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2015-2016学年广东省东莞市东华高级中学高一4月月考数学试题 (解析版)


2015-2016 学年广东省东莞市东华高级中学高一 4 月月考数学试题 (解析版)
一、选择题(12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. sin( ?

10 ? ) 的值等于 ( 3
B.



A.-

1 2

1 2

C.-

3 2

D.

3 2

【答案】D 【解析】 试题分析: sin(?

10π 10π 2π 3 .故选 D. ) ? sin(? ? 4π ) ? sin ? 3 3 3 2

考点:诱导公式. 2.已知角 ? 的终边落在直线 5 x ? 12 y ? 0 上,则 cos? ? ( A. ? ) D. ?

12 13

B.

12 13

C. ?

5 13

5 13

【答案】A

考点:三角函数的定义,同角间的三角函数关系. 【名师点睛】运用任意角的三角函数定义求三角函数值时,先要判断终边的可能位置,然后在终边上任意 取一点,也可取一特殊点,求出该点到原点的距离,再由定义来进一步求解,若有参数注意对参数进行分 类讨论. 3.已知向量 AB ? (3,7) , BC ? (?2,3) ,则 ?

??? ?

??? ?

1 ???? AC ? ( 2



A. ? ? , 5?

? 1 ? ? 2 ?

B. ? , 5?

?1 ? ?2 ?

C. ? ? ,-5 ?

? 1 ? 2

? ?

D. ? ,-5 ?
1

?1 ?2

? ?

【答案】C 【解析】 试题分析: AC ? AB ? BC ? (1,10) ,所以 ? 考点:向量的坐标运算. 4.已知向量 AB ? a ? 3b , BC ? 5a ? 3b , CD ? ?3a ? 3b ,则( A. A, B, C 三点共线 【答案】B B. A, B, D 三点共线 C. A, C , D 三点共线 ) D. B, C , D 三点共线

??? ?

??? ? ??? ?

1 ???? 1 AC ? (? , ?5) ,故选 C. 2 2

考点:向量共线. 5.已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? cos ? ? ( A. ? ) C. ?

2 5

B.

2 5

4 5

D.

4 5

【答案】B 【解析】 试题分析: sin α cos α ?

sin α cos α tan α 2 2 ? ? 2 ? .故选 B. 2 2 2 sin α ? cos α tan α ? 1 2 ? 1 5

考点:同角间的三角函数关系. 6.若把函数 y ? sin ?x(? ? 0) 的图象向左平移 是 A. ( ) B.

? 个单位后与函数 y ? cos ?x 的图象重合,则 ? 的值可能 3
3 2 2 3

1 3

1 2

C.

D.

[

【答案】C 【解析】 试题分析:把函数 y ? sin ?x(? ? 0) 的图象向左平移

? π ωπ ), 个单位后得 y ? sin ω( x ? ) ? sin(ωx ? 3 3 3

ωπ π 3 ? 2kπ ? ( k ? Z ) , k ? 0 时, ω ? ,故选 C. 3 2 2
考点:三角函数图象的平移,诱导公式. 7.函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
4

) 的一个单调减区间是(


2

A. [

5? 9? , ] 8 8

B. [?

? 3?
8 , 8

]

C. [

3? 7? , ] 8 8

D. [

? 5?
8 , 8

]

【答案】C

考点:三角函数的单调性. 8.下列函数中,图像的一部分如下图所示的是( )

A. y ? sin( x ?

?
6

)

B. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

C. y ? cos( 4 x ? 【答案】D 【解析】

?
3

)

D. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

试题分析:由题意

T π π 2π π π ? ? (? ) , T ? π ,则 ω ? ? 2 , sin(2 ? ? ) ? 0 ,不合题意,而 4 12 6 π 12 6

cos(2 ?

π π ? ) ? 1 长凳题意,故选 D. 12 6

考点: f ( x) ? A sin(ωx ? φ) 或 f ( x) ? A cos(ωx ? φ) 的图象. 9.设向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a ? a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的夹角是( A. 30
?

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

) D. 120
?

B. 60

?

C. 90

?

【答案】D 【解析】 试题分析:a ? a ? b ? a ? a ? b ? 1 ? 1? 2 ? cos ? a, b ?? 0 ,cos ? a, b ?? ?
2

? ?

?

?

?

?2

? ?

? ?

? ?

? ? 1 ,所以 ? a, b ?? 120? .故 2

选 D. 考点:向量的夹角. 10.已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移

? 个单位后,得到函数 y ? g ( x ) ,下列关于 y ? g ( x ) 的说法正确的 6
3

是( ) A.图象关于点 ? -

? ? ? ,0 ? 中心对称 ? 3 ?

B.图象关于 x ? ?

?
6

轴对称

C.在区间 ?? 【答案】C

? 5? ? ? 单调递增 ,? ? 12 6 ? ?

