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2015届高三第一学期模拟训练12


高三模拟训练(12) 数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 A= {x | 2x?2 ? 1}, B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则 A ? B 为 A. {x | x ? 2} 2. 已知 a 是实数, A. 1 B. {x |1 ? x ? 2} C. {x | x ? 1} D. {x | x ? 1}

a?i 是纯虚数,则 a 等于 1? i
B. ?1 C. 2 D. ? 2

3.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (? A.3 B.4

1 1 , ? ) ,则 log2 f (4) 的值为 2 8
C.6 D.-6

? ? ? ? 4.若 a ? ( x,3), b ? ( x, ?2) ,则“ x ? 6 ”是“ a ? b ”的
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 5.已知数列 {an }的通项an ? A.第 4 项
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

n (n ? N *), 则数列{an } 的最大项是 n ? 17
C.第 6 项 D.第 4 项或第 5 项

B.第 5 项

x 6. 函数 f ? x ? ? log 2 3 ? 1 的定义域为

?

?

A. ?1, ?? ?

B. ?1, ?? ?

C. ?0, ???

D.

?0, ???

1 7.在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于 3 π 3π π A. B. C. 4 4 3 8. 已知函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 示,则 ? , ? 的值分别为 A. 2, ? C. 4, ?

π D. 6

?
2

) 的部分图像如图所

? ?
3

B. 2, ? D. 4,

?
6

? 6 3 x 9. 若当 x ? R 时,函数 f ( x) ? a 始终满足 0 ? f ( x) ? 1 ,则
1

函数

y ? log a

1 x

的图象大致为

10. 对于函数 y ? f ( x) , 如果存在区间 [m, n] , 同时满足下列条件: ① f ( x ) 在 [m, n] 内是单调的; ②当定义域是 [m, n] 时, f ( x ) 的值域也是 [m, n] ,则称 [m, n] 是该函数的“和谐区间”.若函数

f ( x) ?

a ?1 1 ? (a ? 0) 存在“和谐区间”,则 a 的取值范围是 a x
1 5 2 2
B. (0,1) C. (0, 2) D. (1,3)

A. ( , )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.若向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? 1, b ? 2, c ? a ? b ,则| c |为_
?

?

?

?

?

?

? ?

?

_.

12. 已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间 [-1, 1] 内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0, 则实数 p 的取值范围是_________
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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13.设 a ? log0.3 2, b ? log0.3 3, c ? 20.3 , d ? 0.32 , 则这四个数的大小关系是______. (用“<”连结) 14. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数. (1)求函数 F ( x) ? f ( x) f ?( x) ? f 2 ( x) 的最大值和最小正周期; (2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求

1 ? sin 2 x 的值. cos 2 x ? sin x cos x

2

16. (本小题满分 12 分)已知直线 ln : y ? x ? 2n 与圆 Cn : x2 ? y 2 ? 2an ? n ? 2(n ? N ? ) 交于不 同点 An、Bn,其中数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 2 An Bn . 4

n (an ? 2), 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 3

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax +2x+c(a、c∈N )满足:①f(1)=5;②6<f(2)< 11. (1)求 a、c 的值; (2)若对任意的实数 x∈[

2

*

1 3 , ],都有 f(x)-2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围. 2 2

18. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

3

19. (本小题满分 14 分)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次 成等比数列,且公比都相等,已知 a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8. a1,1 a2,1 a3,1 a4,1 ? (1)求数列{an,2}的通项公式; ( 2)设 bn= a1,n +(-1)na1,n, an,2 n=1,2,3,?,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. a1,2 a2,2 a3,2 a4,2 ? a1,3 a2,3 a3,3 a4,3 ? a1,4 a2,4 a3,4 a4,4 ? ? ? ? ? ?

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) 的表达式;

ax 在x ? 1 处取得极值 2。 x ?b
2

(2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m ? 1) 上单调递增? (3)若 P ( x 0 , y 0 ) 为 f ( x) ? 求直线的斜率 k 的取值范围.

ax ax 图象上任意一点,直线与 f ( x) ? 2 的图象切于点 P, x ?b x ?b
2

4

高三数学模拟训练(12)试题答案
题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 A 6 D 14.-49; 7 A 8 A 9 B 10 B

11. 3 ; 12. (-3,

15.解(1)∵ f ?( x) ? cos x ? sin x ∴ F ( x) ? f ( x) f ?( x) ? f 2 ( x)

3 ) ; 2

13. b<a<d<c;

? cos2 x ? sin 2 x ? 1 ? 2sin x cos x
? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x

? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 4
∴当 2 x ?

?

?

4

? 2 k? ?

?
2

? x ? k? ?

?
8

( k ? Z )时, F ( x)max ? 1 ? 2

最小正周期为 T ?

2? ?? 2

(2)∵ f ( x) ? 2 f ?( x) ? sin x ? cos x ? 2cos x ? 2sin x ∴ cos x ? 3sin x ? tan x ?

