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安徽省学业水平测试数学模拟试题13


安徽省宿州市褚兰中学

谢长智

高二数学学业水平测试模拟题
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1. 已知全集 U={0,2,4,6,8,10},集合 A={2,4,6},B={1},则( (A、{0,1,8,10} B、{1,2,4,6} C、{0,8,10} D、Φ 2. 已知向量 A、 -2
UA)∪B<

br />
等于

a =(1,2), b
B、 -

=(x,1),若 C 、

a // b ,则 x= (
D、2 )



1 2

1 2

3、有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对

4、甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( A.



1 2

B.

2 3

C.

1 3

D. 1 )

5、若圆 C 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( A. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 B. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 6、函数 y ? D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1

x ? 1 ? ln(2 ? x) 的定义域是
B、 ?? ?,2? C、 ?1,2? D、 ?1,2? ) 开始

A、 ?1,???

7、已知等差数列{an} ,a 2+a18 =36 ,则 a 5+a 6+…+a 15 =( A、 130 B、 198 C 、180 D、156

? x ? ? )的图象如图所示,则 ? 和 ? 的取值是 8 、若函数 f ( x) ? sin(
( )

S=1

y

A、 ? ? 1, ? ?

?
3

B、 ? ? 1, ? ? ?

?
3
?

1
?
3

i=1 0
2? 3

1 ? C、 ? ? , ? ? 2 6

1 ? D、 ? ? , ? ? ? 2 6

i >3 否 S=S×i i= i +1



x

9、阅读图 2 所示的流程图,输出的结果为 A、24 B、12 C、4 D、6 10、某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 300 米和 500 米, 测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东 30 ,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 30 处,
1

输出 S 结束


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则两灯塔 A 、 B 间的距离为 A、400 米 B、700 米 C、500 米 D、800 米

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11、已知? ? ?

3 ?? ? sin ? ? ,则 tan ? =_____________。 ,? ?, 5 ?2 ? 1 的最大值为 x ?1
.

12、一个正方体棱长为 a,则其外接球的体积为_________ 13、若 x ? ?1 ,则当且仅当 x = 时,函数 y ? x ? ;

?x ? y ? 2 ? 0 ? 14、 已知 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ?x ? 1 ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15、 (满分 10 分) 在等比数列 ?an ? 中, a5 ? 162 ,公比 q ? 3 ,前 n 项和 Sn ? 242 ,求首项 a1 和项数 n .

16、 (满分 12 分) 已知点 A(1,-1),B(5,1),直线 l 经过点 A,且斜率为 ?

3 , 4

(1)求直线 l 的方程。 (2)求以 B 为圆心,并且与直线 l 相切的圆的标准方程。

17、 (满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 Sinx ? Cosx( x ? R) 2 2

(1)求函数的最小正周期 (2)求函数的单调递增区间 (3)求函数的最大值,并求出对应的 X 值 的取值集合。
2

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18、 (满分 12 分) 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 为底面正方形 ABCD 的中心,M 是线段 AB 的中点,. 求证:(1) MO // 平面 ADD1A1 (2) 平面 A1 BD ? 平面 A1 ACC1
D1 C1

A1 B1 M D O A B C

19、 (满分 10 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球, 每个小球被取出的可能性相等。 (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率。

20、 (满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
2

1 x ? c ? a、c ? R? 满足条件: ① f (1) ? 0 ; ②对一切 x ? R , 都有 f ( x) ? 0 . 2

(Ⅰ)求 a 、 c 的值; (Ⅱ)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? mx 在区间 ? m, m ? 2? 上有最小值-5?若存在,请 求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.

3

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高二数学学业水平测试模拟题参考答案
一、选择题(本题共 10小题,每小题5分,共 60分) 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 B 8 C 9 D 10 B

二、填空题(本题共4小题,共 20分)

3 11.- 4

; 12.; ? 3 a 3 13、0;1 14.14 2

三、解答题(本题共 6 小题,共80分)

?a5 ? 162 ? a1q 4 15、解:由题意有: ? ? a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 3n ) s ? ? ? 242 ?n 1? q 1? 3 ?
把 q=3 代入,解得: 所求的值为2,5。 16、解:由直线方程点斜方程: y ? y0 ? k ( x ? x0 )

? a1 ? 2 ? ?n ? 5

直线 l 过A点:即,

3 y ? 1 ? ? ( x ? 1) 4

整理得:3x+4y+1=0

(2)由题意, l 与圆B相切,则圆心B与直线 l 的距离为圆的半径。 则:
r?d ? Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

?

3 * 5 ? 4 *1 ? 1 3 ?4
2
2

2

?4

以B为圆心的圆的标准方程: ( x ? 5) ? ( y ? 1) ? 16
2



17、解 (1) (2)

f ( x) ? cos

?
6

sin x ? sin

?
6

cos x ? sin( x ?

