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4.1.1圆的标准方程


数学必修 2 4.1.1 圆的标准方程
【学习目标】 1、能根据圆心、半径写出圆的标准方程;由标准方程求圆心和半径;会用待定 系数法求圆的标准方程. 2、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想. 3、通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴 趣. 【学习重点】圆的标准方程; 【学习难点】会根据不同的已知条件,利用待定系数法

求圆的标准方程. 【课前预习】 1、圆的定义 2、两点间距离公式 3、尝试推导圆的标准方程

圆心 A(a,b) ,半径为 r ,点 M(x,y) 为圆上任意一点,则点 M 满足的集合 为 ,由两点间距离公式可得点 M 满足的方程 为 ,化简得 。 4、圆心为原点,半径为 r 的圆的标准方程 。 5、(1)写出圆心在原点,半径是 3 的圆的标准方程 ; 2 2 (2)写出(x-3) +(y-2) =5 的圆心坐标 和半径 。 【尝试解答】 一、点到圆心的距离 探究一:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1)点在圆外 (2)点在圆上 (3)点在圆内 总结:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 待定系数法确定 a、b、r 三个参数。 探究二: (1)确定一个圆只需确定 圆心为 C 的圆经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等,所以 可知,要确定圆的标准方程,可用

圆心 C 在线段 AB 的垂直平分线 m 上,又圆心 C 在直线 l 上,因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点,半径长等于 CA 或 CB 。 (2)总结归纳: ABC 外接圆的标准方程的两种求法: ①根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写 出圆的标准方程. ②根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写 出圆的标准方程. 例 1 写 出 圆 心 为 A(2, ?3) 半 径 长 等 于 5 的 圆 的 方 程 , 并 判 断 点

M1 (5, ?7), M2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上.

例 2 △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C(2, ?8), 求它的外接圆的方程.

例 3 已 知 圆 心 为 C 的 圆 l : x? y? 1 ? 0经 过 点 A(1, 1) 和 B(2, ?2) , 且 圆 心 在
l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程.
4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

【达标检测】 1、已知两点 P1 (4,9) , P2 (6,3) ,求以线段 P 1P 2 为直径的圆的方程,并判断点 M(6, 9),N(3,3),Q(5,3)在圆上、在圆内、还是在圆外?

2、已知 ?AOB 的顶点坐标分别为 A(4,0),B(0,3),O(0,0),求 ?AOB 外接圆的 方程.

3、已知圆 C 的圆心在直线 l : x ? 2 y ? 1 ? 0 上,并且经过原点和 A(2,1),求圆 C 的标准方程.

【课堂作业】课本 P124

A 组 2、4

【拓展延伸】 1、求下列圆的标准方程 (1)圆心为点 C(8,-3),且过点 A(5,1) (2)过 A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)三点 2、圆心在 x 轴,并且过点 A(-1,1),B(1,3),求此圆的方程.

*3、平面直角坐标系中有 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点是否在 同一圆上?为什么?

*4、等腰三角形的顶点 A 的坐标为(4,2),底边一个端点 B 的坐标为(3,5),求另 一个端点 C 的轨迹方程,并说明是什么图像。

数学必修 2 4.1.2 圆的一般方程
【学习目标】 1、掌握圆的一般方程的特征,由圆的一般方程确定圆的圆心半径。 2、掌握二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条件,利用待定 系数法求圆的一般方程。 3、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想。 【重点难点】重点:掌握圆的一般方程,用待定系数法求圆的一般方程; 难点:二元二次方程与圆的一般方程的关系及根据不同的已知条 件,利用待定系数法求圆的一般方程。 【课前预习】
1.已知圆的圆心为 C (a, b) ,半径为 r ,则圆的标准方程为 在坐标原点上,则圆的方程就是 2.求过三点 A(0,0), B(1,1), C(4, 2) 的圆的方程. . ,若圆心

问题 1.方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 表示什么图形?方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 6 ? 0 表示
什么图形?

问题 2.方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 在什么条件下表示圆?

方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的轨迹: (1)当_____________ 时,方程表示以 (? 的圆 ( 2 ) 当 _____________ 时 , 方 程 只 有 实 数 解 x ? ?

D E 1 , ? ) 为圆心, D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径 2 2 2 D E , y ? ? ,即只表示一个点 2 2

D E ,? ) 2 2 (3) 当_____________时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 【尝试解答】 (?
2 2 1、圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 2 ? 0 的圆心坐标和半径分别为

(

)

( A) (?1, 2),3

( B ) (1, ?2),3

( C ) (? 1 , 2 ) ,

3( D ) ( 1? , 2), 3

2、圆心为(1,2),半径为 2 的圆的标准方程是_______________________.

2 2 3、如果圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 圆心在直线 y ? 2 x 上,则(



( A) D ? 2 E

( B) E ? 2D

(C ) E ? 2 D ? 0

(D) D ? E

4、若方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是(
2 A.a<-2 或 a> 3 2 B.- 3 <a<0 2 D.-2<a< 3

)

C.-2<a<0

5. 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的圆心及半径.

(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;

(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.

【达标检测】 1.配方法求下列方程表示圆的圆心坐标和半径: (1) x2 ? y 2 ? 2 x ? 5 ? 0 (2) x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0

(3) x2 ? y 2 ? 4x ? 0

(4) x2 ? y 2 ? 5 y ? 1 ? 0

2、已知 ? ABC 的顶点坐标分别是 A(1,1)、B(3,1)、C(3,3),求 ? ABC 外接圆的方

程。

3、求点 P(4, ?2) 与圆 x2 ? y 2 ? 4 上任一点 Q 连线所成线段的中点 M 的轨迹方程。

【课堂作业】P123

1.

2.

