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广西桂林市第十八中学2015-2016学年高二数学上学期开学考(10月)试题 理


桂林十八中 15-16 学年度上学期 14 级开学考试卷 数 学(理科)

注意:①本试卷考试时间 120 分 钟,满分 150 分; ②正式开考前,请务必将自己的姓名、考号用黑色水性 笔填写清楚,用 2B 铅笔在填涂 区准确 涂好自己的考号, 并检查是否完全正确; ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应的位置上,直接在试卷上做答不得分。 一.选择题.(每题 5 分,共 60 分)

1.已知M ? x x 2 ? 4 , N ? ? x ?3 ? x ? 3? , 则N I M ? A.? 2,3? B. ? ?3, ?2 ? C. ? ?3, ?2 ? U? 2,3? D. ? ??, ?? ?

?

?

2.设a, b, c ? R, 且a ? b, 则 A.ac ? bc B. 1 1 < a b C.a 2 >b2 D.a3 ? b3

3.公比为2的正项等比数列?an ?中,若a3 a11 ? 16, 则a10 ? A. 16 B.32 C.64 D.128

r r r r 4.已知a ? ?1,2 ? , b ? ?1, ?3? , 则 a, b ? A.

?
4

B.

?
3

C.

2? 3

D.

3? 4

x ?1 ? ? 5.若x, y满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? x ? 2 y的最小值是 ? y?x ? A.1 B.2 C.3 D.4

6.现输入如下四个函数,执行如下程序框图,则可输出的函数是 1 A. f ? x ? ? x 2 B. f ? x ? ? x C . f ? x ? ? x sin x D. f ? x ? ? 2 x ? 2 ? x

7.圆心为 ? 1, 1 ?,且与直线x ? y ? 4 ? 0相切的圆方程为 A. ? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 2
2 2

B.? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 2
2 2

C. ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4
2 2

D.? x ? 1 ? ? ? y ? 1 ? ? 4
2 2

?1? S S 8.设S n 是等差数列?an ? 前n项和,若a1 ? 2, 5 ? 3 ? 2,则数列 ? ?的前10项和T10 ? 5 3 ? Sn ? A. 11 10 B. 10 11 C. 10 9 D. 9 10
-1-

9.如图所示,某几何体的三视图在网格纸上,且网格纸上小正方形 的边长为1,则该几何体的体积为 4? A. 3 2? B. 3 C.4? D.6?

?? ? 10.函数f ? x ? ? A sin ?? x ? ? ? ? 其中A ? 0, ? ? ?的图象如图所示,为了得到函数g ? x ? ? cos 2 x 2? ? 的图象,则只需将f ? x ?图象
A.向右平移 个单位 6 C.向左平移 个单位 6

?

B.向右平移 D.向左平移

?
12

个单位 个单位

?

?
12

11.在数列?an ?中,a1 ? 0, a2 ? 2,对任意k ? N ?,a2 k ?1,a2 k,a2 k ? 1成等差数列,且a2 k,a2 k ? 1,a2 k ? 2 成等比数列,其公比为q k .则q10 = A. 10 9 B. 11 10 C. 9 10 D. 10 11

12.在?ABC中若 . A? A. 6, 6 2

?
4

, a ? 6, ?ABC有两解,则b的取值范围为

?

?

B. 3, 6 2

?

?

? C.? ?3, 6 2 ?

? D.? ?6, 6 2 ?

二.填空题.(每题 5 分,共 20 分)

13.函数f ? x ? ? x ?

1 ,x ? 1 的最小值为 x ?1

1 14.若sin ? ? , 则cos2? ? 3

15.在区间? 0,4?内随机取数x,在区域? 0,2 ?随机取数y, 则y ? x的概率是
16.在?ABC中,ab ? ac ? bc, 则cos A的最小值是

三.简答题

-2-

17. ? 本小题满分10分 ? ?ABC的内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c,若a 2 +c 2 - 2ac ? b 2 . (1)求B; (2)若A ? 750 ,b ? 2, 求c.

18.(本小题满分 12 分)

已知等比数列?an ?的公比为正数,且a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4.

? 1? 求?an ?的通项公式;

? 2 ? 设?bn ? 是首项为1,公差为1的等差数列,求数列?

