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4.1.1圆的标准方程


数学必修 2 4.1.1 圆的标准方程
【学习目标】 1、能根据圆心、半径写出圆的标准方程;由标准方程求圆心和半径;会用待定 系数法求圆的标准方程. 2、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想. 3、通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴 趣. 【学习重点】圆的标准方程; 【学习难点】会根据不同的已知条件,利用待定系数法

求圆的标准方程. 【课前预习】 1、圆的定义 2、两点间距离公式 3、尝试推导圆的标准方程

圆心 A(a,b) ,半径为 r ,点 M(x,y) 为圆上任意一点,则点 M 满足的集合 为 ,由两点间距离公式可得点 M 满足的方程 为 ,化简得 。 4、圆心为原点,半径为 r 的圆的标准方程 。 5、(1)写出圆心在原点,半径是 3 的圆的标准方程 ; 2 2 (2)写出(x-3) +(y-2) =5 的圆心坐标 和半径 。 【尝试解答】 一、点到圆心的距离 探究一:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1)点在圆外 (2)点在圆上 (3)点在圆内 总结:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 待定系数法确定 a、b、r 三个参数。 探究二: (1)确定一个圆只需确定 圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以 可知,要确定圆的标准方程,可用

圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 (2)总结归纳: ABC 外接圆的标准方程的两种求法: ①根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写 出圆的标准方程. ②根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写 出圆的标准方程. 例 1 写 出 圆 心 为 A(2, ?3) 半 径 长 等 于 5 的 圆 的 方 程 , 并 判 断 点

M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上.

例 2 △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C(2, ?8), 求它的外接圆的方程.

例 3 已 知 圆 心 为 C 的 圆 l : x? y? 1 ? 0经 过 点 A(1, 1) 和 B(2, ?2) , 且 圆 心 在
l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程.
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

【达标检测】 1、已知两点 P1 (4,9) , P2 (6,3) ,求以线段 P 1P 2 为直径的圆的方程,并判断点 M(6, 9),N(3,3),Q(5,3)在圆上、在圆内、还是在圆外?

2、已知 ?AOB 的顶点坐标分别为 A(4,0),B(0,3),O(0,0),求 ?AOB 外接圆的 方程.

3、已知圆 C 的圆心在直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 上,并且经过原点和 A(2,1),求圆 C 的标准方程.

【课堂作业】课本 P124

A 组 2、4

【拓展延伸】 1、求下列圆的标准方程 (1)圆心为点 C(8,-3),且过点 A(5,1) (2)过 A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)三点 2、圆心在 x 轴,并且过点 A(-1,1),B(1,3),求此圆的方程.

*3、平面直角坐标系中有 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点是否在 同一圆上?为什么?

*4、等腰三角形的顶点 A 的坐标为(4,2),底边一个端点 B 的坐标为(3,5),求另 一个端点 C 的轨迹方程,并说明是什么图像。

数学必修 2 4.1.2 圆的一般方程
【学习目标】 1、掌握圆的一般方程的特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径。 2、掌握二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条件,利用待定 系数法求圆的一般方程。 3、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想。 【重点难点】重点:掌握圆的一般方程,用待定系数法求圆的一般方程; 难点:二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条 件,利用待定系数法求圆的一般方程。 【课前预习】
1.已知圆的圆心为 C (a, b) ,半径为 r ,则圆的标准方程为 在坐标原点上,则圆的方程就是 2.求过三点 A(0,0), B(1,1), C(4, 2) 的圆的方程. . ,若圆心

问题 1.方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 表示什么图形?方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 表示
什么图形?

问题 2.方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件下表示圆?

方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的轨迹: (1)当_____________ 时,方程表示以 (? 的圆 ( 2 ) 当 _____________ 时 , 方 程 只 有 实 数 解 x ? ?

D E 1 , ? ) 为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径 2 2 2 D E , y ? ? ,即只表示一个点 2 2

D E ,? ) 2 2 (3) 当_____________时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 【尝试解答】 (?
2 2 1、圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 2 ? 0 的圆心坐标和半径分别为

(

)

( A) (?1, 2),3

( B ) (1, ?2),3

( C ) (? 1 , 2 ) ,

3( D ) ( 1? , 2), 3

2、圆心为(1,2),半径为 2 的圆的标准方程是_______________________.

2 2 3、如果圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 圆心在直线 y ? 2 x 上,则(



( A) D ? 2 E

( B) E ? 2D

(C ) E ? 2 D ? 0

(D) D ? E

4、若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是(
2 A.a<-2 或 a> 3 2 B.- 3 <a<0 2 D.-2<a< 3

)

C.-2<a<0

5. 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的圆心及半径.

(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;

(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.

【达标检测】 1.配方法求下列方程表示圆的圆心坐标和半径: (1) x2 ? y 2 ? 2 x ? 5 ? 0 (2) x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

(3) x2 ? y 2 ? 4x ? 0

(4) x2 ? y 2 ? 5 y ? 1 ? 0

2、已知 ? ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1)、B(3,1)、C(3,3),求 ? ABC 外接圆的方

程。

3、求点 P(4, ?2) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点 Q 连线所成线段的中点 M 的轨迹方程。

【课堂作业】P123

1.

2.

【拓展延伸】

1、将圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是( A. x ? y ? 1 ? 0 B.
x? y?3?0

) D.
x? y?3?0

C.

x ? y ?1 ? 0

2.若直线 3x ? y ? a ? 0 过圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 D.-3 B.1

) C.3

3.经过圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 ( )
x ? y ?1 ? 0

A. x ? y ? 1 ? 0 B.

C.

x ? y ?1 ? 0

D.

x ? y ?1 ? 0

4.求与两定点 A(-1,2),B(3,2)的距离比为

2 的点 P 的轨迹方程

5.求经过三点 A(1,-1) 、B(1,4) 、C(4,-2)的圆的方程。

? x ? 1? 6、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上
求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

2

? y2 ? 4

运动,

数学必修 2 4.2.1 直线与圆的位置关系(1)
【学习目标】
1、理解直线与圆的位置关系;会利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 2、会判断直线和圆的位置关系 3、通过例题的分析讨论,提高学生的综合运用知识的能力