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矩阵、行列式初步、算法部分


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矩阵和行列式初步 一、填空题

? 1? ? 2 ? ? 5? ?x ? 3 1、 (2012 届高三一模宝山区 7)方程组 x ? ? ? y ? ? ? ? ? 的解是_______. ? ? 1? ? ?1? ? 2 ? ?y ?1
1 0 ?1 3 中 ? 3 的代数余子式的值为 1 1 2、

(2012 届高三一模长宁区文理 2)行列式 2 ?1 ? 3

_______. ? 5 3、 (2012 届高三一模崇明县 5)如果由矩阵 ? 元一次方程组无解,则实数 m ? _______. 1
? m 1 ?? x ? ? ?1 ? ?? ? ? ? ? 表示的关于 x, y 的二 ? 1 m ?? y ? ? m ? 2 ?

4、 ( 2012 届 高 三 一 模 嘉 定 区 3 ) 函 数 f ( x) ?

x 1 ( x?0 )的反函数 1 x

f ?1 ( x) ? _______. x ? 1 ( x ? ?1 )
5、 (2012 届高三一模静安理 7) 函数 f ( x) ? _______. 1 ? e 2 6、 ( 2012 届高三一模卢湾区文理 6 )已知二元一次方程组 ?
?a1 x ? b1 y ? c 1, ,若记 ?a2 x ? b2 y ? c2

e1? x e
1? x

e? x e
x

1 1 在闭区间 [? , ] 上的最小值为 2 2

? ? ? ?a ? ? ?b ? ? ?c ? a ? ? 1 ? , b ? ? 1 ? , c ? ? 1 ? ,则该方程组存在唯一解的条件为_______.(用 a 、 b 、 ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ?
? ? ? c 表示) . a 与 b 不平行

?1 0 2? 7、 (2012 届高三一模浦东新区理 5)某个线性方程组的增广矩阵是 ? ?0 1 1? ? ,此 ? ? 2 1 2 方程组的解记为 (a , b) ,则行列式 3 2 b 的值是_______. ?2 a 1 0
1 1 a 8、 (2012 届高三一模青浦区 8)已知命题“ 1 a 1 ? 0 ”是命题“ a ? A ”的必要非 1 2 3

充分条件, 请写出一个满足条件的非空集合 A ?
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1? 或 A ? ?4? .A??
1

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9、 (2012 届高三一模杨浦区理 7)若行列式

4x 2x ?1 2 1 x2 x ?1 2 1

? 1 ,则 x ? _______.0

10、 (2012 届高三一模杨浦区文 7)若行列式

? 1 ,则 x ? _______.1

二、选择题 1、 (2012 届高三一模闵行区文理 17)已知关于 x、 y 的二元一次线性方程组的增广

? ? ? ?a b c ? 矩阵为 ? 1 1 1 ? ,记 a ? (a1,a 2), b ?(b1 ,则此线性方程组有无穷多 , b 2), c ? (c, 1c ) 2 a b c ? 2 2 2?
组解的充要条件是 ( )B

? ? ? ? (A) a ? b ? c ? 0 . ? ? (C) a / /b .

? ? ? (B) a、、 b c 两两平行. ? ? ? (D) a、、 b c 方向都相同.

? a11 ? 2、 (2012 届高三一模徐汇区理 18)由 9 个互不相等的正数组成的矩阵? a21 ?a ? 31

a12 a 22 a32

a13 ? ? a 23 ? 中, a33 ? ?

每行中的三个数成等差数列,且a11 ? a12 ? a13 、a21 ? a22 ? a23 、 a31 ? a32 ? a33 成等比数列, 下列四个判断正确的有……………………( )A ①第 2 列 a12 , a22 , a32 必成等比数列 ②第 1 列 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列 ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 (A)4 个 (B)3 个 ④若 9 个数之和等于 9,则 a22 ? 1 (C)2 个 (D)1 个
a12 a 22 a32 a13 ? ? a 23 ? 中,每 a33 ? ?

