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应用求导法速解物理奥赛题两例


V01.34 No.1
(2013)



-W_





第3。l卷第1期
201

11HYSlCS r1、liA(、HER

3年

?竞赛园地?

应用求导法速解物理

奥赛题两例
刘益民
(扬州市宝应县中学.江苏扬州
225800)

2012年的全国中学生物理竞赛,预赛试题总体难度不 大,但其中也不乏有些难题.全国高中物理竞赛大纲中明
确指出“不要求用复杂的积分进行推导和运算”,在竞赛解 题过程中完全可以依赖于初等数学方法进行求解.但是在

产瓦一下la—2+b2 2—abcosGot)十a2+b2+2abcos(wt)J


2kIa!%r







sin(wt).

导数速解:由于导线框处在非匀强磁场中。f时刻通过

解竞赛题时如果使用导数、积分等高等数学的方法,将会
起到事半功倍的效果.下面就以近两年两道物理奥林匹克

导线框的磁通量西一rB(2“)dr,其中B=k_I,r,!一以z十
√’1

预赛题为例,进行分析对比,以体会使用导数法解题的
妙处.

胪一2abcos(wt).n 2一n 2+护一2abcos(7c—wt).由数学定积

分公式f.土d。

.r

ln I.r l+C.可解得此时磁通量西

例1.(第29届全国中学生物理竞赛预赛第15题)图1
中L是一根通电长直导线,导线中的电流为J,一电阻为 R、每边长为2“的导线方框,其中两条边与L平行,可绕其 中心并与长直导线平行的轴线00转动。轴线与长直导线 相距b,6>n,初始时刻,导线框与直导线共面.现使线框以 恒定的角速度m转动,求线框中的感应电流的大小.不计 导线框的自感.已知电流j的长直导线在距导线r处的磁


r女一L(2。)d,
J,,


2ak』(1nr!一lnr,).再根据法拉第电磁感

应定律E一警,再由数学导数公式(inz)7一÷,(sin.r)7一


COS。及复合函数的导数法则.可得感应电流i一言一

丁I—a"+ff--2—abcos(cot)十a2+b2+2ab—cos(—wt)I
2点k!乩,r
1 1

]., 8…‰¨?


感应强度大小为k二,其中女为常量.


:D


I..........I....._J D

,聪蛾7 7聪芍
图2
T ,l

点评:这是一道关于动生电动势的考题.按常规思路
应该使用E B!vsinO公式进行求解,因此本题难点在于磁 感应强度与速度两矢量夹角的求解,这里需要同时使用正

弦、余弦定理,数学要求较高.而使用微积分的方法,通过
积分出任一时刻的磁通后,只要学会求解此时的磁通变化 率(导数)即可,这嵝对于参加竞赛的学生可以说肯定是没 有问题的.

图1

例2.(第28届全国中学生物理竞赛预赛第16题)在
海面上有3艘轮船,船A以速度“向正东方向航行,船B

常规解法:初始时刻,导线框与直导线共面,由此开始 计时,经f时间线框转过0一cot,作俯视图如图2所示.线框 与轴线平行的两条边的速度大小均为t一一oJa,L中电流J

以速度2“向正北方向航行,船C以速度2√2“向东偏北
4j。方向航行.在某一时刻。船B和(、恰好同时经过船A的 航线并位于船n的前方,船B到船A的距离为“,船(1到 船A的距离为2“.若以此时刻作为计算时间的零点.求在 l时刻B、(、两船问距离的中点M到船A的连线MA绕M 点转动的角速度. 常规解法:以t一0时刻船y A所在的位置为坐标原点(), 作如图3所示平面直角坐标系 0rY,32轴指向正东,Y轴指向 正北.可以把船C的速度分解 成沿正东方向的分速度u,和 沿正北方向的分速度玑两个 分量.根据题意有玑一Vy一2u;在t时刻,3船的位置如图3 所示.B、C
() 口 2ut
ut/

在这两边所在处产生的磁感应强度大小分别为B,—女二.


B:一女二.由电磁感应定律,线框由于切割产生的动生电
,2

动势E一281avsinal+282avsina!. 由正弦定理可知
sin(7c一口1)






2u

2u






f砷

由余弦定理可知
r1



//C
2a

2=a 2+b2—2abcos(∞f),

图3

r,2一a2+62—2abcos(7c—cot).

由上可解得

E=2是k2如l丽1口酏。s(“)F∥十扩十z1丽l
再根据欧姆定律可知线框中的感应电流

2船在y方向位移相等,两船的连线丽与z轴

平行,两船间的距离丽=n+2姐丽的中点到B点的距离

sinGot).

