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数学选修2-1 第一章


选修 2-1 第一章、第二章 检测试卷
一、选择题: (共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在下列各小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请将选项前的字母填入下表相应的空格内. 1.直线过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,与抛物线交于 A(x1, y1)、B(x2, y2)两点,如果 x1 + x2 = 6,那么 AB 等于 ( A.10 ) B.8

C.7 D.6 )

3 x2 y2 2.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 ( 4 a b
A.

5 3
x

B.

4 3

C.

5 4

D.

3 2
( )

3.下列命题中,真命题是

A. ?x0 ? R, e 0 ? 0 C. a ? b ? 0 的充要条件是

B. ?x ? R, 2x ? x2

a ? ?1 D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 b 4.已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 ( A. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 B. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 C. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 D. ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0
5.已知命题“非空集合 M 的元素都是集合 P 的元素”是假命题,那么下列说法: ①M 的元素都不是 P 的元素; ②M 中有不属于 P 的元素; ③M 中有 P 的元素; 其中正确的个数为( A.1 B.2 ) C.3 D.4 ④M 中元素不都是 P 的元素.



6.已知命题 p:点 P 在直线 y=2x-3 上;命题 q:点 P 在直线 y=-3x+2 上,则使命 题“p 且 q”为真命题的一个点 P(x,y)是( A.(0,-3) B.(1,2) ) D.(-1,1)

C.(1,-1)

7. 若点 A 的坐标为(3, F 为抛物线 y2=2x 的焦点, P 在抛物线上移动, 2), 点 为使|PA|+|PF| 取最小值,P 点的坐标为( )

1 ,1) (D)(0,0) 2 8.如图,圆 O 的半径为定长 r , A 是圆 O 外一个定点, P 是圆上任意一点,线段 AP 的
(A)(3,3) (B)(2,2) (C)(

垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆上运动 时,点 Q 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 ) C.双曲线 D.抛物线

9.己知命题 P : "?x ? [1, 2],x2 ? a ? 0",命题 q : "?x ? R, 使

x2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0" ,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是(
A. a a ? ?2或 ? a ? 2 1



?

?

B. a a ? 1

?

?

C. a a ? ?2或a ? 1

?

?

D. a ? 2 ? a ? 1

?

?

x2 y 2 10.设 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, 两焦点分别为 F1 , F2 , 如果 ?PF F2 ? 75? 1 a b

?PF2 F1 ? 15? ,则椭圆的离心率为 (
A.



6 3

B.

3 3

C.

6 2

D.

3 2

11.已知命题 p:?x∈R,使 sinx=

5 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1>0.给出下列结 2

论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧ ? q ”是假命题;③命题“﹁p∨q”是真命 题;④命题“﹁p∨﹁q”是假命题.其中正确的是( ) A.②④ B.②③ C.③④ D.①②③ 12.已知函数 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,a,b∈R,对于命题“若 a+b≥0,则 f(a) +f(b)≥f(-a)+f(-b)”有下列结论: ①此命题的逆命题为真命题; ②此命题的否命题为真命题; ③此命题的逆否命题为真命题;④此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题. 其中,正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)请将答案直接添在题中的横线上. a b 13.命题“若 a<b,则 2 <2 ”的否命题为________,命题的否定为________. 14.中心在原点, 对称轴为坐标轴, 离心率为

1 , 长轴为 8 的椭圆的标准方程为________. 2

15.若“x∈[2,5]或 x∈{x|x<1 或 x>4}”是假命题,则 x 的取值范围是________.

x2 y 2 16. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点是 F1、F2 ,以|F F2 | 为边作正三角形,若椭 1 a b

圆恰好平分三角形的另两边,则椭圆的离心率为_______________. 三、解答题: (共 6 小题,共 70 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2 2 17. (本小题满分 10 分) p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 设

? x 2 ? x ? 6 ? 0, ? 满足 ? 2 . ? x ? 2 x ? 8 ? 0. ?
(Ⅰ)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 13 分)已知 F1 、 F2 分别是双曲线 作倾斜角为 30? 的直线交双曲线于 A、B 两点. (Ⅰ)求线段 AB 的长;(Ⅱ)求 ?AF1 B 的周长.

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,过右焦点 F2 3 6

19.(14 分)给出两个命题: 命题甲:关于 x 的不等式 x2+(a-1)x+a2≤0 的解集为?, 命题乙:函数 y=(2a2-a)x 为增函数. 分别求出符合下列条件的实数 a 的范围. (1)甲、乙至少有一个是真命题; (2)甲、乙中有且只有一个是真命题.

20.已知椭圆与双曲线 2 x ? 2 y ? 1 共焦点,且过( 2 ,0)
2 2

(1)求椭圆的标准方程. (2)求斜率为 2 的一组平行弦的中点轨迹方程. 1 21.(本小题满分 12 分)已知 a>0 设命题 p:函数 y=( )x 为增函数. a 1 1 1 命题 q:当 x∈[ ,2]时函数 f(x)=x+ > 恒成立. 2 x a 如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求 a 的范围. 22.直线 l 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A、B 两点,O 为抛物线的顶点,若 OA⊥OB.
2

证明:直线 l 过定点(2,0) .