? a11 ? (2012 届高三一模徐汇区文 18)由 9 个互不相等的正数组成的矩阵? a21 ?a ? 31

行中的三个数成等差数列,且a11 ? a12 ? a13 、a21 ? a22 ? a23 、 a31 ? a32 ? a33 成等比数列,下 列三个判断正确的有……………………( ①第 2 列 a12 , a22 , a32 必成等比数列 ②第 1 列 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列 ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 (D)0 个 a a 3、 设直线 l1 与 l 2 的方程分别为 a1 x ? b1 y ? c1 ? 0 与 a2 x ? b2 y ? c2 ? 0 , 则 “ 1 2 ? 0” b1 b2 是“ l1 // l 2 ” ()
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)A

(A)3 个

(B)2 个

(C)1 个

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(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 三、解答题

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1、 (2012 届高三一模静安区文 20)(本题满分 15 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小 题满分 9 分,第 2 小题满分 6 分. 我们知道,当两个矩阵 P 、 Q 的行数与列数分别相等时,将它们对应位置上的 元素相减,所得到的矩阵称为矩阵 P 与 Q 的差,记作 P ? Q .
? 109 ? ? ? a2 ? ? sin A ? 169 ? ,满足 ? , M ?? ? ? ? sin A ? 17 ? ? 0 ? 13 ? ?

? cos A ? sin A cos A ? ?1 ? ,Q?? 已知矩阵 P ? ? ? 16 tan B ? ?12 cos A ? ? ?
P ? Q ? M .求下列三角比的值:

(1) sin A , cos A ; (2) sin( A ? B) .
解: (1) P ? Q ? ? ?

? cos A sin A ? 1 ?16 tan B ? 12

cos A ? sin A ? ? ,?????2 分 cos A ? sin A ? ?

因为 P ? Q ? M ,所以

109 ? ?cos A sin A ? 1 ? ? 169 , ? ?cos A ? sin A ? 17 , ??????????????5 分 ? 13 ? 2 ?cos A ? sin A ? ?a , ?16 tan B ? 12. ?
5 12 ? ? sin A ? , ?sin A ? , ? ? ? 13 13 由①②解得 ? 或? ????????7 分 ?cos A ? 12 . ?cos A ? 5 . ? 13 13 ? ? ? 12 ? sin A ? , ? ? 13 由③ cos A ? sin A ,所以 ? ?????????9 分 5 ?cos A ? . ? 13 ?
(2)由最后一个方程解得 tan B ?

3 , 1分 4
3

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3 3 ? ? sin B ? , sin B ? ? , ? ? ? ? 5 5 由同角三角比基本关系式得 ? 或? ?????3 分 ?cos B ? 4 . ?cos B ? ? 4 . ? ? 5 5 ? ? 3 ? sin B ? , ? 33 ? 5 当? 时, sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ; 4 65 ?cos B ? ? 5 ? 3 ? sin B ? ? , ? 33 ? 5 当? 时, sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ????6 分 65 ?cos B ? ? 4 ? 5 ?

(2012 届高三一模闵行区理 22) 2、 (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分, 第(3)小题满分 7 分. 将边长分别为 1、2、3、?、n、n+1、?( n ? N* )的正方形叠放在一起,形 成如图所示的图形, 由小到大, 依次记各阴影部分所在的图形为第 1 个、 第 2 个、 ??、 第 n 个阴影部分图形.设前 n 个阴影部分图形的面积的平均值为 f (n) . 记数列 ?an ? 满
? f (n),当n为奇数 足 a1 ? 1 , an +1 ? ? ? ? ? f ? an ? ,当n为偶数

(1)求 f (n) 的表达式; (2)写出 a2 , a3 的值,并求数列 ?an ? 的通项公式;

1 0 0 (3)记 bn ? an ? s ? s ? R ? ,若不等式 0 bn bn? 2 ? 0 有解,求 s 的取值范围. bn?1 bn?1 bn?1
解: (理)解: (1)由题意,第 1 个阴影部分图形的面积为 2 ? 1 ,第 2 个阴影部分图形的面积为
2 2

42 ? 32 ,??,第 n 个阴影部分图形的面积为 ? 2n ? ? (2n ? 1) 2 .(2 分)
2

? 12 ? ? ? 42 ? 32 ? ? ?? 2n ? ? (2n ? 1) 2 ? ? ? 故 f ( n) ? n 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ? 1) ? 2n ? ? 2n ? 1 n
2 2

?2

(4 分)
4

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中国领先的中小学教育品牌 (2) a1 ? 1 , a2 ? f (1) ? 3 , a3 ? f (a2 ) ? 2 ? 3 ? 1 ? 7 , 当 n 为偶数时, an ? f (n ? 1) ? 2n ? 1 , (3 分)

当 n 为大于 1 的奇数时, an ? f (an?1) ? 2an?1 ? 1 ? 2?2(n ?1) ?1? ? 1 ? 4n ? 5 ,

?1,当n ? 1 ? 故 an ? ? 2n ? 1,当n为偶数 . ?4n ? 5,当n为大于1的奇数 ?
?1 ? s, 当n ? 1 ? (3)由(2)知 bn ? ? 2n ? 1 ? s, 当n为偶数 . ?4n ? 5 ? s, 当n为大于1的奇数 ?

