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第二节 直线的交点坐标与距离公式


第二节

直线的交点坐标与距离公式

【考纲下载】 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

1.两条直线的交点

2.三种距离 点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离

|P1P2|= ?x2-x1? +?y2-y1? |Ax0+By0+C| d= A2+B2 |C1-C2| d= 2 2 A +B

2

2

1.两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系? 提示:两条直线相交?方程组有唯一解;两条直线平行?方程组无解;两条直线重合? 方程组有无穷多解. 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么? 提示:使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式;使用两条平行线间距离 公式时,要将两直线方程化为一般式且 x、y 的系数对应相等.

1.(教材习题改编)原点到直线 x+2y-5=0 的距离是( ) A.1 B. 3 C.2 D. 5 2.两条直线 l1:2x+y-1=0 和 l2:x-2y+4=0 的交点为( ) ?2 9? ? 2 9? A.? , ? B.?- , ? 5 5 ? ? ? 5 5? 9? 9? ?2 ? 2 C.? ,- ? D.?- ,- ? 5 5 5 5? ? ? ? 3.(2014?烟台模拟)已知直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1 =0,则直线 l1 与 l2 的距离为( ) 8 3 A. B. C.4 D.8 5 2
-1-

4.已知直线 l1 与 l2:x+y-1=0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2,则直线 l1 的方程为 ____________. 5.若三条直线 2x+3y+8=0,x-y-1=0 和 x+by=0 相交于一点,则 b=________.

考点一

两直线的交点问题

[例 1] (1)经过直线 l1:x+y+1=0 与直线 l2:x-y+3=0 的交点 P,且与直线 l3:2x -y+2=0 垂直的直线 l 的方程是____________. (2)(2014?锦州模拟)当 0<k<0.5 时,直线 l1:kx-y=k-1 与直线 l2:ky-x=2k 的交 点在第________象限. 【互动探究】 若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”,试求 l 的方程.

【方法规律】 经过两条直线交点的直线方程的设法 经过两相交直线 A1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1 +λ (A2x+B2y+C2)=0(这个直线系方程中不包括直线 A2x+B2y+C2=0)或 m(A1x+B1y+C1)+ n(A2x+B2y+C2)=0. 1 已知直线 l1:2x+3y+8=0,l2:x-y-1=0,l3:x+ky+k+ =0,分别求满足下列条 2 件的 k 的值: (1)l1,l2,l3 相交于一点; (2)l1,l2,l3 围成三角形.

考点二

对 称 问 题

[例 2] 已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2).求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程.

-2-

【方法规律】 (1)关于中心对称问题的处理方法: ①若点 M(x1,y1)及 N(x,y)关于 P(a,b)对称,则由中点坐标公式得?
? ?x=2a-x1, ?y=2b-y1. ?

②直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它 们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用 l1 ∥l2,由点斜式得到所求直线方程. (2)关于轴对称问题的处理方法: ①点关于直线的对称 若两点 P1(x1,y1)与 P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0 对 称 , 则 线 段 P1P2 的 中 点 在 l 上 , 而 且 连 接 P1P2 的 直 线 垂 直 于 l , 由 方 程 组

?x +x ?+B?y +y ?+C=0, A? ? ? ? ?? 2 ? ? ? 2 ? ?y -y ? A? - ?=-1, ? ?x -x ?? ? B?
1 2 1 2 2 2 1 1

可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2, y2)(其中 B≠0,

x1≠x2).
②直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相 交;二是已知直线与对称轴平行. 直线 y=2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线,若点 A(-4,2),B(3,1),求点 C 的 坐标.

高频考点

考点三

距离公式的应用

1.距离公式包括两点间的距离、点到直线的距离和两平行线间的距离.这三种距离在高 考中经常体现,试题难度不大,多为容易题或中档题,以选择、填空的形式呈现,有时也会 在解答题中有所体现. 2.高考中对距离公式的考查主要有以下几个命题角度: (1)求距离; (2)已知距离求参数值; (3)求距离的最值. [例 3] (1)(2014?安康模拟)点 P 到点 A′(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,且 P 到直 2 线 y=x 的距离等于 ,这样的点 P 共有( ) 2 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 (2)(2014?启东模拟)l1,l2 是分别经过 A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当 l1, l2 间的距离最大时,直线 l1 的方程是____________.