? bn ? ? 的前n项和Sn . ? an ?

19.(本 小题满分 12 分)

如图,在正三棱柱ABC ? A1 B1C1中,AB ? 2 AA1 ,点D是A1 B1中点,E是AB中点.

?1? 证明:AB ? 平面C1DE; ? 2 ? 求直线AD与平面ABC1所成角的正弦值.

E

-3-

20.(本小题满分 12 分)

已知f ? x ? ? x 2 ? ? m ? 1 ? x ? m

? 1? 解不等式f ? x ? ? 0; 2 4 3 ? 2 ?当m ? ?1,若x ? 0时,恒有ax ? a ? ? ? f ? x ?? ? ? x +x ,求a的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)

在?ABC中,a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0

? 1? 求A; ? 2 ? 若a ? 2, S?ABC ?

3 , D为BC中点,求AD.

22.(本小题满分 12 分)

n 1 n?1 1 设b ? 1,数列?an ?的前n项和为Sn,a1 ? b, ? ? ? , ?n ? 2? an b an?1 b n 1 ,求数列?cn ?的通项公式; ? 1? 若cn ? ? an b ? 1 a 1 ? 2 ? 证明:n?1n ? . b ?1 2

-4-

桂林十八中 15-16 学年度 上学期 14 级开学考试卷数 学 答 案 一. 选择题 题号 答案 二. 填空题 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 D 7 A 8 B 9 A 10 D 11 B 12 A

13. 3

14.

7 9

15.

1 4

16.

7 8

三. 简答 题
a 2 ? c2 ? b2 17.解: ? cos B L L L 2分 ?1?由余弦定理有: 2ac Q a 2 ? c 2 ? 2ac ? b 2 , 即a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac ? 2ac = cos B 2ac

? cos B =

2 L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 2 Q B ? ? 0,? ? L L L L L L L L L L L L L L L L 1分

? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 4 ? ? 2 ? Q C ? ? ? A ? B,? C ? L L L L L L L L L L 1分 3 c b 由正弦定理知: ? L L L L L L L L L L 2分 sin C sin B c 2 ? ? 3 2 2 2 ? c ? 6.L L L 2分
?B ?

-5-

18.解: ? 1? 设数列?an ?的公比为q , 且q ? 0 由已知得2q 2 ? 2 q ? 4 L L L L L L L L L L L L L L L 2分 Qq ? 0 ? q ? 2 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 ? an ? a1 ? q n ?1 ? 2 n L L L L L L L L L L L L L L L L L 2分

? 2 ? bn ? b1 ? ? n ? 1? ? d ? nL L L L L L L L L L L L L L 1分
Sn ? b b1 b2 b3 1 2 3 n ? ? ?L ? n ? ? 2 ? 3 ?L ? n L L ① a1 a2 a3 an 2 2 2 2 1 1 2 3 n Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ? 1 L L ② 2 2 2 2 2 ① - ②得

1 1 1 1 1 n Sn ? Sn ? ? 2 ? 3 ? L ? n ? n ? 1 L L L 2分 2 2 2 2 2 2 n 1? ?1? ? 1 ? ? ? ? ? 2? ?2? ? ? ? n L L L L L L L L L 2分 ? ? 1 2 n?1 1? 2 n?2 ? 1 ? n?1 2 n?2 ? Sn ? 2 ? n L L L L L L L L L L L L 2分 2
19.解: ?1?由已知得AB ? DE L L L L L L L L 2分 又C1 A ? C1 B ? AB ? C1 E L L L L L L L L L L L L L L L 2分 又DE,C1 E ? 平面C1 DE,且DE I C1 E =E L L 1分 ? AB ? 平面C1 DE L L L L L L L L L L L L 1分

? 2 ? 过D作DH ? C1 E于H,连接AH , 由?1? 及又AB ? 平面ABC1
? DH ? 平面ABC1 , ? AD在平面ABC1内的射影为AH

得平面ABC1 ? 平面C1 DE L L L L L L L L L 1分
E

??DAH 是直线AD与平面ABC1所成角L L L L 2分 设AB ? 2 AA1 ? 2a, 在Rt ?AA1 D中,AD ? 3a 在Rt ?EDC1中,DH ? 30 a L L L L L L L L 1分 5 DH 10 ? L L L 1分 AD 5 10 L 1分 5

则在Rt ?DAH中, sin ?DAH ?