(5 分)

1 0 0 又 0 bn bn? 2 ? 0 ? bn?1bn ? bn?1bn?2 ? bn?1 (bn ? bn?2 ) ? 0 . bn?1 bn?1 bn?1
(ⅰ)当 n=1 时,即 b2 (b1 ? b3 ) ? (3 ? s)(?6) ? 0 ,于是 3 ? s ? 0 ? s ? ?3 (ⅱ)当 n 为偶数时, 即 ? 4(n ? 1) ? 5 ? s ??? ?(2n ? 1 ? s) ? ? 2( n ? 2) ? 1 ? s ? ? ? ? ? 4n ? 1 ? s ? (?4) ? 0 于是 4n ? 1 ? s ? 0 , s ? ? ?4n ? 2?max ? ?6 . (ⅲ)当 n 为大于 1 的奇数时, 即 ? 2(n ? 1) ? 1 ? s ? ? ? ?? 4n ? 5 ? s ? ? ? 4(n ? 2) ? 5 ? s ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? s ? ? ? ?8 ? ? 0 于是 2n ? 1 ? s ? 0 , s ? (?2n ?1)max ? ?7 . 综上所述: s ? ?3 . (5 分) (7 分) (3 分)

3、(2012 届高三一模徐汇区理 22) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小 题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分.
2 3 5 1 x?a 4 4 2 1

设 a ? R, 把三阶行列式

且 0 中第一行第二列元素的余子式记为 f ( x) ,
x

关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 (?2, 0) 。各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为

Sn ,点列 (an , Sn ) (n ? N * ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上。

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5

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(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 bn ? k 2 (k ? 0) ,求 lim
an

n ??

2bn ? 1 的值; bn ? 2

? ?an , n为奇数 (3)令 cn ? ? ,求数列 ?cn ? 的前 2012 项中满足 cm ? 6 的所有项数之和. c n , n为偶数 ? ? 2 1 2 解: (1)由条件可知, f ( x) ? x ? ax ?????2 分 4 1 因为关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?2, 0) ,所以 a ? ?????3 分 2 1 2 1 即函数 y ? f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? x ? x ?????4 分 4 2 1 1 (2)因为点列 (an , Sn ) (n ? N * ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,所以 Sn ? an 2 ? an 4 2 1 1 1 1 n ? 1 代入, a1 ? S1 ? a12 ? a1 ,即 a12 ? a1 ? 0, 因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 2 ;?????6 4 2 4 2
分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 2 1 1 1 an ? an ? an ?12 ? an ?1 , 4 2 4 2

化简得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ?????7 分 因为 an ? 0, 所以 an ? an?1 ? 2 ,即数列 ?an ? 为等差数列,且 an ? 2n (n ? N* ) 。?????9 分

则 bn ? k

an 2

? 1 ?? 2 , 0 ? k ? 1 ? 2bn ? 1 2k n ? 1 ? 1 n ? lim n ? ? ,k ?1 ? k ,所以 lim 。?????12 分 n ?? b ? 2 n ?? k ? 2 3 n ? ? 2, k ? 1 ? ?

(3)在数列 ?cn ? 的前 2012 项中

n 为奇数时, cm ? am ? 2m ? 6 ,所以 m ? 3 ?????14 分 n 为偶数时,要满足 cm ? 6 ,则 m ? 3 ? 2t (t ? 9, t ? N * ) ?????16 分
2 9 所以,满足 cm ? 6 的所有项数之和为 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 3069 ?????18 分

(2012 届高三一模徐汇区文 22) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题 满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,
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第 3 小题满分 6 分.
2 3 5 1 x?a 4 4 2 1

设 a ? R, 把三阶行列式

且 0 中第一行第二列元素的余子式记为 f ( x) ,
x

关于 x 的不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 (?2, 0) 。各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为

Sn ,点列 (an , Sn ) (n ? N * ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上。
(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)若 bn ? 2an ,求 lim
2bn ? 1 的值; bn ? 2

n ??