【拓展延伸】

1、将圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是( A. x ? y ? 1 ? 0 B.
x? y?3?0

) D.
x? y?3?0

C.

x ? y ?1 ? 0

2.若直线 3x ? y ? a ? 0 过圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为( A.-1 D.-3 B.1

) C.3

3.经过圆 x2 ? 2x ? y 2 ? 0 的圆心 C,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线方程是 ( )
x ? y ?1 ? 0

A. x ? y ? 1 ? 0 B.

C.

x ? y ?1 ? 0

D.

x ? y ?1 ? 0

4.求与两定点 A(-1,2),B(3,2)的距离比为

2 的点 P 的轨迹方程

5.求经过三点 A(1,-1) 、B(1,4) 、C(4,-2)的圆的方程。

? x ? 1? 6、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上
求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

2

? y2 ? 4

运动,

数学必修 2 4.2.1 直线与圆的位置关系(1)
【学习目标】
1、理解直线与圆的位置关系;会利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 2、会判断直线和圆的位置关系 3、通过例题的分析讨论,提高学生的综合运用知识的能力

【重点难点】重点:根据给定直线和园的方程,判断直线与圆的位置关系
难点:判断方法的选择

【课前预习】阅读课本教材,完成下面填空:
1、 直线方程的一般式为:__ 2、 圆的标准方程为:______ 3、 圆的一般方程为:_____ _________________ ________圆心为:___ ____半径为:__ _____ _________ 相 交 相 切 相 离

_________圆心为:_____ ___半径为:_________

4、 点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离为:_______ 位置关系 公共点个数 判 定 方 法 |Aa+Bb+C| 几何法:设圆心到直线的距离 d= A2+B2

? ?Ax+By+C=0 代数法:由? 2 2 2 消元得到一元二次方程的判别 ??x-a? +?y-b? =r ?

式Δ

【尝试解答】
例 1 已知直线 l:3x+y-6=0 和圆心为 C 的圆 x +y -2y-4=0,判断直线 l 与圆的位置关系.如 果相交,求出它们的交点坐标.
2 2

变式:

已知圆C : x2 ? y2 ? 4和直线l : y ? x ? b ,b为何值时,直线l与圆C

?1? 相交,?2? 相切, ?3? 相离.

例2已知过点M (?3, ?3)的直线l被圆x2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0所截得的弦长为4 5, 求直线l的方程.

变式:求与 x 轴相切, 圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 所截弦长为 2
的圆的方程.

7

【达标检测】
1.直线 3x+4y+12=0 与圆(x+1)2+(y+1)2=9 的位置关系是 A.过圆心
2 2

( D.相交

) )

B.相切

C.相离 B.y=2x-2 1 3 D.y= x- 2 2

2.直线 l 将圆 x +y -2x-4y=0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线 l 的方程为( A.y=2x 1 3 C.y= x+ 2 2 方程是 A.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 A.在圆上 C.在圆内
2 2

3.若圆 C 半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准 ( B.(x-2)2+(y+1)2=1 D.(x-3)2+(y-1)2=1 ( ) B.在圆外 D.都有可能 )

4.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a,b)的位置是

5.过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别为 P、Q,则线段 PQ 的长为________. 6.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长 为 2 2,则圆 C 的标准方程为____________.

【课堂作业】 课本 P132

5

6
( )

【拓展延伸】
1.圆 x2+y2+2x+4y-3=0 上到直线 l:x+y+1=0 的距离为 2的点有 A.1 个 B.2 个
2

C.3 个

D.4 个

2.已知直线 l:y=x+b 与曲线 C:y= 1 ? x 有两个不同的公共点,求实数 b 的取值范围;

3.已知,圆 C:x +y ﹣8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程.

2

2

数学必修 2 4.2.1 直线与圆的位置关系(2)
【学习目标】
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与园的位置关系 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 3、体会数形结合思想,初步形成代数方法处理几何问题能力。

【重点难点】重点:根据给定直线和园的方程,判断直线与圆的位置关系
难点:用直线和圆的方程解决一些简单的问题

【课前预习】完成下面填空: 与圆有关的最值问题
2 2 2 (1)若 P ( x 0 , y0) 是圆 x +y =r 上的一点,则 x0 ,y 0 的范围是 x 0 ? (

, y0 ? )

( ) (2)若 P 是半径为 r 的圆 C 外一点,则圆上的点到 P 点距离的最小值为 ,最大 值为 (3)若 P 是圆 C 内一点,则过点 P 的弦中,最长值为 ,最短值为 (4)若直线 l 与半径为 r 的圆相离,且圆心到直线的距离为 d,则圆上的点到直线的距离 的最大值为 ,最小值为

【尝试解答】
例1. 求经过点 A(-2,-4) ,且与直线 l :x+3y-26=0 相切于点 B(8,6)的圆的方程.

例 2.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆

x 2 +y2 -4x-4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程.

例 3.设点 P( x , y )在圆 x +(y-1) =1 上. (1) 求

2

2

(x-2)2 +y2 的最小值.
y+2
的最小值.

(2) 求

x +1

变式:设点 P(x,y)是圆 x +(y+4) =4 上任意一点,则

2

2

的最

大值为(



【达标检测】 1.求圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴相切的圆的方程

.

2.已知圆 C 的半径为 2 ,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为( ) B x2 + y 2 + 4 x = 0 D. x2 + y 2 - 4 x = 0

A x2 + y 2 - 2 x - 3 = 0 C x2 + y 2 + 2 x - 3 = 0 3.点 P(x,y)在圆 x2+y2=4 上,则

y?4 的最大值是 x?4

4.已知 x2+y2+4x-2y-4=0,则 x2+y2 的最大值为____________
2 5.一束光线从点 A(-1,1)发出,经 x 轴反射到圆 C: (x - 2) + ( y - 3)2 = 1 上,其最短

路程是(



A.4 B.5 C. 3 2 - 1 D. 2 2 6.在平面直角坐标系中,A,B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点,若以 AB 为直径的圆 C 与直线 2x+y﹣4=0 相切,则圆 C 面积的最小值为( ) A.

4? 5

B.

3? 4

C. (6-2 5)?

D.