-3-

与距离有关问题的常见类型及解题策略 (1)求距离.利用两点间的距离公式,点到直线的距离公式,两平行线的距离公式直接求 解,也可利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为点到直线的距离. (2)已知距离求参数值.可利用距离公式,得出含参数的方程,解方程即可求解. (3)求距离的最值.可利用距离公式得出距离关于某个点的函数,利用函数知识求最值. 1.在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cos θ ),B(sin θ ,1),则△OAB 的面积的取值范 围是( ) ?1 3? A.(0,1] B.? , ? ?2 2? 1 3 ? ? ?1 3? C.? , ? D.? , ? ?4 2? ?4 4? 2. 已知直线 l1: mx+8y+n=0 与 l2: 2x+my-1=0 互相平行, 且 l1, l2 之间的距离为 5, 求直线 l1 的方程.

————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— ?1 条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 2 2 与直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0; (2)平行:Ax+By+n=0. ?1 种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地,对称问题包括点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关于点的对称,直 线关于直线的对称等情况,上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决. ?2 个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间 的距离公式的注意点 (1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有 斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考虑; |C1-C2| (2)运用两平行直线间的距离公式 d= 2 的前提是将两方程中的 x,y 的系数化为 A + B2 对应相等.

方法博览(六) 妙用直线系求直线方程 1.平行直线系 由于两直线平行,则它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们 的一次项系数及常数项有必然的联系. [典例 1] 求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程. [解题指导] 因为所求直线与 3x+4y+1=0 平行,因此,可设该直线方程为 3x+4y+c
-4-

=0(c≠1). [解] 依题意,设所求直线方程为 3x+4y+c=0(c≠1),又因为直线过点(1,2), 所以 3?1+4?2+c=0,解得 c=-11.因此,所求直线方程为 3x+4y-11=0. [点评] 与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程为 Ax+By+C1=0(C1≠C),再由其他条 件求 C1. 2.垂直直线系 由于直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件为 A1A2+B1B2=0.因此, 当两 直线垂直时,它们的一次项系数有必然的关系.可以考虑用直线系方程求解. [典例 2] 求经过 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线 l 的方程. [解题指导] 依据两直线垂直方程的特征设出方程,再由待定系数法求解. [解] 因为所求直线与直线 2x+y-10=0 垂直,所以设该直线方程为 x-2y+C1=0,又 直线过点(2,1),所以有 2-2?1+C1=0,解得 C1=0,即所求直线方程为 x-2y=0. [点评] 与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx-Ay+C1=0,再由其他条件求出 C1. 3.过直线交点的直线系方程 [典例 3] 求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x -4y+5=0 垂直的直线 l 的方程. [解题指导] 可分别求出直线 l1 与 l2 的交点及直线 l 的斜率 k,直接写出方程;也可以 利用过交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求. ? ?x-2y+4=0, 3 [解] 法一:解方程组? 得 P(0,2).因为 l3 的斜率为 ,且 l⊥l3, 4 ?x+y-2=0, ? 4 4 所以直线 l 的斜率为- ,由斜截式可知 l 的方程为 y=- x+2,即 4x+3y-6=0. 3 3 法二:设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ (x+y-2)=0, 即(1+λ )x+(λ -2)y+4-2λ =0.又∵l⊥l3,∴3?(1+λ )+(-4)?(λ -2)=0,解 得 λ =11. ∴直线 l 的方程为 4x+3y-6=0. [点评] 本题法一采用常规方法,先通过方程组求出两直线交点,再根据垂直关系求出 斜率,由于交点在 y 轴上,故采用斜截式求解;法二则采用了过两直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x +B2y+C2=0 的交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0,直接设出过两直线交 点的方程,再根据垂直条件用待定系数法求解.

[全盘巩固] 1.(2014?北京模拟)已知点 A(-1,0),B(cos α ,sin α ),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为( ) A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 3 3 3 3 B.y= x+ 或 y=- x- 3 3 3 3 C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 2 2 解析:选 B 因为|AB|= ?cos α +1? +sin α = 2+2cos α = 3. 3 ± 2 1 3 3 3 所以 cos α = ,sin α =± ,kAB= =± .即直线 AB 的方程为 y=± (x+1). 2 2 1 3 3 +1 2 2. 已知直线 l1: y=2x+3, 直线 l2 与 l1 关于直线 y=-x 对称, 则直线 l2 的斜率为( )

-5-

A.