为专n+“f.中点M的坐标分别z.,一下3“+ut,y。一2“f,可

一一96

万方数据

见M点沿z方向的速度为“,沿Y方向的速度为2“.在产
0时刻M在z轴上,其z坐标为÷口.
在与M点固连的参考系中考察,并建立以M为原点 的直角坐标系Mx 7Y’,Xt轴与z轴平行,y7轴与Y轴平行, 则相对M,船A的速度只有沿负y’方向的分量,有“删一 “AM,,一一2“.在时刻t,船A在坐标系Mix 7了7的坐标为

立解得cc,一五弭1j2tt研a



导数速解:以船A为参考系,B、C两船问距离的中 点M做正北方向速度为2tt的匀速直线运动,东西方向

距离保持要a(详解同上),可作出两点空间示意图,如图5

所示,易知tanO一美笼.又因为导数(伽)72sec2目2磊南,由

工A,一一百3口,y^,=一“AMf.
可以把A船的速度“删分解为沿连线MA方向的分量 MAM。和垂直于连线丽五方向的分量UAM:两个分量,'tAMt使连 线砀再的长度增大,?,tAM。使连线砀万的方向改变,如图4所 示.若用R表示t时刻连线MA的长度,则连线MA绕M点

三角形关系得cosO=了纛歹赫,而连线磁绕M点
转动的角速度∞一矿,根据(ta埘)7;兰,同样可解得m


!!丝
9口2十16扩产‘

转动的角速度m=兰等.若丽万与z’轴的夹角为0,则有

点评:相对运动中的速度分解是本题中的一个难点, 为了回避这一难点,需要深入地认识角速度:从角速度的 定义来看其实质上是角度随时闾的变化率(导数),因此 结合导数知识,将这一物理问题立即转化为简单的数学 模型,从丽轻松化解. 总之,微积分初步知识作为高中数学中新增的内容, 在高中物理中有着了广泛的运用.教师可以通过平时的 教学渗透,让大部分学生初步掌握数学求导和积分的思 想方法,尤其让参加物理奥赛的学生能够掌握这一解决 物难题的利器.因为,这不仅能够拓宽学生的解题思路, 更能展示数理结合的魅力.当我们掌握这一强大的工具 时,也就不需要使用难以掌握、迂回并且隐晦的“微元 法”,这样的话,何乐而不为呢?
(收稿日期:2012
09—11)

“AM。:uAMcos0,而cosO=竺争,R=v厂忑7y干石i■尹,联

M。’P

2ut

图4

图5

(上接第95页)

都接近于一30~一40分,从中可以判断该学生到底有没有 表1 懂.对比(3)和(4),可以发现完全不懂的学生在以后的测 试卷类型Ⅱ 试卷类型Ⅱ 传统给分
100 80 25


试卷类型I
学生

试卷类型I 新方式给分
100
70

试中会更倾向于不写,因为不写不会得负分.这样做,也会 进一步强化统计的有效性. 通过改进选择题的命题理念、改良选择题的选项设 计、改变选择题的给分方式后,的确能够弥补选择题的一 定缺陷,同时让选择题的作用也能进一步的突出和有效, 从而更好地为物理教学的考察提供帮助和参考.但这种 “三改”在真正实施中肯定也会存在这样或那样的问题,而 解决这些问题的过程也是其不断发展和完善的过程. 参考文献:


传统给分
(1) (2) (3) (4) 100
90

新方式给分
100
40

Z5


—40


—30


从表1的统计来看,全懂的学生与半懂的学生在传统 给分方式下,差距为10~20分,而新方式下在试卷简时差 距为30分,难的时候差距为60分.新方式的选择题无论 难度高低,全懂的学生都会拉开与半懂学生的差距,从而 更能激励学生要学懂,不能死记硬背,这是符合现代化教 育要求的. 半懂的学生与不懂的学生,在新方式下的差距不但进 一步拉大,而且不懂的学生几乎不可能突破0分的界限, 从而彻底让这两部分学生区分开来,而给那些已经学了、 但没有完全学懂的学生以更大的信心和动力. 从(3)可以发现不管试卷难易程度如何,猜测的得分


王晓鹏.用Authorware知识对象制作多项选择题.信息技术,
2001(5).

2王举村.谈物理选译题的特点、功能及解题技巧。中学生数理化 (高考版),2009(7).


田广玉.一种接近真实评价的选择评价题型——单项选择题的 改革研究.物理通报,2008(8). 张青.选择题测试中试题库系统的设计与实现.黄冈师范学院 学报,2004(24).

5夏安良.选择题错误答案诱答有效性问题初探.宁波教育学院 学报,2002(4). (收稿日期:2012—05—07)

万方数据

应用求导法速解物理奥赛题两例
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 刘益民 扬州市宝应县中学,江苏扬州,225800 物理教师 Physics Teacher 2013,34(1)

引用本文格式:刘益民 应用求导法速解物理奥赛题两例[期刊论文]-物理教师 2013(1)


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