5? 4

【课堂作业】

课本 P132 7 【拓展延伸】

8

2 1.直线 x-2 y-3=0 与圆 (x-2 ) +(y+3)2 =9 交于 E、F 两点,则 D EOF (O 是原点)的

3
面积为( 2.直线 x﹣ ) A.

3
B.
2 2

6 5
C. 2 5 D.

2

4

5


y=0 截圆 x +y ﹣4x=0 所得劣弧所对的圆心角是(

A.

5? 6

B.
2 2

? 3

C.

2? 3

D.
2 2

? 2


3.已知 a、b∈E,a +b ≠0,则直线 l:ax+by=0 与圆:x +y +ax+by=0 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定

2 4.已知直线 l :(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,圆 C: (x - 1 ) + ( y - 2)2 = 25 .证明:当 m? R

时, l 与圆必相交,并求相交弦最短时对应的 m 值.

数学必修 2 2.3.4 圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.了解圆与圆的位置关系及其判定方法 2.掌握判定圆与圆的位置关系的代数与几何判别方法 3.利用圆与圆、直线与圆的位置关系解决一些简单的相关问题

【重点难点】圆与圆的位置关系的判断 【课前预习】
1.知识链接: 1.圆和圆的位置关系有 2.圆与圆的位置关系,设两圆的半径分别为 r1 , r2 (r1 ? r2 ) ,圆心距为 d 图形 位置 关系 性质 (1)交点个数是 (2)公切线条数 (1)交点个数是 (2)公切线条数 判定方法

o1

o2

<d<

o1

o2

d=

o1

o2

(1)交点个数是 (2)公切线条数

d=

o1

o2

(1)交点个数是 (2)公切线条数

d>

o1 o2

(1)交点个数是 (2)公切线条数

d<

2.教材导读:阅读教材第 129-130 面。 尝试:新知填空 类 比 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 , 你 能 得 出 圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ?0 与 圆

C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的位置关系的判断方法吗?
2 2 ? ? x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 方法一:(代数法)由 ? 2 消元得到一元二次方程。 2 ? ? x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0

(1)如果有解,则两圆,有公共点 ①方程组有两组实数解时,两圆 ②方程组有一组实数解时, (2)如果无解,则两圆,

,此时,两圆

方法二:几何法:两圆的半径分别为 R, r ( R ? r ) ,圆心距为 d (1)如果 d < R - r ,则: (2)如果 d = R - r ,则: (3)如果 R - r < d < R - r ,则: (4) 如果 d = R + r , 则: (5) 如果 d > R + r , 则: 3.自学检测: 1.圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0和圆x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.相离; B.外切; C.相交; D.内切。 2.两圆 x ? y ? r 和圆( x ? 3) ? ( y ? 1) ? r (r ? 0) 外切,则 r 的值是(
2 2 2 2 2 2





A. 10 ;

B. 5 ;

C.5 ; D.

10 . 2

【尝试解答】
例 1、已知圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 y ? 1 ? 0,圆C2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 2 ? 0, 试判断圆 C1与圆C2 的位置关系? 解法一: (用代数方法联立方程组求解)

解法二: (用几何方法求解)

变式训练:判断下列各题中两圆的位置关系 (1) C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 (2) C1 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 13 (3) C1 : x 2 ? y 2 ? 9

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0

C2 : ( x ? 4) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 13

C2 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1

【达标检测】
1.圆 O1:x +y -2x=0 和圆 O2:x +y -4y=0 的位置关系是( ) (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 2 2 2 2 2.圆 x +y =1 与圆 x +y +2x+2y+1=0 的交点坐标为( ) (A)(1,0)和(0,1) (B)(1,0)和(0,-1) (C)(-1,0)和(0,-1) (D)(-1,0)和(0,1) 2 2 2 2 3.若圆 x +y =4 与圆 x +y +2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为 2√3 ,则 a=_____.
2 2 2 2

【课堂作业】
1. 圆 C1: x ? y ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0与圆C2 : x ? y ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 公切线的条数是
2 2 2 2
2 2 2. 两 圆 x2 ? y 2 ?4 x ?4 y ? 0 , x ? y ?2 x ?1 2 ?相 0 交 于 A, B 两 点 , 则 直 线 AB 的 方 程 是 . 2 2 x ? 3? ? y2 ? 4 3. 两圆 x ? y ? 1 和 ? 的外公切线方程

2

.

【拓展延伸】
1、圆 C1: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10与圆C2 : ( x ? 6) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 50 交于 A、B 两点 (1) 求 AB 所在直线的直线方程 (2) 求公共弦 AB 的长

2.已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ? 0,圆C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?12 ? 0, 求:①两圆的公共弦所在的直线方程;②公共弦的长.

数学必修 2 4.2.3 直线与圆的方程的应用

【学习目标】1、知识与技能
(1)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (2)初步了解用代数方法解决几何问题的思路。. 2、情态与价值观 让学生通过观察图形,理解并掌握直 线与圆的方程的应用,培养学生分析问题与解 决问题的能力.

【重点难点】重点与难点:直线与圆的方程的应用 【课前预习】根据预习提纲,预习教材第 130-132 页,找出疑惑之处
用坐标法解决平面几何问题: (1) 建立适当的平面直角坐标系, 用 将平面几何问题转化为 问题; (2)通过 ,解决代数问题; (3)把代数运算结果 和 表示问题中的几何元素,



【尝试解答】例 1: (课本 130 页例 4)

例 2: (课本 131 页例 5)

变式:某圆拱桥的水面跨度 20 米,拱高 4 米。现有一船,宽 10 米,水面以上高 3 米,这条 船能否从桥下通过?

