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选修4-5-第1节 几何证明选讲 配套资料教师用书+教案


理科数学(江苏专版)

固 基 础 · 自 主 落 实

选修 4-5 第一节

不等式选讲

启 智 慧 · 高 考 研 析

不等式的基本性质与含绝对值不等式
课 后 限 时 自 测

提 知 能 · 典 例 探 究

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考 纲 传 真

内容 A 不等式的基本性质 含有绝对值的 不等式的求解

要求 B √ √ C

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1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b?a-b > 0,a<b?a-b< 0,a=b?a-b= 0. 2.不等式的性质 (1)a>b?b< a ;a<b?b > a. (2)a>b,b>c? a>c ;a<b,b<c? a<c .

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(3)a>b?a+c>b+c. (4)a>b,c>d?a+c>b+d. (5)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0? ac<bc . (6)a>b>0,c>d>0?ac>bd. (7)a>b>0?an > bn(n∈N,且 n>1). n n (8)a>b>0? a > b(n∈N,且 n>1).

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3.含有绝对值不等式的性质 (1)|a|+|b| ≥ |a+b|,(当且仅当 ab≥0 时,等号成立). (2)|a|-|b| ≤ |a+b|. (3)|a|-|b|≤|a-b|≤ |a|+|b| .

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4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集 不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} a=0 ? a<0 ? R

{x|x>a 或 x<-a} {x∈R|x≠0}

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(2)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:

(3)|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:

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1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误 的打“×”) (1)若 a>b,c>0,则 ac>bc;若 a>b,c<0,则 ac<bc.( (2)对任意实数 a,b 都有不等式|a|-|b|≤|a+b|.( ) )

(3)|x+a|+|x+b|的几何意义是表示数轴上的点 x 到点 a,b 的 距离之和.( ) )
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(4)|f(x)|>a?f(x)>a 或 f(x)<-a.(
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[解析] (1)是不等式的基本性质, 所以正确; (2)是含有绝对值 的不等式的性质,所以正确;|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴 上的点 x 到点 a,b 的距离之和,故(3)错;(4)中当 a>0 时前后才等 价,故错.
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×

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2 . ( 教材习题改编 ) 设 ab>0 ,下面四个不等式中,正确的是 ________(填序号). ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|; ④|a+b|>|a|-|b|.
[解析] ∵ab>0,即 a,b 同号,则|a+b|=|a|+|b|, ∴①④正确,②③错误.
[答案] ①④

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3 .已知 |x - a|<b(a 、 b ∈ R) 的解集为 {x|2<x<4} ,则 a - b = ________.
[解析] 由|x-a|<b,得 a-b<x<a+b, 又|x-a|<b(a,b∈R)的解集为{x|2<x<4}, 所以 a-b=2.
[答案] 2

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4 . (2014· 广 东 高 考 ) 不 等 式 |x - 1| + |x + 2|≥5 的 解 集 为 ________.

[解析] 当 x<-2 时, 原不等式即 1-x-x-2≥5, 得 x≤-3, 此时得到 x≤-3;当-2≤x≤1 时,原不等式即 1-x+x+2≥5, 此时无解;当 x>1 时,原不等式即 x-1+x+2≥5,x≥2,此时得 到 x≥2,于是原不等式解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
[答案] {x|x≤-3 或 x≥2}

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5.(2013· 陕西高考)设 a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数 x 的不 等式|x-a|+|x+b|>2 的解集是________.
[解析] b|>2, ∴x∈(-∞,+∞).
[答案] (-∞,+∞)

∵|x-a|+|x-b|=|a-x|+|x-b|≥|a-x+x-b|=|a-

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考向 1 含绝对值不等式的解法 【典例 1】 设函数 f(x)=|x-1|+|x-a|. (1)若 a=-1,解不等式 f(x)≥3; (2)如果?x∈R,f(x)≥2,求 a 的取值范围.

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[解] (1)若 a=-1 时,f(x)≥3,即|x-1|+|x+1|≥3, 3 ①当 x≤-1 时,不等式为 1-x+[-(x+1)]≥3,得 x≤-2; ②当-1<x<1 时,不等式为 1-x+x+1≥3,此时无解; 3 ③当 x>1 时,不等式为 x-1+x+1≥3,得 x≥2;
? ? ? 3 所以不等式解集为?x?x≤-2 ? ? ? ? 3? 或x≥2?. ? ?