D.在 ??

? ? ?? 单调递减 , ? 6 3? ?

考点:三角函数的图象平移,三角函数的性质. 11.函数 f ( x) ? A. ??1,1? 【答案】C 【解析】

[

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是( 2 2
B. ??

) D. ? ? 1,?

? ?

2 ? ,1? 2 ?

C. ?? 1,

? ?

2? ? 2 ?

? ?

2? ? 2 ?

π 5π ? cos x , 2 k π ? ? x ? 2 k π ? ? 2 ? 4 4 试题分析:由题意 f ( x) ? ? , (k ?Z ) ,所以 f ( x) ? [?1, ] .故选 C. 3 π π 2 ?sin x, 2kπ ? ? x ? 2kπ ? ? 4 4 ?
考点:三角函数的性质,函数的值域. 【名师点睛】本题含有绝对值的函数,可以根据绝对值定义进行分类讨论支绝对值符号,化函数为分段函 数形式,然后在每一段根据要求求解,本题在每个范围内求出函数的值域,然后求并集即可,还可以作出 函数的图象,通过图象判断出函数的值域. 12.已知向量 a, b, c 满足 a ? 4, b ? 2 2, a 与 b 的夹角为 值为( )

? ??

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ,(c ? a) ? (c ? b) ? ?1 ,则 c ? a 的最大 4

4

A. 2 ?

1 2

B.

2 ?1 2

C.

2 ?1 2

D. 2 ? 1

【答案】D

考点:向量的坐标运算. 【名师点睛】本题求向量的模的最大值,一般要建立一个函数,即把 c ? a 用一个参数表示出来,而对向量 的数量积运算,题中参数的选取比较难.题中通过在直角坐标平面上取两点 B(2 2,0) , A(2 2, 2 2) , 巧妙地构造出符合题意的两个向量 OA ? a, OB ? b ,这样只要设点 C 坐标为 ( x, y ) ,向量的数量积就可能 用坐标表示出来,问题就转化求圆 ( x ? 2 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1的点到点 A 的距离的最大值,利用思想结合 思想顺利得解.平面直角坐标系是数与形转换的一个重要的工具,在解题时要善于运用. 二、填空题(4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知角 ? (0 ? ? ? 2? ) 的终边过点 P (sin 【答案】 【解析】 试题分析:因为 sin

r r

??? ?

? ??? ?

?

2? 2? , cos ) ,则 ? ? 3 3

11? 6

2π 2π ? 0, cos ? 0 ,故 α 是第四象限角,又 3 3 2π π 2π π π 11π cos α ? sin ? cos( ? ) ? cos(? ) ? cos ,所以 α ? . 3 2 3 6 6 6

考点:三角函数的定义. 14.已知角 ? 的终边经过点 P(? 3, y) ( y ? 0) ,且 sin ? ?

2 y ,则 cos? ? 4

【答案】 ?

6 4
5

【解析】 试题分析:由题意 sin α ? 考点:三角函数的定义. 15. 若关于 x 的方程 sin x ? cos x ? t ? 0 有实根,则实数 t 的取值范围是
2

y 3? y
2

?

2 ? 3 6 y ,则 y 2 ? 5 ,所以 cos α ? . ?? 4 4 3?5

【答案】 ?? , 1?

? 5 ? ? 4 ?

考点:方程有解问题,三角函数的性质. 【名师点睛】本题考查方程根的问题(函数零点) ,解题关键是进行问题的转化,肥方程有解问题转化为求 函数值域,即求函数 t ? cos x ? sin x ? cos x ? cos x ? 1 的值域,对此函数只要注意 cos x 具有范围限制:
2 2

cos x ?[?1,1] ,因此三角函数值域又可通过换元法变为求在给定区间上的二次函数的值域.在变换过程中
注意参数的联欢会范围的变化,否则易出错. 16.已知 P, Q 是圆心在坐标原点 O 的单位圆上的两点,分别位于第一象限和第四象限,且 P 点的纵坐标为

4 5 , Q 点的横坐标为 ,则 cos?POQ = 5 13 33 【答案】 ? 65
【解析】 试题分析:由题意 P ( , ) , Q (

uu u r uuu r uu u r uuu r 3 4 5 12 , ? ) ,则 OP ? OQ ? OP OQ cos ?POQ ? cos ?POQ ,又 5 5 13 13 uu u r uuu r 3 4 5 12 3 5 4 12 33 33 OP ? OQ ? ( , ) ? ( , ? ) ? ? ? ? (? ) ? ? ,所以 cos ?POQ ? ? . 5 5 13 13 5 13 5 13 65 65

考点:向量的数量积与向量的夹角. 【名师点睛】本题考查向量的夹角,通过向量的坐标运算与数量积的定义求得这个角,当我们学习了两角 和与差的余弦公式后还可由此公式求解: 解:不妨设 P 在 α 的终边上, Q 在 β 终边上,且 α, β ? (0, 2π ) ,则 sin α ?

