时,与两个函数图象同时相切的直线的条数为 2.

?????????? 16 分
2 2 20.解: (1)由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(S2+S1)2=4a2 ,即(a2+2a1)2=4a2 .

a2 因为 a1>0,a2>0,所以 a2+2a1=a2,即 =2. a1 令 m=n=2,得 S4+S1=2a4,即 2a1+a2+a3=a4. 所以 a4=4a2=8a1. a2 又因为 =2,所以 a3=4a1. a1

?????????? 3 分

证明:(2)(方法一)令 m=1,n=2,得(S3+S1)2=4a2a4,即(2a1+a2+a3)2=4a2a4,

?????????? 6 分

由(Sm+n+S1)2=4a2na2m,得(Sn+1+S1)2=4a2na2,(Sn+2+S1)2=4a2na4. (Sn+2+S1)2 a4 Sn+2+S1 两式相除,得 = 2= ,所以 (Sn+1+S1) a2 Sn+1+S1 即 Sn+2+S1=2(Sn+1+S1), 从而 Sn+3+S1=2(Sn+2+S1). 所以 an+3=2an+2,故当 n≥3 时,{an}是公比为 2 的等比数列. 又因为 a3=2a2=4a1,从而 an=a1·2 n 1,n∈N*.


a4 =2. a2

显然,an=a1·2 n

-1

满足题设, ?????????? 10 分

因此{an}是首项为 a1,公比为 2 的等比数列. (方法二)在(Sm+n+S1)2=4a2na2m 中, 令 m=n,得 S2n+S1=2a2n. 令 m=n+1,得 S2n+1+S1=2 a2na2n+2 , 在①中,用 n+1 代 n 得,S2n+2+S1=2a2n+2.

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ?????????? 8 分

②-①,得 a2n+1=2 a2na2n+2-2a2n=2 a2n ( a2n+2- a2n), ③-②,得 a2n+2=2a2n+2-2 a2na2n+2=2 a2n+2( a2n+2- a2n), 由④⑤得 a2n+1= a2na2n+2.

⑥代入④,得 a2n+1=2a2n;⑥代入⑤得 a2n+2=2a2n+1, a2n+2 a2n+1 a2 所以 = =2.又 =2, a1 a2n+1 a2n 从而 an=a1·2 n 1,n∈N*.


显然,an=a1·2 n

-1

满足题设, ?????????? 10 分

因此{an}是首项为 a1,公比为 2 的等比数列. (3)由(2)知,an=a1·2


n-1



因为|cp|=|dp|=a1·2p 1,所以 cp=dp 或 cp=-dp. 若 cp=-dp,不妨设 cp>0,dp<0,

则 Tp≥a1·2p 1-(a1·2p 2+a1·2p 3+?+a1)=a1·2p 1-a1·(2p 1-1)=a1>0.
- - - - -

Rp≤-a1·2p 1+(a1·2p 2+a1·2p 3+?+a1)=-a1·2p 1+a1·(2p 1-1)=-a1<0.
- - - - -

这与 Tp=Rp 矛盾,所以 cp=dp. 从而 Tp-1=Rp-1. 由上证明,同理可得 cp-1=dp-1.如此下去,可得 cp-2=dp-2,cp-3=dp-3.?,c1=d1. 即对任意正整数 k(1≤k≤p),ck=dk. ?????????? 16 分


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