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(2)①若 a=1,f(x)=2|x-1|不满足题设; ?-2x+a+1,x≤a, ? ②若 a<1,f(x)=?1-a,a<x<1, ?2x-a-1,x≥1, ? ?-2x+a+1,x≤1, ? ③若 a>1,f(x)=?1-a,1<x<a, ?2x-a-1,x≥a, ?

f(x)最小值为 1-a;

f(x)最小值为 a-1.

要满足题设的充要条件是|a-1|≥2,即 a 的取值范围为(-∞, -1]∪[3,+∞).

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【规律方法】 1.求解本题要注意两点:(1)要求的不等式的解集是各类情形 的并集,零点分段法操作程序是:找零点,分区间,分段讨论.(2) 对于第(2)要利用分类讨论的思想. 2.解决含绝对值问题关键是要去掉绝对值,即进行等价转换 的化归思想,去掉绝对值有两种方法:一是利用绝对值的定义,二 是利用几何意义.

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【变式训练 1】

已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围.

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?-2x+5,x≤2, ? [解] (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ? 由 f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得 x≤1;

当 x≤2 时,

当 2<x<3 时, f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时, 由 f(x)≥3, 得 2x-5≥3, 解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}.

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(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|? -2-a≤x≤2-a. 由条件,得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件 的 a 的取值范围为[-3,0].

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考向 2 【典例 2】 a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2;

绝对值不等式的放缩功能
? 1? f(x)=?x+a?+|x- ? ?

(2014· 课标全国卷Ⅱ)设函数

(2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

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[解] (1)证明: 由 a>0, 有 ≥2. 所以 f(x)≥2.
? 1? (2)f(3)=?3+a?+|3-a|. ? ?

? ? ? 1? 1 f(x)=?x+a?+|x-a|≥?x+a-?x-a?? ? ? ? ?

5+ 21 1 当 a>3 时,f(3)=a+a,由 f(3)<5 得 3<a< 2 . 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+a,由 f(3)<5 得 2 <a≤3. 综上,a
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?1+ 的取值范围是? ? 2 ?
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5 5+ 21? ? , 2 ?.
?

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【规律方法】 1.(1)利用“绝对值三角不等式”进行放缩,结合基本不等式 即得证.(2)明确不等式后解关于 a 的绝对值不等式,再分类讨论. 2.含绝对值不等式的证明,可考虑去掉绝对值符号,也可利 用重要不等式 |a + b|≤|a| + |b| 及推广形式 |a1 + a2 + ?an|≤|a1| + |a2| +?+|an|进行放缩.

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1 1 【变式训练 2】 已知实数 x,y 满足:|x+y|<3,|2x-y|<6, 5 求证:|y|<18.

[证明] ∵3|y|=|3y|=|2(x+y)-(2x-y)|≤2|x+y|+|2x-y|, 1 1 由题设知|x+y|<3,|2x-y|<6, 2 1 5 从而 3|y|<3+6=6, 5 ∴|y|<18.
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考向 3 含绝对值不等式的应用(高频考点) 命题视角 含绝对值不等式的应用是历年高考重点, 主要命题 角度:(1)利用绝对值三角不等式求最值;(2)利用绝对值三角不等 式求参数范围;(3)借助函数考查绝对值不等式.

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【典例 3】

(1)(2014· 江西高考)对任意 x,y∈R,|x-1|+|x|

+|y-1|+|y+1|的最小值为________. 1 (2)(2014· 重庆高考)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a +2a+2 对任
2

意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.
【思路点拨】 (1)利用绝对值不等式性质|a-b|≤|a|+|b|求解. (2)利用绝对值不等式性质求|2x-1|+|x+2|的最小值进而可求 得 a 的取值范围.

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[解析] 1|=3,

(1)|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥|x-1-x|+|y-1-y-

即|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|最小值为 3. (2)|2x - 1| + |x + 2| =
?? ? 5 1? ??x- ?-?x+2??= ,当且仅当 2? ?? ? 2 ? 1? ?x- ? 2? ?



?? ? 1? ??x- ?+|x+2|? 2? ?? ?

≥0 +

1 x=2时取等号,因此函数 y=|2x-

5 1 5 2 1|+|x+2|的最小值是2.所以 a +2a+2≤2,即 2a2+a-1≤0,解得
? 1? 1 -1≤a≤2,即实数 a 的取值范围是?-1,2?. ? ?
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[答案] (1)3

? 1? (2)?-1,2? ? ?