【达标检测】1 . ( 2010 ?福 州 模 拟 ) 过 点 ( 1 , 2 ) 且
A . x=1 或 y=2
2 2

x 2 +y 2 -2x=3 相 切 是 (



B . x=-1 或 x=3

C . y=2 (

D . x=1 )

2. 经 过 x +2x+y =0 心 C , 且 x+y=0 平 行 是

A . x+y+1=0 B . x+y-1=0 C . x-y+1=0D . x-y-1=0 3. ( 2009 ?上 海 )过 点 P( 0 ,1 )x 2 +y 2 -2x-3=0 相 交 所 有 中 ,被 截 得 弦 最 长 时 是( A . x=0 系是( 方程是 B . y=1
2 2



C . x+y-1=0

D . x-y+1=0

4 . 设 C : x +y -2x-2y-2=0 , L : ( m+1 ) x-my-1=0 , 对 任 意 实 数 m , C 和 L 位 置 关 ) A. 相 交 B. 相 切 C. 相 离 D. 由 m 值 确 定 。 5 . 若 l ( x+1 ) 2 + ( y-2 ) 2 =100 相 交 于 A , B 两 点 , 弦 AB 中 点 为 ( -2 , 3 ) , 则 l 的

【课堂作业】课本 132 页习题 4.2A 组
1.求以 ?1,3? 为圆心,并且与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程。
2 2 2. 求 圆 心 在 直 线 x ? y ? 4 ? 0 上 , 并 且 经 过 圆 x ? y ? 6 x ? 4 ? 0 与 圆

x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点的圆的方程。
2 2 3.求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 c : x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长。

4.求圆心在直线 3x ? y ? 0 上,与 x 轴相切,且被直线 x ? y ? 0 截得的弦长为 2 7 的圆的 方程。

【拓展延伸】1.求与圆 C : x 2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆
的方程。

2.求圆 x ? y ? 4 ? 0 与圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 12 ? 0 的公共弦的长。
2 2 2 2

3 求经过点 M ?2, - 2?以及圆 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 与 x 2 ? y 2 ? 4 交点的圆的方程。

4.求经过点 M ?3,?1? ,且与圆 C : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 5 ? 0 线切于点 N ?1,2? 的圆的方程。

数学必修 2 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式
【学习目标】 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.
(2)掌握空间两点间距离公式,会用公式计算或证明.

【重点难点】重点:1.空间直角坐标系的相关定义和点在空间直角坐标系中的坐标表
示.2.空间两点间距离公式及应用. 难点:1.确定点在空间直角坐标系中的坐标 2.空间两点间的距离公式的推导

【课前预习】
1. 如何确定一个点在一条直线上的位置? 2. 如何确定一个点在一个平面内的位置? 。 。

3.从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴:x 轴,y 轴,z 轴.这样 就建立了 ,点 O 叫作 ,x 轴、y 轴、z 轴叫作 ,这三 条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为 , , . 4.在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正方向,若中 指指向 z 轴的正方向则称这个坐标系为 。 5.空间任意点 A 的 坐标可以用有序实数组(x,y,z)来 表示,有序实数组(x,y,z) 叫做点 A 在此 ,记作 。其中 x 叫做点 A 的 , y 叫做点 A 的 ,z 叫做点 A 的 。

6.空间两点间的距离公式

。 分别是 BB ?, DB ? 的中点,棱

【尝试解答】例 1:在正方体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,E,F
长为 1,求 E,F 的坐标.

例 2:求点 A(1,2,?1) 关于坐标平面 xoy 及 x 轴对称的点坐标.

变式练习:在长方体 OABC-D’A’B’C’中,∣OA∣=3,∣OC∣=4,∣OD ∣=2, 写出 D 、C、 A 、B 四点关于平面 xOy 对称的坐标。
' ' '

'

例 3:已知的 CC 三个顶点 A(1,5,2), B(2,3,4), C (3,1,5) (1) 求 ?ABC 中最短边的边长; (2) 求 AC 边上的中线的长度

例 4:试解释方程 ( x ? 12) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ?z ? 5? ? 36 的几何意义
2

变 式 训 练 : 与 A(?1,2,3), B(0,0,5) 两 点 距 离 相 等 的 点 P( x, y, z ) 满 足 的 条 件 为 表示

【达标检测】
1.点 P(3,0,4),Q(0,0,-3)在空间直角坐标系中的位置分别是在( ) A.y 轴上、x 轴上 B.xOz 平面上、y 轴上 C.xOz 平面上、z 轴上 D.xOy 平面上、yOz 平面上 2.已知点 M(-3,5,2),点 M 关于 y 轴的对称点为 P,点 M 关于 xOz 平面的对称点为 Q, 则( ) A.P(3,-5,-2),Q(-3,-5,2) B.P(3,5,-2),Q(-3,-5,2) C.P(-3,-5,-2),Q(-3,5,-2) D.P(3,-5 ,2),Q(3,-5,2) 3.如图,在空间直角坐标系中,有一棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,A1C 的中点 E 到 AB 的中点 F 的距离为( )

A.2 2 B. 2 C.2 D.1 4.设点 M(4 3,-4,1),N 是 z 轴上的点,则|MN|的最小值为__________.

【课堂作业】
1. 在空间直角坐标系中,画出下列各点:A(0,0,3),B(1,2,3),C(2,0,4), D(-1,2,-2).

2. 已知:长方体 ABCD-A′B′C′D′的边长 AB=12,AD=8,AA′=7,以这个长方体 的顶点 B 为坐标原点,射线 AB,BC,BB′分别为 x 轴、y 轴和 z 轴的正半轴,建立空间直角 坐标系,求这个长方体各个顶点的坐标.

3. 写出坐标平面 yOz 上∠yOz 平分线上的点的坐标满足的条件.

【拓展延伸】1.在空间直角坐标系中,点 P(1,2,3) ,过点 P 作平面 xOy 的垂
线 PQ ,则 Q 的坐标为( A. (0,2, 0) ) C. (1 , 0,3) D. (1 ,2, 0) )

B. (0,2,3)

, , 4) ,则点 A 关于原点的对称点的坐标为( 2.已知点 A(?31 , ? 3, ? 4) A. (1 1, ? 3) B. (?4, ? 1, ? 4) C. (3,


? 1, 3) D. (4,

3.坐标原点到下列各点的距离最小的是(

, , A. (111)

, 2, 2) B. (1

? 3, 5) C. (2,

0, 4) D. (3,


4.在空间直角坐标系 O ? xyz 中, z ? 1 的所有点构成的图形是

2, ? 1) 关于平面 xOy 的对称点是 5.点 P(?3,
是 是 是 ,关于 平面 zOx 的对 称点是 ,关于 y 轴的对称点是 .