1 2

1 B.- 2

C.2

D.-2

1 解析:选 A 因为 l1,l2 关于直线 y=-x 对称,所以 l2 的方程为-x=-2y+3,即 y= 2 3 1 x+ ,即直线 l2 的斜率 k 为 . 2 2 3. 已知直线 l 过点 P(3,4)且与点 A(-2,2), B(4, -2)等距离, 则直线 l 的方程为( ) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 解析:选 D 依题意知,直线 l 的斜率存在,故设所求直线方程为 y-4=k(x-3),即 kx |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| -y+4-3k=0.由已知,得 = . 2 2 1+k 1+k 2 所以 k=2 或 k=- .即所求直线方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0. 3 4. (2014?南昌模拟)P 点在直线 3x+y-5=0 上, 且 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2, 则 P 点坐标为( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2) |x-5+3x-1| 解析:选 C 设 P(x,5-3x),则 d= 2 = 2,|4x-6|=2,4x-6=±2, 2 1 +?-1? 即 x=1 或 x=2,故 P(1,2)或(2,-1). 5.直线 l 通过两直线 7x+5y-24=0 和 x-y=0 的交点,且点(5,1)到 l 的距离为 10, 则 l 的方程是( ) A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0 C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0 ?7x+5y-24=0, ? 解析:选 C 由? 得交点(2,2),当 l 的斜率不存在时,不合题意, ? ?x-y=0, 所以设 l 的方程为 y-2=k(x-2),即 kx-y+2-2k=0, |5k-1+2-2k| 依题意有 = 10,解得 k=3.所以 l 的方程为 3x-y-4=0. k2+1 |x| |y| 6.曲线 - =1 与直线 y=2x+m 有两个交点,则 m 的取值范围是( ) 2 3 A.m>4 或 m<-4 B.-4<m<4 C.m>3 或 m<-3 D.-3<m<3 |x| |y| 解析:选 A 曲线 - =1 的草图如图所示.与直线 y=2x+m 有两个交点,令 y=0, 2 3 则 x=- ,所以- <-2 或- >2,所以 m>4 或 m<-4. 2 2 2

m

m

m

7 .已知坐标平面内两点 A(x, 2 - x) 和 B?

? 2 ? ,0? ,那么这两点之间距离的最小值是 ?2 ?
-6-

________. 解析:d= 1 答案: 2 2 13 8. 若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的距离为 , 则 c 的值是________. 13 6 a c 解析:依题意知, = ≠ ,解得 a=-4,c≠-2, 3 -2 -1 2?2 ? ?x- ? +? 2 ? ? 2-x? =
2

1 ? 3 2?2 1 1 2?x- ? +4≥2.即最小值为2. 4 ? ?

c 2 13 即直线 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0,又两平行线之间的距离为 , 2 13
所以

?c+1? ?2 ? ? ?
2

3 +?-2? 答案:2 或-6 2 2 9.已知 0<k<4,直线 l1:kx-2y-2k+8=0 和直线 l2:2x+k y-4k -4=0 与两坐标轴 围成一个四边形,则使得这个四边形面积最小的 k 值为________. 解析:由题意知直线 l1,l2 恒过定点 P(2,4),直线 l1 的纵截距为 4-k,直线 l2 的横截距 1 1 ? 1?2 127 2 2 2 为 2k +2,所以四边形的面积 S= ?2?(4-k+4)+ ?2k ?4=4k -k+8=4?k- ? + , 2 2 ? 8? 16 1 故面积最小时,k= . 8 1 答案: 8 10.(2014?孝感模拟)已知 a 为实数,两直线 l1:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0 相交于 一点,求证:交点不可能在第一象限及 x 轴上. 证明:若 a=1,则 l1∥l2,不符合题意,所以 a≠1.
?ax+y+1=0, ? ?x+y-a=0, ?

2



2 13 ,因此 c=2 或-6. 13

解方程组?

a+1 x= ? ? 1-a, 得? a +1 y=- , ? ? 1-a
2

所以两条直线的交点坐标为

?a+1,-a +1?, ?1-a 1-a ? ? ?
显然,-

2

a2+1 a+1 a2+1 a2+1 ≠0,故交点不可能在 x 轴上.当 a>1 时, <0,- = >0,此 1-a 1-a 1-a a-1
2 2

时交点在第二象限;

a+1 a +1 a +1 当-1<a<1 时, >0,- = <0,此时交点在第四象限; 1-a 1-a a-1 a+1 a2+1 a+1 a2+1 当 a=-1 时, =0, - =-1, 此时交点在 y 轴上; 当 a<-1 时, <0, - 1-a 1-a 1-a 1-a 2 a +1 = <0,此时交点在第三象限. a-1 综上所述,交点不可能在第一象限及 x 轴上. 11.已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点 P. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解:(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ (x-2y)=0,即(2+λ )x

-7-

+(1-2λ )y-5=0,∴

1 =3,解得 λ =2 或 λ = . 2 ?2+λ ? +?1-2λ ? ∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.
2 2

|10+5λ -5|

? ?2x+y-5=0, (2)由? ?x-2y=0, ?