?
6

)

2? ? ? 1, T ? ? 2? ? ? ? ? 2 k? ? ? x ? ? 2 k ? ? , k ? Z 2 6 2



2 k? ?

2? ? ? x ? 2 k? ? , k ? Z 3 3

函数的增区间为

[2k? ?

2? ? , 2k? ? ]k ? Z 3 3
4

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(3)当 sin( x ?

?
6

) ? 1 时, x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ,函数的最大值为 1,

此时 {x | x ? 2k? ?

?
3

, k ? Z}

18、证明: (1)∵正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M 是线段 AB 的中点。 ∴OM//A1D, 而 OM ? 平面 ADD1A1 ,A1D ? 平面 ADD1A1, ∴OM//平面 ADD1A1. (2)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD,∴BD⊥AA1. 在正方体 ABCD 中,BD⊥AC, 且 AA1 ? AC=A,AC、AA1 ? 平面 AA1C1C, ∴BD⊥平面 AA1C1C, ∴BD ? 平面 A1BD, 平面 A1BD⊥平面 A1ACC1. 19、19. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球, 每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率. 解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果: 1 2 1 3 4 2 1 2 3 4 1 2 3 3 4 1 2 4 3 4

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种. ……4 分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1-2,2-1,2-3,3-2,3-4, 4-3,共 6 种. ……6 分 故所求概率 P ?

6 3 ? . 16 8 3 . 8
……8 分

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

(Ⅱ)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1 - 2 , 2 - 1 , 2 - 4 , 3 - 3 , 4 - 2 ,共 5 种. ……10 分 故所求概率为 P ?

5 . 16 5 . 16
……12 分

答:取出的两个小球上的标号之和能被 3 整除的概率为

解法二:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x, y ,用 ( x, y ) 表示抽取结果,则所有 可能有 ?1,1? , ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 3,1? , ? 3, 2 ? , ? 3,3? , ? 3, 4 ? ,

? 4,1? , ? 4, 2 ? , ? 4,3? , ? 4, 4 ? ,共 16 种.

……4 分

(Ⅰ) 所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有 ?1, 2 ? , ? 2,1? , ? 2,3? , ? 3, 2? , ? 3, 4? , ? 4,3? , 共 6 种.
5

……6 分

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故所求概率 P ?

6 3 ? . 16 8 3 . 8
……8 分

答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为

(Ⅱ)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 ?1, 2 ? , 5 种. 故所求概率为 P ?

? 2,1? , ? 2, 4 ? , ? 3,3? , ? 4, 2 ? ,共
……10 分

5 . 16 1 =0……①, 2

20、解: (1) ∵f(x)=0,即 a+c-

?a ? o ?a ? 0 ? 对 x ? R,f(x) ? 0, ∴ ? 即 ?1 ……②, ? ac ? 0 ?? ? 0 ? ?4

1 1 1 同时说明 x=1 时, (1,0)为顶点,∴ ? 2 =1,即 a= ,代入①,c= , 4 4 2a 1 经检验,符合②式,∴a=c= 。 4 1 2 1 1 b ? 1 ? 2m 。 (2)由上可得:g(x)= x ? ( ? m) x ? , ? 4 2 4 2a ?
? g ?m ? ? ?5 ? ……① ? b ? ?m ? ? 2a ? g ?m ? 2? ? ?5 ? 或? b ……② ? ? m?2 ? ? 2a
? ? b ? g ? ? ? ? ?5 ? ? ? 2a ? 或? ……③ ?m ? ? b ? m ? 2 ? 2a ?

解①: ? 1

?1 ? 2m ? m ? 1 1 m 2 ? ( ? m)m ? ? ?5 ? 2 4 ?4
解得 m ?

?m ? ?1 ? ∴? 1 2 1 21 ? m ? m? ?0 ? 2 4 ? 4

? 1 ? 21 ; 2

?1 ? 2m ? m ? 2 ? 解②: ? 1 1 1 (m ? 2) 2 ? ( ? m)(m ? 2) ? ? ?5 ? 2 4 ?4 ?m ? 1 ? ∴ ?1 5 21 (m 2 ? 4m ? 2) ? (m 2 ? m ? 1) ? ?0 ? 2 4 ?4

解得 m +2m+7=0,无解;

2

6

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?m ? 1 ? 2m ? m ? 2 ? 解③: ? 1 1 1 (1 ? 2m) 2 ? ( ? m)(1 ? 2m) ? ? ?5 ? 2 4 ?4
所以,存在符合题意的 m, m ?

解得 ?

?? 1 ? m ? 1
2 ?m ? m ? 5 ? 0

得 无解。

? 1 ? 21 . 2

7


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