,关于平面 yOz 的对称点 ,关于 x 轴 的对 称点 ,关于 z 轴的对称点

数学必修 2 第四章 小节与复习
【学习目标】
1、掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程 2、能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系,能根据给定两个圆的方程, 判断两圆的位置关系 3、初步了解代数方法处理几何问题的思想

【重点难点】重点:直线与圆的位置关系,两圆的位置关系.
难点:代数方法处理几何问题的思想

【课前预习】完成下面填空:
1.圆的方程 圆的标准方程为___________________;圆心_________,半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____;圆心________ ,半径__________.

二元二次方程 Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件为: (1)_______ _______; 2.直线和圆的位置关系: 直线 Ax ? By ? C ? 0 ,圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,圆心到直线的距离为 d. 则: (1)d=_________________; (2)当______________时,直线与圆相离;当______________时,直线与圆相切; 当______________时,直线与圆相交; (3)弦长公式:____________________. 3. 两圆的位置关系
2 2 圆 C1 : ( x - a1 ) + ( y - b1 ) = r1 ; 圆 C2 : ( x - a2 ) + ( y - b2 ) = r2 2 2 2 2

(2) _______

__ .

则有:两圆相离 ? __________________; 外切 ? __________________; 相交 ? __________________________; 内含 ? _______________________. 内切 ? _________________;

【尝试解答】
题型一 求圆的方程 例 1.根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 A(6,5) 、B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上; (2)经过 P(﹣2,4) 、Q(3,﹣1)两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6.

题型二 讨论圆的方程
例 2. 若满足方程:x +y ﹣2(t+3)x+2(1﹣4t )y+16t +9=0(t∈R)的点的轨迹是圆. (1)求 t 的取值范围; (2)求其中面积最大的圆的方程; 2 (3)若点 P(3,4t )恒在所给的圆内,求 t 的取值范围.
2 2 2 2

题型三 与圆有关的最值问题 例 3.如果实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 求:

y 的最大值; x (2) y ? x 的最小值;
(1) (3) x ? y 的最值.
2 2

题型四 轨迹与轨迹方程
例 4.已知圆 x +y =4 上一定点 A(2,0) ,B(1,1)为圆内一点,P,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 中点的轨迹方程; (2)若∠ PBQ=90°,求线段 PQ 中点的轨迹方程.
2 2

题型五 直线与圆、圆与圆的位置关系
例 5. 已知两圆 x +y ﹣2x﹣6y﹣1=0.x +y ﹣10x﹣12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)当 m=45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
2 2 2 2

【达标检测】 1.两圆 x2+y2-4x+6y=0 和 x2+y2-6x=0 的连心线方程为( A.x+y+3=0 C.3x-y-9=0
2 2



B.2x-y-5=0 D.4x-3y+7=0 )

2.点( 2a, a ? 1 )在圆 x +y -2y-4=0 的内部,则 a 的取值范围是( A.-1< a <1 B. 0< a <1
2 2

C.–1< a <

1 5

D.-

1 < a <1 5
时,m=

3.已知直线 x﹣my+3=0 和圆 x +y ﹣6x+5=0,当圆被直线截得的弦长为

_________ . 4..已知,一圆经过坐标原点和点 P(1,1) ,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上,求圆的方程.

【课堂作业】

课本 P133 B2 3 【拓展延伸】
1.过圆 x ? y ? 4 外一点 P ? 4, 2? 作圆的两条切线,切点为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆方程是
2 2




2 A. (x ? 4) +(y ? 2)2 =4 2 C. (x ? 4) +(y ? 2)2 =5

B.

x2 +(y ? 2)2 =4

2 D. (x ? 2) +(y ? 1)2 =5

2.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是 A. ( x ? 7) ? ( y ? 1) ? 1
2 2





B. ( x ? 7) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

C. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

D. ( x ? 6) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

3.方程 ?x ? y ? 1? x 2 ? y 2 ? 4 ? 0 所表示的图形是( A.一条直线及一个圆



B.两个点

C.一条射线及一个圆 D.两条射线及一个圆 2 2 4.已知圆 x +y +x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P、Q 两点,且以 PQ 为直径的圆恰过 坐标原点,求实数 m 的值.

4.1.1 圆的标准方程答案
【课前预习】
1、 平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 2、 A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ), AB = ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2 2

2 2 3、 M MA ? r 、 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 、 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2

?

?
2

2

2

4、 x ? y ? r 。5、⑴ x ? y ? 9 ,⑵(3,2) 、 5
2 2 2 2

【尝试解答】
探究一 ⑴ ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2 ,⑵ ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2
2 2 2 2 2 2

⑶ ?x0 ? a? ? ? y0 ? b? ? r 2 探究二、圆心与半径

【典型例题】
例1、 解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于 5 的圆的标准方程是:

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 左右两边

相等,点 M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1 在这个圆上;
把点 M 2 (? 5,?1) 的坐标代入此方程,左右两边不相等,点 M 2 的坐标不适合圆的方程, 所以点 M 2 不在这个圆上. 例2、 解:设所求圆的方程为: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 因为 A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上,

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ?a ? 2, ? ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ? ?b ? ?3, ? r ? 5. ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ? ?
所求圆的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 。 例3、 解:∵A(1,1),B(2,-2),所以线段 AB 的中点 D 的坐标为(

3 1 ,? ) ,直线 AB 的斜率 2 2

k AB ?

? 2 ?1 1 1? 3? ? ?3 ,因此线段 AB 的垂直平分线 l ' 的方程是 y ? ? ? x ? ? ,即 2 ?1 2 3? 2?

x ? 3 y ? 3 ? 0 。圆心 C 的坐标是方程组

?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 ,的解。解此方程组,得 ? ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? y ? ?2
所以圆心 C 的坐标是(-3,-2) ,圆心为 C 的圆的半径长

r ? AC ?