4 3 5 , cos α ? , cos β ? , 5 5 13
6

sin β ? ? ??

12 3 5 4 12 , cos ?POQ ? cos(α ? 2π ? β ) ? cos(α ? β ) ? cos α cos β ? sin α sin β ? ? ? ? (? ) 13 5 13 5 13

33 . 65

三、解答题: (6 小题,共 70 分)

? 3? cos( ? ? ) cos(2? ? ? ) sin(?? ? ) 2 2 17. (满分 10 分)已知 f (? ) ? 3? sin(?? ? ? ) sin( ? a) 2
(1)化简 f (? ) ; (2)若 ? 是第三象限角,且 cos( ? ?

3? 1 ) ? ,求 f (? ) 的值. 2 5

【答案】 (1) f (α) ? ? cos α ; (2) f (α ) ?

2 6 . 5

考点:诱导公式,同角间的三角函数关系.三角函数的化简与求值.

[来源:学§科§网]

【名师点睛】诱导公式应用的步骤:任意角的三角函数→任意正角的三角函数→0~2π 的角的三角函数→ 锐角三角函数. 应用诱导公式时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.
7

18. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 ( x ? R) 。

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (2)若 x ? ?0,

? ? ? f ( x) 求 的值域. ? 2? ?

【答案】 (1)最小正周期 T ? ? ,单调递减区间为: ?

5? ?? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z ; (2) ?- 2,1?. 6 ?3 ?

考点:三角函数的周期、单调性、值域.

19. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最低点 间的距离为 2? . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若将函数 f ( x) 图像向右平移 值.
8

? 1 个单位得到函数 g ( x) 的图像,若 ? ? [0, ? ] ,且 g (? ) ? ,求 ? 的 3 2

【答案】 (1) f ( x) ? cos x ; (2) ? ? 0或? ?

2? . 3

考点:三角函数的周期,奇偶性,三角函数的图象平移变换,已知三角函数值求角. 20. (满分 12 分)已知 a ? ? 2cos? ,2sin ? ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? , 0 ? ? ? ? ? 2? . (1)若 a ? b ,求 a ? 2b 的值; (2)设 c ? ? 2,0? ,若 a ? 2b ? c ,求 ? , ? 的值. 【答案】(1) 2 2 ; (2) ? ? ? , ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

1 3

5 ?. 3

9

考点:向量的模,向量相等,同角间的三角函数关系. 21. (满分 12 分)某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周

x
?x ? ?
A sin ??x ? ? ? ? B

x1
0

1 3

x2

? 2
3

?
0

7 3 3? 2

x3
2?

0

? 3

0

(1)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 ,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式; (2)将 f ( x ) 的图象沿 x 轴向右平移

2 个单位得到函数 g ( x) ,若函数 g ( x) 在 x ?[0, m] (其中 m ? (2, 4) ) 3

上的值域为 [? 3, 3] ,且此时其图象的最高点和最低点分别为 P, Q ,求 OQ 与 QP 夹角 ? 的大小。
10

【答案】 (1) x1 ? ? , x2 ?

2 3

5? 4 10 ? ? , x3 ? , f ( x) ? 3 sin( x ? ) ; (2) ? ? . 6 3 3 2 3

考点: “五点法”作函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 的图象,正弦函数的性质,向量的夹角.

ωx ? φ )图象五点的确定,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破 【名师点睛】函数 f ( x) ? A sin(
口.具体如下: π “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=0;“第二点”(即图像的“峰点”)时 ωx+φ= ; 2 3π “第三点”(即图像下降时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)时 ωx+φ= ;“第 2 五点”时 ωx+φ=2π. 22. (满分 12 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?2a sin( 2 x ?

?

? ?? ) ? 2a ? b, 当 x ? ?0, ? 时, ? 5 ? f ?x ? ? 1 。 6 ? 2?
11

(1)设 g ( x) ? f ( x ?

?
2

) ,且 lg g ( x) ? 0, 求 g ( x) 的单调递增区间;

(2)若不等式 f ( x) ? m ? 3 对于任意 x ? ? 0,

? ?

??
6? ?

恒成立,求实数 m 的取值范围。

【答案】 (1)单调递增区间为 ? k? , k? ?

? ?

??

(2) ? 6 ? m ? ?2 . ?, k ? Z ; 6?

(2) f ( x) ? ?4 sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?1 6?

? ?? x ? ? 0, ? ? 6?

? 2x ?

?

?( , ] 6 6 2

? ?

12

考点:三角函数的最值,单调性,不等式恒成立问题.

13

14



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