选修 2-1 第一章、第二章 检测试卷 答案
1.B 2.C 3. D 4. C
a

5. B 6. C 7. B 8.C 9.C 10. A 11. B
b a b

12. C

13. 命题“若 a<b,则 2 <2 ”的否命题为“若 a≥b,则 2 ≥2 ”,

命题的否定为“若 a<b,则 2 ≥2 ”.
14. 15.

a

b

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12
[1,2)
2 2

16. 3 ? 1

17. 解: 由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 , 又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 . 由?

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? ,得 2 ? x ? 3 ,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 2 ?x ? 2x ? 8 ? 0 ?

若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . (Ⅱ) ? p 是 ? q 的充分不必要条件,即 ? p ? ? q ,且 ? q 设 A= {x | ?p} ,B= {x | ?q} ,则 A

? ?p , ?

B,

又 A= {x | ?p} = {x | x ? a或x ? 3a} , B= {x | ?q} = {x ? 2或x ? 3 }, 则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 . 18.解:(Ⅰ)由双曲线的方程得 F1 (- 3,0) , F2 (3,0) ,直线 AB 的方程为 y =
3 ( x - 3) ① 3 将其代入双曲线方程消去 y 得, 5x2 + 6 x - 27 = 0 ,解之得 x1 = - 3,x2 = 9 . 5

9 2 3 ), 将 x1 ,x2 代入①,得 y1 = - 2 3 , y2 = - 2 3 ,故 A(- 3,- 2 3) , B( ,5 5 5 故 AB = 16 3 . 5
(Ⅱ) 周长 ?| AB | ? | AF | ? | BF | ? 8 3 . 1 1 1 19. 解 甲命题为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,即 a> 或 a<-1. 3

1 乙命题为真时,2a2-a>1,即 a>1 或 a<- . 2 (1)甲、乙至少有一个是真命题时,即上面两个范围取并集, 1 1 ∴a 的取值范围是{a|a<- 或 a> }. 2 3 (2)甲、乙有且只有一个是真命题,有两种情况: 1 甲真乙假时, <a≤1, 3 1 甲假乙真时,-1≤a<- , 2 ∴甲、乙中有且只有一个真命题时 a 的取值范围为 1 1 {a| <a≤1 或-1≤a<- }. 3 2 20.解: (1)依题意得,将双曲线方程标准化为

x2 y 2 ? =1,则 c=1. 1 1 2 2

∵椭圆与双曲线共焦点,∴设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 =1, a2 a ?1

2 0 x2 2 ? y 2 =1. ∵椭圆过( 2 ,0) ,∴ 2 ? 2 =1,即 a =2,∴椭圆方程为 a a ?1 2
(2)依题意,设斜率为 2 的弦所在直线的方程为 y=2x+b,弦的中点坐标为(x,y) ,则 y=2x+b 且

x2 ? y 2 =1 得 9 x2 ? 8bx ? 2b2 ? 2 ? 0 , 2
8b 2b 4b b , y1 ? y2 ? .即 x= ? ,y= ,两式消掉 b 得 9 9 9 9

∴ x1 ? x2 ? ? y= ?

1 x.令△=0, 64b2 ? 36(2b2 ? 2) ? 0 ,即 b=± 3,所以斜率为 2 且与椭圆相切 4 4 的直线方程为 y=2x± 3,即当 x=± 时斜率为 2 的直线与椭圆相切.所以平行弦得中 3 1 4 4 点轨迹方程为:y= ? x( ? ≤x≤ ) . 4 3 3
1 21 解:由 y=( )x 为增函数得,0<a<1 a 1 因为 f(x)在[ ,1]上为减函数,在[1,2]上为增函数. 2 1 ∴f(x)在 x∈[ ,2]上最小值为 f(1)=2. 2

1 1 1 1 1 当 x∈[ ,2]时,由函数 f(x)=x+ > 恒成立得,2> ,解得 a> 2 x a a 2 1 如果 p 真且 q 假,则 0<a≤ . 2 如果 p 假且 q 真,则 a≥1 1 所以 a 的取值范围为(0, ]∪[1,+∞) 2 22. 解:设点 A,B 的坐标分别为( x1 , y1 )( x2 , y2 ) , (I)当直线 l 存在斜率时,设直线方程为 y=kx+b,显然 k≠0 且 b≠0.联立方程得:

y ? kx ? b, y 2 ? 2x 消 去 y 得 k 2 x2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 , 由 题 意 : x1 x2 =
y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ?

b2 , k2

2b b 2 2b ? 0 ,解 ,又由 OA⊥OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 2 ? k k k

得 b=0(舍去)或 b=-2k,故直线 l 的方程为:y=kx-2k=k(x-2) ,故直线过定点(2,0) (II)当直线 l 不存在斜率时,设它的方程为 x=m,显然 m>0,联立方程 x ? m, y 2 ? 2 x 解得 y ? ? 2m ,即 y1 y2 =-2m,又由 OA⊥OB 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 m ? 2m =0,解
2

得 m=0(舍去)或 m=2,可知直线 l 方程为:x=2,故直线过定点(2,0)综合(1) (2) 可知,满足条件的直线过定点(2,0) .


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