?1 ? 3?2 ? ?1 ? 2?2

? 5 ,所以,圆心为 C 的圆的标准方程是

?x ? 3?2 ? ? y ? 2?2 ? 25。
【达标检测】
1、解:以线段 P , 1P 2 为直径的圆的圆心为 P 1P 2 的中点 O(5,6)

r?

P1 P2 2

?

?4 ? 6?2 ? ?9 ? 3?2
2

? 10 ,所以圆的标准方程为

?x ? 5?2 ? ? y ? 6?2 ? 10 。
把点 M(6,9),N(3,3),Q(5,3)坐标分别带入圆的标准方程得

??6 ? 5?2 ? ?9 ? 6 ?2 ? 10, M在圆上; ? ? 2 2 ??3 - 5? ? ?3 - 6 ? ? 13 ? 10, N在圆外; ? 2 2 ??5 - 5? ? ?3 - 6 ? ? 9 ? 10, Q在圆内。 ?
2、解:设圆的标准方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,点 A(4,0),B(0,3),O(0,0)在圆

上,得

? ?a ? 2 ??4 ? a ? ? ?0 ? b ? ? r 2 ? ? 3 3? 25 ? ? ? 2 2 2 2 ,所以 ?x ? 2? ? ? y ? ? ? ??0 ? a ? ? ?3 ? b ? ? r ? ?b ? 2 2? 4 ? ? ? 2 2 2 ? ? ? ? 0 ? a ? 0 ? b ? r ? 25 ? ? r2 ? ? 4 ?
2 2 2

3、解:圆心过 AO 的垂直平分线 l 1 ,AO 中点 D(1, l 1 的方程为 y ?

1 1 ) , k AO ? , k l1 ? ?2 2 2

1 ? ?2?x ? 1?即4 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,圆心又在 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 2

6 ? x? 2 2 ?4 x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 145 ? 5 2 ? 1 ? ?6? ? , r ? ? , ? ? ? ? ? ? ? 1 10 5 100 ? ? ? ? ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?y ? ? 10 ? 6? ? 1? 145 ? ?? x ? ? ? ? y ? ? ? 5? ? 10 ? 100 ? 【拓展延伸】
1、⑴ r 2 ? ?8 ? 5? ? ?? 3 ? 1? ? 25,? ?x ? 8? ? ? y ? 3? ? 25
2 2 2 2
2 2

2、 圆心在 x 轴上所以圆心坐标为 O (a,0) ,圆心又在 AB 的垂直平分线 L 上, AB 中点 C (0,2) ,

k AB ? 1, kOC ? ?1 ,? L方程为y ? 2 ? ?1x,即x ? y ? 2 ? 0
a+0-2=0,a=2, r 2 ? 10, ?x ? 2? ? y 2 ? 10
2

3略

4略

4.1.2 圆的一般方程答案
【尝试解答】
1、 C 2、 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4
2 2

3、B

4、D

5、⑴圆的方程化简为 x 2 ? y 2 ? x ? 3 y ?

9 ? 0 , D 2 ? E 2 ? 4F ? 1 ? 9 ? 9 ? 1 ? 0 ,表示 4

圆,圆心 ?

1 ? 1 ? 3? , ? ,半径 r ? 。 2 ?2 2 ?
2 2

⑵圆的方程化简为 x ? y ? x ? 3 y ? 示圆。

11 ? 0 , D 2 ? E 2 ? 4F ? 1 ? 9 ? 11 ? ?1 ? 0 ,不表 4

【达标检测】
1、⑴ ?x ? 1? ? y 2 ? 6,圆心?1,0?, r ?
2 2 2

6

⑵ ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 9,圆心?? 1,2?, r ? 3. ⑶ ?x ? 2? ? y 2 ? 4,圆心?? 2,0?, r ? 2;
2
2 ? 5 5? 21 21 ? ? ?。 ,圆心? 0 , , r ? ⑷x ??y? ? ? ? 2 ? 2? 4 2 ? ? ? 2

2、解:设圆的一般方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,? A?1,1?, B?3,1?, C ?3,3?

?1 ? 1 ? D ? E ? E ? 0 ? D ? ?4 ? ? 位于圆上,? ?9 ? 1 ? 3D ? E ? F ? 0 ? ? E ? ?4 , ?9 ? 9 ? 3D ? 3E ? F ? 0 ? F ? 6 ? ?
圆的一般方程为 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 。

?x ? 3、 解:设 M ?x, y ?, Q?x0 , y0 ?,? M为PQ中点,

4 ? x0 y ?2 ,y ? 0 即 2 2

x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 2, Q 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上所以 Q 满足方程,即

?2x ? 4?2 ? ?2 y ? 2?2 ? 4,即?x ? 2?2 ? ? y ? 1?2 ? 1,
M 的轨迹方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

【拓展延伸】
1、C 2、B 3、C

4、解:设 P(x,y),依题意知

AP BP

? 2, 即

?x ? 1?2 ? ? y ? 2?2

? 2

?x ? 3?2 ? ? y ? 2?2

,化简得

x 2 ? y 2 ? 14x ? 4 y ? 21 ? 0 ,
所以 P 的轨迹方程为 x ? y ?14x ? 4 y ? 21 ? 0 。
2 2

5、 解: 设圆的一般方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,? 圆过 A?1,?1?, B?1,4?, C ?4,?2? 三点,

?1 ? 1 ? D ? E ? F ? 0 ? E ? ?3 ? ? ?1 ? 16 ? D ? 4 E ? F ? 0 , ? D ? ?7 , ?16 ? 4 ? 4 D ? 2 E ? F ? 0 ? F ? 2 ? ?
所以圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 7 x ? 3 y ? 2 ? 0 。

?x ? 6、解:设 M(x,y) , A?x0 , y0 ? , ? M为AB中点,
2

4 ? x0 3 ? y0 .y ? , 2 2

? x0 ? 2 x ? 4, y 0 ? 2 y ? 3,? A在圆?x ? 1? ? y 2 ? 4上, ? ?x0 , y 0 ?满足圆的

?2x - 4 ? 1? ? ?2 y ? 3? 方程,
2

2

3? ? 3? ? ? 4, ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, 2? ? 2? ?