? ?an , n为奇数 (3)令 cn ? ? ,求数列 ?cn ? 的前 20 项之和. c n , n为偶数 ? ? 2 1 2 解: (1)由条件可知, f ( x) ? x ? ax ?????2 分 4 1 因为关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (?2, 0) ,所以 a ? ?????3 分 2 1 2 1 即函数 y ? f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? x ? x ?????4 分 4 2 1 1 (2)因为点列 (an , Sn ) (n ? N * ) 在函数 y ? f ( x) 的图象上,所以 Sn ? an 2 ? an 4 2 1 1 1 1 n ? 1 代入, a1 ? S1 ? a12 ? a1 ,即 a12 ? a1 ? 0, 因为 a1 ? 0 ,所以 a1 ? 2 ;?????6 4 2 4 2
分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?

1 2 1 1 1 an ? an ? an ?12 ? an ?1 , 4 2 4 2

化简得: (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ?????8 分 因为 an ? 0, 所以 an ? an?1 ? 2 ,即数列 ?an ? 为等差数列,且 an ? 2n (n ? N * ) ?????10 分 则 bn ? 2
2n

2bn ? 1 2 ? 4n ? 1 ? lim n ? 2 ?????12 分 ? 4 ,所以 lim n?? b ? 2 n?? 4 ? 2 n
n

(3) n 为奇数时, c1 ? c3 ? ? ? c19 ? a1 ? a3 ? ? ? a19 ?

(a1 ? a19 )10 ? 200 ?????14 分 2

n 为偶数时, c2 ? c4 ? c6 ? c8 ? ?? c20 ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ?? c10
? 4c1 ? 2c3 ? 2c5 ? c7 ? c9 ? 72 ?????16 分
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中国领先的中小学教育品牌 所以,数列 ?cn ? 的前 20 项之和为 200+72=272?????18 分

算法初步 一、填空题 1、 (2012 届高三一模长宁区文理 7)某程序框图如下左图所示,该程序运行后输出 的 n 值是 8,则从集合 ?0,1,2,3? 中所有满足条件的 S0 值为_______.0
开始 输入 x 值


y ? f ( x)

x≤0


y ? f ?1 ( x)

输出 y 结束 (第 9 题图)

2、 (2012 届高三一模崇明县 9)若 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,定义由右上框图表示的运算 (函数 f ?1 ( x) 是函数 f ( x) 的反函数) ,若输入 x ? ?2 时,输出 y ? ,则输入 x ? 时, 输出 y ? _______. ?3
1 4 1 8

3、 (2012 届高三一模奉贤区 11 下图是某算法程序框图,则程序运行后输出的结果 s ? _______.10
开始

k ? 0,?S ? 0

4、(2012 届高三一模黄浦区 10) 一个算法的程序框图如图 2 所示,则该程序运行后输出的结果是_______. 5

S<21000




S ? S+2S
k ? k ?1

输出 k

结束 图2

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8

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5、 (2012 届高三一模嘉定区 10)如图所示的算法框图,若输出 S 的值是 90 , 那么在判断框(1)处应填写的条件是___________. k ? 8 ,或 k ? 8 ,或 k ? 9 等 6、 (2012 届高三一模闵行区理 10)执行右下图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则 输出 y 的值为 .23
开始 输入 x 开始

S ?1

k ? 10

x? y


y=2x+1
(1) 是

x? y ?6
是 输出 y 结束



S ? S?k k ? k ?1

输出 S 结束

(7 题图)
为_______. 3

(6 题图)

(5 题图)

7、 (2012 届高三一模普陀区文理 7)如上左图,该框图所对应的程序运行后输出的结果的值

8、 (2012 届高三一模徐汇区理 5) 根据右图所示的程序框图, 输出结果 i ? _______.8
开始

n ? 1, A ? 1

n ? n ?1
A ? 1000


A ? 2A ?1

(10 题图) 9、 (2012 届高三一模宝山区 6)如右图,若执行程序框 图,则输出的结果是 _______.11 10、 (2012 届高三一模杨浦区文理 10)根据如下图所示 的某算法程序框图,则输出量 y 与输入量 x 之间满足的 ?x ? 2 , x ? 1 关系式_______. f ? x ? ? ? x , x ?1 ?2
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否 输出 n

结束 (9 题图)

9


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