1 3

11 1 ? sin 2 x 2sin 2 x ? cos 2 x 2 tan 2 x ? 1 9 11 ∴ ? ? ? ? 2 cos 2 x ? sin x cos x cos 2 x ? sin x cos x 1 ? tan x 6 3 16. 解:(1)圆心到直线的距离 d ? n , 1 ? an ?1 ? ( An Bn )2 ? 2an ? 2, 则an ?1 ? 2 ? 2(an ? 2) 2 ?易得an ? 3 ? 2n ?1 ? 2 n bn ? (an ? 2) ? n ? 2n ?1 , 3 (2) Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ??? ? n ? 2n ?1

2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ??? ? n ? 2n
相减得 Sn ? (n ?1)2 ? 1
n

17. 解:(1)∵f(1)=a+2+c=5,∴c=3-a.① 又∵6<f(2)<11,即 6<4a+c+4<11,②
5

将①式代入②式,得-

1 4 < a< , 3 3

又∵a、c∈N*, ∴a=1,c=2. (2)由(1)知 f(x)=x2+2x+2. ∵x∈[

1 3 , ], 2 2

∴不等式 f(x)-2mx≤1 恒成立?2(1-m)≤ ? ? x ?

? ?

1 3 1? ? 在[ 2 , 2 ]上恒成立. x?

易知[ ? ? x ?

? ?

5 5 1? ? ]min=- 2 ,故只需 2(1-m)≤- 2 即可. x?

解得 m≥

9 ? 9? .即 ?m m ? ? 4 4? ?

18. 解:(1)

f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,

因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

???6 分

(2)因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;
' 当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 即 2 3 ? 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ?

9 2 9 ? 2 ? 6 ? 2 ? a ? 0或1 ? ? 6 ? a ? 0 时, 2 2

5 5 .即 {a | a ? 或a ? 2} ????14 分 2 2

19.(1)设各行依次组成的等差数列的公差是 d,各列依次组成的等比数列的公比是 q(q>0), 则 a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6, a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2(1+d)=8, 解得 d=1,q=2.a1,2=2?an,2=2×2n 1=2n.


n (2)bn= n+(-1)nn, 2
6

n? 1 2 3 n Sn=? ?2+22+23+?+2n?+[-1+2-3+…+(-1) n]. n 1 2 3 设 Tn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 n 1 1 2 3 则 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+1 2 2 2 2 2 , n+2 n 1 1 1 1 1 两式相减得 Tn= + 2+ 3+?+ n- n+1=1- n+1 , 2 2 2 2 2 2 2 所以 Tn=2- n+ 2 . 2n

n ? ?2,n为偶数, 又-1+2-3+?+?-1? · n=? 1+n ?- 2 ,n为奇数, ?
n

n+2 - ,n为偶数, ?2+n 2 2 故 S =? 3-n n+2 ? 2 - 2 ,n为奇数.
n n n

20 解:(1) 因为 f ?( x) ? 而函数 f ( x) ?

a ( x 2 ? b) ? ax(2 x) ( x 2 ? b) 2

· · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分

ax 在 x ? 1 处取得极值 2, x ?b
2

?a (1 ? b) ? 2a ? 0 ? f ?(1) ? 0 ?a ? 4 ? 所以 ? , 即? a 解得 ? ?2 ? f (1) ? 2 ?b ? 1 ? ?1 ? b
所以 f ( x) ?

4x 即为所求 1? x2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

(2)由(1)知 f ?( x) ?

4( x 2 ? 1) ? 8 x 2 ? 4( x ? 1)( x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2
则 f ( x) 的增减性如下表: (-1,1) 正 (1,+∞) 负

令 f ?( x) ? 0 得: x1 ? ?1, x 2 ? 1

x
f ?( x)

(-∞,-1) 负

7

f ( x)
可知, f ( x) 的单调增区间是[-1,1], · · · · · · · · ·6 分

?m ? ?1 ? 所以 ?2m ? 1 ? 1 ? ?1 ? m ? 0. ?m ? 2 m ? 1 ?
所以当 m ? (?1,0] 时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m ? 1) 上单调递增。 (3)由条件知,过 f ( x) 的图象上一点 P 的切线的斜率 k 为: · · · · · · · · ·9 分

k ? f ?( x0 ) ?
令t ? 当t ?

2 2 4(1 ? x0 ) ? 1 ? x0 ?2 2 1 ? 4 ? ? 4[ ? ] 2 2 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x0 ) (1 ? x0 ) 1 ? x0

11 分

1 1 1 ,则 t ? (0,1] ,此时, k ? 8(t ? ) 2 ? 的图象性质知: 2 4 2 1 ? x0

1 1 时, k min ? ? ; 4 2

当 t ? 1 时, k max ? 4

所以,直线的斜率 k 的取值范围是 [?

1 ,4] 2

· · · · · · · · · ·14 分

8



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