2

2

M 的轨迹方

3? ? 3? ? 程是 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1。 2? ? 2? ?

2

2

4.2.1 直线与圆的位置关系(1)答案
【尝试解答】
例 1 见课本.变式略.例 2.见课本 变式: 解:设圆心(t,3t) ,则由圆与 x 轴相切,可得半径 r=3|t|. ∵ 圆心到直线的距离 d=
2

=

|t|,由
2 2

,解得 t=±1.
2

故圆心为(1,3)或(﹣1,﹣3) ,半径等于 3. 故圆 C 的方程为 (x+1) +(y+3) =9 或 (x﹣1) +(y﹣3) =9.

【达标检测】
1.D 2.A
2 2

3.A

4.B

5.4

6.(x-3) +y =4

【拓展延伸】
1.C 2.(数形结合),方程 y=x+b 表示斜率为 1,在 y 轴上截距为 b 的直线 l; 方程 y= 1 ? x 表示单位圆在 x 轴上及其上方的半圆,
2

当直线过 B 点时,它与半圆交于两点,此时 b=1,直线记为 l1; 当直线与半圆相切时,b= 2 ,直线记为 l2. 直线 l 要与半圆有两个不同的公共点,必须满足 l 在 l1 与 l2 之间(包括 l1 但不包括 l2),

所以 1≤b< 2 ,即所求的 b 的取值范围是[1, 2 ). 3.解:将圆 C 的方程 x +y ﹣8y+12=0 配方得标准方程为 x +(y﹣4) =4, 则此圆的圆心为(0,4) ,半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 .解得 .
2 2 2 2

(2)联立方程
2 2 2 2

并消去 y,

得(a +1)x +4(a +2)x+4(a +4a+3)=0. 设此方程的两根分别为 x1、x2, 所以 x1+x2=﹣ 则 AB= 2 两边平方并代入解得:a=﹣7 或 a=﹣1, ∴ 直线 l 的方程是 7x﹣y+14=0 和 x﹣y+2=0. = = ,x1x2=

4.2.1 直线与圆的位置关系(2)答案
【尝试解答】
例 1. 解:设圆为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

连接切点与圆心的直线和半径垂直得,

即 3D﹣E+36=0

依题意有方程组


2 2

∴ 圆的方程为 x +y ﹣11x+3y﹣30=0. 例 2.解:已知圆的标准方程是 2 2 (x﹣2) +(y﹣2) =1, 它关于 x 轴的对称圆的方程是

(x﹣2) +(y+2) =1, 设光线 L 所在直线的方程是 y﹣3=k(x+3) (其中斜率 k 待定) 由题设知对称圆的圆心 C'(2,﹣2)到这条直线的距离等于 1, 即 .整理得:12k +25k+12=0,
2

2

2

解得:

,或

. ,或 ,

故所求的直线方程是 即 3x+4y﹣3=0,或 4x+3y+3=0. 例 3.(1) 5-1 (2)

4 3

变式: 解:根据题意, 表示圆上点 P(x,y)与(1,1)的距离, 则其最大值为圆心(0,﹣4)与(1,1)的距离加上半径, 即 的最大值为: +2= 故答案为: . +2.

【达标检测】 1、 (x-3) 2 +(y-3)
2.D 3.
2

=9 或(x-1) 2 +(y+1)

2

=1

4? 7 3

4.14+6 5

5.A

6.A

【拓展延伸】
1.D 2. C 3.B 4.解: (1)直线方程 l: (2m+1)x+(m+1)y=7m+4,可以改写为 m(2x+y﹣7)+x+y﹣4=0, 所以直线必经过直线 2x+y﹣7=0 和 x+y﹣4=0 的交点.由方程组 两直线的交点为 A(3,1) , 又因为点 A(3,1)与圆心 C(1,2)的距离 , 所以该点在 C 内,故不论 m 取什么实数,直线 l 与圆 C 恒相交. (2)连接 AC,当直线 l 是 AC 的垂线时,此时的直线 l 与圆 C 相交于 B、D.BD 为直线 l 被圆所截得的最短弦长.此时, 短弦长为 . ,所以 .即最 解得 即

又直线 AC 的斜率

,所以直线 BD 的斜率为 2.

此时直线方程为:y﹣1=2(x﹣3) ,即 2x﹣y﹣5=0.

2.3.4 圆与圆的位置关系答案
【尝试解答】1、C 2、D
例1、 相交 变式训练: (1)相交 (2)外切 (3)内切

【达标检测】1、B 2、C 3、1 【课堂作业】1、1 条
y?? 2 3 2 x? 4 4

2 、 x ? 2y ? 6 ? 0 3 、 x ? 1 或 y ?

2 3 2 或 x? 4 4

【拓展延伸】1、 2 x ? y ? 0 , AB ? 2 5

2、 x ? y ? 2 ? 0

AB ? 2 2

4.2.3

直线与圆的方程的应用答案

【尝试解答】课本 130-131 页例 4 和例 5
变式:可以通过。

【达标检测】1.C2.A3.C4.A5. x ? y ? 5 ? 0 【课堂作业】课本 132 页习题 4.2A 组
1. ? x ? 1? ? ? y ? 3? ?
2 2

256 2 2 ;2. x ? y ? x ? 7 y ? 32 ? 0 ; 25
2 2 2

3. 10 ;4. ?x ?? ? ? y ? 3? ? 9, 或?x ? 1? ? ? y ? 3? ? 9 。
2

3? 5 2 2 【拓展延伸】1. ?x ? 2?2 ? ? ? y ? ? ? ;2. 2 2 ;3. x ? y ? 3x ? 2 ? 0 ? 2? 4 20 ? ? 15 ? 845 4. ? . ?x ? ? ?? y ? ? ? 7 ? ? 14 ? 196 ?
2 2