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【通关锦囊】 1.正确合理地利用绝对值不等式性质|a± b|≤|a|+|b|,消去变 量求最值,避免分类讨论造成的繁琐计算. 2. 利用绝对值三角不等式求最值时, 要指明取到等号的条件.

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【变式训练 3】

(1)(2014· 安徽高考)若函数 f(x)=|x+1|+|2x

+a|的最小值为 3,则实数 a 的值为________. (2)(2013· 重庆高考)若关于实 x 的不等式|x-5|+|x+3|<a 无解, 则实数 a 的取值范围是________.

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a [解析] (1)①当-1≤-2,即 a≤2 时, ?-3x-a-1,x≤-1, ? ?-x-a+1,-1<x<-a, 2 f(x)=? ? a ?3x+a+1,x≥- . 2 ? a a 易知函数 f(x)在 x=-2处取最小值,即 1-2=3. 所以 a=-4.

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a ②当-1>-2,即 a>2 时, a ? ?-3x-a-1,x≤-2, ? a f(x)=? ?x+a-1,-2<x<-1, ? ?3x+a+1,x≥-1. a a 易知函数 f(x)在 x=-2处取最小值,即2-1=3,故 a=8.综上 a=-4 或 8.

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(2)|x-5|+|x+3|≥|(x-5)-(x+3)|=8, 所以 a 的取值范围为(-∞,8].
[答案] (1)-4 或 8 (2)(-∞,8]

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熟记 1 种方法 零点分段讨论法是求解绝对值不等式的基本 方法.其操作程序是:找零点、分区间、分段讨论. 用好 3 个转化 1.|f(x)| > g(x) ? f(x) > g(x) 或 f(x) < -

g(x). 2.|f(x)|<g(x)?-g(x)<f(x)< g(x). 3.对于不等式 f(x)<a 有解、 无解, 可转化为最值问题, 即(1)f(x)<a 有解?f(x)min<a;(2)f(x)<a 无解?f(x)min≥a. 具备 3 种思想 1.数形结合思想. 2.等价转化思想. 3.分 类讨论思想.
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思想方法之 22

分类讨论思想在含绝对值不等式中的应用

(2013· 辽宁高考)已知函数 f(x)=|x-a|,其中 a>1. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≥4-|x-4|的解集; (2) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 |f(2x + a) - 2f(x)|≤2 的 解 集 为 {x|1≤x≤2},求 a 的值.

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?-2x+6,x≤2, ? [解] (1)当 a=2 时,f(x)+|x-4|=?2,2<x<4, ?2x-6,x≥4. ? 当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|,得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|,得 2x-6≥4,解得 x≥5. 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为 x|x≤1或x≥5 .
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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(2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x), ?-2a,x≤0, ? 则 h(x)=?4x-2a,0<x<a, ?2a,x≥a. ? a-1 a+1 由|h(x)|≤2,解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为 x|1≤x≤2 , a-1 a+1 所以 2 =1,且 2 =2,于是 a=3.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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【智慧心语】 易错提示:(1)思维受阻,唯以寻找逆向求参数的绝对值不等 式问题的求解方法. (2)解绝对值不等式,分区间讨论去绝对值符号时分类不完全, 导致解题不完整.
防范措施:(1)逆向问题可正向求解,以本题为例,求出不等 式的解集后, 与已知不等式的解集作比较, 便可建立关于 a 的方程. (2)求解该类问题的关键是转化为不含绝对值符号的不等式, 主要方法有:平方法、零点分段法,利用绝对值的几何意义或数形 结合.
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【类题通关】 |2x+a|,g(x)=x+3.

(2013· 课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=|2x-1|+

(1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 围.
? a 1? x∈?-2,2?时,f(x)≤g(x),求 ? ?

a 的取值范

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[解] (1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2| -x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 1 ? ?-5x,x<2, ? 1 y=? ?-x-2,2≤x≤1, ? ?3x-6,x>1. 其图象如图所示.从图象可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0.所 以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
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(2)当

? a 1? x∈?-2,2?时,f(x)=1+a. ? ?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. 所以 x≥a-2 对
? a 1? x∈?-2,2?都成立. ? ?

4 a 故-2≥a-2,即 a≤3. 从而 a
? 4? 的取值范围是?-1,3?. ? ?

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课后限时自测(七十)

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