? 直线AD与平面A1 B1C1所成角的正弦值为

-6-

20.解: ? 1?由f ? x ? ? 0得 ? x ? m ?? x ? 1? ? 0L L L 1分 ①当m ? 1时,有1 ? x ? m L L L L L L L L L 2分 ②当m ? 1时,有x ?? L L L L L L L L L 1分 1分 ③当m ? 1时,有m ? x ? 1 L L L L L L L L L 2分 L L L 2分

? 2 ?由已知得a ? x ? 1? ? ? x 2 ? x ? 1 ? ? x ? 1 ?L L L
当x ? 1时,恒有a ? x 2 ? x ? 1,? a ? ?1 当x ? 1时,原不等式恒成立

当0 ? x ? 1时,恒有a ? x 2 ? x ? 1,? a ? ?1 L L 2分 故a的取值范围为??1? L L L L L L L L L L L 1分
21.解: ?1?由已知得 sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin ? A ? C ? ? sin C ? 0 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C ? 0 Q sin C ? 0 ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? 0 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分

?? 1 ? ? sin ? A ? ? ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 2分 6? 2 ? ? ? ? 5? ? 又A ? ? 0, ? ?, ? A ? ? ? ? , ? L L L L L L L L L L L L L L L 1分 6 ? 6 6 ?
? A?

?
6

?

?
6

故A ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 3 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos AL L L L L L L L L L L L L L 1分 ? 2 ?由已知得 ? ?1 ? bc sin A ? 3 L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 ?2 2 2 ?4 ? b ? c ? bc ?b 2 ? c 2 ? 8 ?? ?? L L L L L L L L L L L L L L L 1分 bc ? 4 ? ? bc ? 4 uuu r 1 uuu r uuu r 又 AD ? AB ? AC L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 2 uuu r 2 1 uuu r uuu r 2 1 uuu r2 uuu r uuu r uuu r2 ? AD ? AB ? AC ? AB ? 2 AB ? AC ? AC 4 4 1 2 2 ? ? c ? 2c ? b ? cos A ? b ? 4 1? 1? ? ?8 ? 2? 4? ? 4? 2? ? 3L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 2分

?

? ?

? ?

?

?

? AD ? 3 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分

-7-

22.解: ? 1?由已知得 ?

n 1 1 n?1 1 1 ? ? ? ? ? L L L L L L L L L L L 1分 an b ? 1 b an ?1 b b ? 1

n 1 1 ? n?1 1 ? + ? ?? ? ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 an b ? 1 b ? an?1 b ? 1 ?

1 ? c n ? ? c n?1 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 b 1 ? 数列?c n ? 是以 为公比的等比数列 b ?1? ? cn ? c1 ? ? ? ?b?
n?1

L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分
n?1

1 ? ?1? ?n ?? ? ? ? ? ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 ? b b?1? ?b ? nb n ? 1 ? b ? 2 由 1 得 a ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分 ? ? ? ? n 1 ? bn nb n ? 1 ? b ? a n ? bn ? Q n? 1n ? 1 n?1 1 ? 1 ? bn b ?1 b ?1 ? ?b ? n ?? b ? 1?b ? n ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 2分 1? ? 2 3 n?1 ? b ? n ? ?1 ? b ? b ? b ? L ? b ? b ? ? n ? 1 1 1 1 b ? b2 ? b3 ? L ? bn ? ? 2 ? 3 ? L ? n b b b b n ? L L L L L L L L L L L L L 1分 1? ? 2 1 ? ? 3 1 ? ? ? n 1? ?b ? ? ? ?b ? 2 ? ? ?b ? 3 ? ?L ? ? b ? n ? b? ? b ? ? b ? b ? ? ? n ? L L L L L L L L L L L L L L L L L L 2分 1 1 1 2 b ? ? 2 b2 ? 2 ? L ? 2 bn ? n b b b 1 ? 2 ? 原不等式成立 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 1分

-8-



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