2

4.3.1 空间直角坐标系

4.3.2 空间两点间的距离公式答案:
【尝试解答】例 1 E(1,1, ) F( , , )
例 2 关于平面 xoy 的对称点是 。关于平面 x ( 1,2,1 )

,1 2

1 1 ,1 2 2 2

( 1,-2,1 ) 轴的对称点是
变式:解:因为 D 在 z 轴上,且∣OD ∣=2,它的竖坐标为 2, 它的横坐标与纵坐标都是零, 所以 D 点的坐标是 (0,0, 2) , 点 C 在 y 轴上,且 ∣OC∣=4,所以点 C 的坐标为(0,4,0) , 点 A 的坐标为(3,0,2) ,B 的坐标为(3,4,2) 。所以 D 点 对称点的坐标是(0,0,-2) ,点 C 对称点的坐标为(0,4,0) , 点 A 对称点的坐标为(3,0,-2) ,B 的对称点坐标为(3,4, -2) 。 例 3(1)∣OA∣= 6
' ' ' ' ' ' ' '

(2)∣OA∣=

1 2

例 4 在空间直角坐标系中以(12,-3,5)为球心的球面。 变式:2x-4y+4z-11=0 表示平面

【达标检测】1.C 【课堂作业】1,略

2. 2.略

3.B

4.8

3 x=0 且 y=z

【拓展延伸】 1.D2.C3.A4.平面 5. ?- 3, - 2,1??3,2, - 1??- 3, - 2, - 1??- 3, - 2,1??3,2,1??3, - 2,-1?

第四章
【尝试解答】

小节与复习答案

例 1. 解: (1)∵ AB 的中垂线方程为:3x+2y﹣15=0, 由 ,解得 ,

圆心坐标为 C(7,﹣3) ,BC= 2 2 故所求的圆的方程为 (x﹣7) +(y+3) =65. (2)因为线段 PQ 的垂直平分线为 y=x+1, 所以设圆心 C 的坐标为(a,a+1) , 半径 r=|PC|= = ,

圆心 C 到 x 轴的距离为 d=|a+1|, 2 2 2 2 2 2 由题意得 3 +d =r ,即 3 +(a+1) =2a ﹣2a+13, 2 整理得 a ﹣4a+3=0,解得 a=1 或 a=3. 2 2 当 a=1 时,圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =13;

当 a=3 时,圆的方程为(x﹣3) +(y﹣4) =25. 2 2 综上得,所求的圆的方程为(x﹣1) +(y﹣2) =13 2 2 或(x﹣3) +(y﹣4) =25. 例 2.解: (1)已知方程可化为: 2 2 2 2 2 2 4 (x﹣t﹣3) +(y+1﹣4t ) =(t+3) +(1﹣4t ) ﹣16t ﹣9 2 2 2 ∴ r =﹣7t +6t+1>0,即 7t ﹣6t﹣1<0, 解得﹣ <t<1, t 的取值范围是(﹣ ,1) . (2)r= = ,

2

2

当 t= ∈(﹣ ,1)时, rmax= , ) +(y+
2

此时圆的面积最大,对应的圆的方程是: ( x﹣
2

)=

2



(3)圆心的坐标为(t+3,4t ﹣1) . 2 2 2 2 4 2 半径 r =(t+3) +(1﹣4t ) ﹣(16t +9)=﹣7t +6t+1 ∵ 点 P 恒在所给圆内, 2 2 2 2 2 ∴ (t+3﹣3) +(4t ﹣1﹣4t ) <﹣7t +6t+1, 2 即 4t ﹣3t<0, 解得 0<t< . 例 3. (1) 3 ; (2) ? 6 ? 2 ; (3) x ? y
2

?

2

?

min

? 4 3 ; ? x2 ? y 2 ? ? 7 ? 4 3 . max

例 4.解: (1)设 AP 中点为 M(x,y) , 由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x﹣2,2y) . 2 2 2 2 ∵ P 点在圆 x +y =4 上,∴ (2x﹣2) +(2y) =4. 2 2 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x﹣1) +y =1. (2)设 PQ 的中点为 N(x,y) , 在 Rt△ PBQ 中,|PN|=|BN|, 设 O 为坐标原点,则 ON⊥ PQ, 2 2 2 2 2 所以|OP| =|ON| +|PN| =|ON| +|BN| , 2 2 2 2 所以 x +y +(x﹣1) +(y﹣1) =4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x +y ﹣x﹣y﹣1=0. 2 2 2 例 5.解: (1)由已知可得两个圆的方程分别为(x﹣1) +(y﹣3) =11、 (x﹣5) +(y﹣6) 2 =61﹣m, 两圆的圆心距 d= 由两圆的半径之和为 + =5,两圆的半径之和为 =5,可得 m=25+10 . + ,
2 2

(2)由两圆的圆心距 d= |, 即| ﹣ |=5,可得 ﹣

=5 等于两圆的半径之差为|



=5 (舍去) ,或



=﹣5,解得

m=25﹣10 . 2 2 2 2 (3)当 m=45 时,两圆的方程分别为 (x﹣1) +(y﹣3) =11、 (x﹣5) +(y﹣6) =16, 把两个圆的方程相减,可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y﹣23=0. 第一个圆的圆心(1,3)到公共弦所在的直线的距离为 d= 2 =2 . 2.D 2.A 3.D 3. ?3 4. (x﹣4) +(y+3) =25
2 2

=2,可得弦长为

【达标检测】1.C 【拓展延伸】1.D

2 ? 2 4.解:由 ? x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 ? 5 y 2 ? 20y ? 12 ? m ? 0 ?x ? 2 y ? 3 ? 0

? y1 ? y 2 ? 4 ? ?? 12 ? m y1 y 2 ? ? 5 ?
5

又 OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0,而 x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= 4m ? 27 ∴

4m ? 27 12 ? m ? ?0 5 5

解得 m=3.


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