解得交点 P(2,1),如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l

的距离,则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立).∴dmax=|PA|= 10. 12.m 为何值时,直线 l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0,l3:2x-3my-4=0 不能围成三 角形? 解:先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况. 2 ①若 m≠0,则 k1=-4,k2=-m,k3= ,当 m=4 时,k1=k2; 3m 1 当 m=- 时,k1=k3;而 k2 与 k3 不可能相等.②若 m=0,则 l1:4x+y-4=0,l2:y=0, 6 1 l3:x-2=0,此时三条直线能围成三角形.则当 m=4 或 m=- 时,三条直线不能围成三角 6 1 形.再考虑三条直线共点的情况,此时 m≠0 且 m≠4 且 m≠- . 6 4 ? 4 ,- 4m ?,将点 P 将 y=-mx 代入 4x+y-4=0,得 x= ,即 l1 与 l2 交于点 P? ? 4-m? 4-m ?4-m 2 8 12m 2 坐标代入 l3 的方程得 + -4=0,解得 m=-1 或 m= . 4-m 4-m 3 2 ∴当 m=-1 或 m= 时,l1,l2,l3 交于一点,不能围成三角形. 3 1 2 综上所述,当 m 为-1 或- 或 或 4 时,三条直线不能围成三角形. 6 3 [冲击名校] 1.若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则直线 l 的倾斜角 的取值范围是( ) π π ? ? ?π π ? A.? , ? B.? , ? ?6 3? ?6 2? π π ? ? ?π π ? C.? , ? D.? , ? ?3 2? ?6 2? 解析:选 B 因为直线 l:y=kx- 3过定点(0,- 3),直线 2x+3y-6=0 与坐标轴的 0+ 3 3 交点为 A(3,0),B(0,2),若 l 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则 k> = , 3-0 3 π π 因此,直线的倾斜角的取值范围为 <α < . 6 2 2.若动点 A、B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为( ) A.3 2 B.2 2 C.3 3 D.4 2 解析:选 A 依题意知 AB 的中点 M 的集合为与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距 离都相等的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离,设点 M 所在直线的方

-8-

|m+7| |m+5| 程为 x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得 = ? |m+7|=|m+5|? m=-6, 2 2 |-6| 即 x+y-6=0,根据点到直线的距离公式, 得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 [高频滚动] 3 1.(2013?辽宁高考)已知点 O(0,0),A(0,b),B(a,a ).若△OAB 为直角三角形,则必 有( ) 3 A.b=a 1 3 B.b=a +

a

1? 3 3 ? C.(b-a )?b-a - ?=0

?

a?

1? 3 ? 3 D.|b-a |+?b-a - ?=0

?

a?

解析:选 C 若△OAB 为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°. b-a3 a3-0 1 3 3 当∠A=90°时,有 b=a ;当∠B=90°时,有 ? =-1,得 b=a + . 0-a a-0 a 1? 3 3 ? 故(b-a )?b-a - ?=0.

?

a?

2.若直线 m 被两平行线 l1:x-y+1=0 与 l2:x-y+3=0 所截得的线段的长为 2 2, 则 m 的倾斜角可以是: ①15°;②30°;③45°;④60°;⑤75°. 其中正确答案的是________(写出所有正确答案的序号). |1-3| 解析:很明显直线 l1∥l2,直线 l1,l2 间的距离为 d= = 2,设直线 m 与直线 l1, 2

l2 分别相交于点 B,A,则|AB|=2 2,过点 A 作直线 l 垂直于直线 l1,垂足为 C,则|AC|=d |AC| 2 1 = 2,则在 Rt△ABC 中,sin∠ABC= = = ,所以∠ABC=30°,又直线 l1 的倾斜角 |AB| 2 2 2 为 45°,所以直线 m 的倾斜角为 45°+30°=75°或 45°-30°=15°.
答案:①⑤

-9-


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