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专题04 数列通项公式的求解策略-备战2015高考技巧大全之高中数学巧学巧解巧用(原卷版)


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专题 25 数列通项公式的求解策略
【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点,不论是选择题或填空题中对基础知识的考查,还是压轴 题中与其他章节知识的综合,抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式 也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法,因此求解过程中往往显得方法多、 灵活度大、技巧性强。 【方法点评】 方法一 数学归纳法
[来源:Zxxk.Com]

解题模板:第一步 求出数 列的前几项,并猜想出数列的通项; 第二步 使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例1 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且方程 x2 ? an x ? an ? 0 有一个根为 sn -1,n=1,2,3...

(1) 求 a1 , a2 ; (2)猜想数列 ?S n ? 的通项公式,并用数学归纳法证明 【变式演练 1】已 知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

方法二 使用情景:已知 Sn ? f (an )或Sn ? f (n)

Sn 法

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

解题模板:第一步 利用 S n 满足条件 p ,写出当 n ? 2 时, S n ?1 的表达式; 第二步 利用 an ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2) ,求出 an 或者转化为 an 的递推公式的形式; 第三步 根据 a1 ? S1 求出 a1 ,并代入 {an } 的通项公式进行验证,若成立,则合并;若不成立, 则写出分段形式或根据 a1 和 {an } 的递推公式求出 an . 例2 数列{ an }的前 n 项和为 S n , a1 =1, an ?1 ? 2Sn ( n ? N ),求{ an }的通项 公式。
?

【变式演练 2】在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ...... ? nan ? (1)求数列 {an } 的通项 an ;

n ?1 a n ?1 (n ? N ? ) 2

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(2)若存在 n ? N ,使得 an ? (n ? 1)? 成立,求实数 ? 的最小值.
*

方法三 累加法 使用情景:型如 an ?1 ? an ? f (n) 或 an ?1 ? an ? f (n) 解题模板:第一步 将递推公式写成 an ?1 ? an ? f (n) ; 第二步 依次写出 an ? an?1 , ???, a2 ? a1 ,并将它们累加起来; 第三步 得到 an ? a1 的值,解出 an ; 第四步 检验 a1 是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例3 在数列{ an }中, a1 =1, an ? an ?1 ? n ? 1 (n = 2、3、4……) ,求{ an }的通项公式。

1 1 【变式演练 3】已知数列{an}满足 a1= ,an+1=an+ 2 ,求 an. 2 n +n 方法四 累乘法 使用情景:型如

an ?1 ? f (n) 或 an ?1 ? an ? f (n) an an ?1 ? f ( n) ; an

解题模板:第一步 将递推公式写成

第二步 依次写出

an a , ???, 2 ,并将它们累加起来; an ?1 a1

第三步 得到

an 的值,解出 an ; a1

第四步 检验 a1 是否满足所求通项公式,若成立,则合并;若不成立,则写出分段形式. 例 4 已知数列 ?a n ?满足 a1 ?

2 n , a n ?1 ? a n , 求a n 3 n ?1
*

【变式演练 4】已知 a1 ? 1 , an ? n(an ?1 ? an ) (n ? N ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 方法五 构造法一 使用情景:型如 an ?1 ? pan ? q (其中 p, q 为常数,且 pq( p ? 1) ? 0, ) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写为 an+1+t=p(an+t);

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第二步 由待定系数法,解得 t ?

q ; p ?1

第三步 写出数列 {an ?

q } 的通项公式; p ?1

第四步 写出数列 ?a n ? 通项公式. 例5 已知数列{ an }满足 a1 =1, an ?1 = 2an ? 1 ( n ? N ? ),求数列{ an }的通项公式。

【变式演练 5】已知数列{an} 中,a1=1,an+1=2an+3,求 an. 方法六 构造法二 使用情景:型如 an ?1 ? pan ? qn ? r (其中 p, q 为常数,且 pq( p ? 1) ? 0, ) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写为 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y ) ; 第二步 由待定系数法,求出 x, y 的值; 第三步 写出数列 {an ? xn ? y} 的通项公式; 第四步 写出数列 ?a n ? 通项公式. 例6 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

【变式演练 6】 设数列{an}满足 a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),求 an. 方法七 构造法三 使用情景:型如 an?1 ? pan ? qn (其中 p, q 为常数,且 pq( p ? 1) ? 0, ) 解题模板:第一步 在递推公式两边同除以 q
n ?1
[来源:学#科#网]

,得

an ?1 p an 1 ? ? ? ; q n ?1 q q n q

第二步 利用方法五,求数列 {

an } 的通项公式; qn

第三步 写出数列 ?a n ? 通项公式. 例7 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 5 ,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。
n
[来源:学科网 ZXXK]

例 8 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

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1?n+1 5 1 【变 式演练 7】 已知数列{an}中,a1= ,an+1= an+? ?2? ,求 an. 6 3

方法八 构造法四 使用情景:型如 an ?1 ? pan ? qan ?1 (其中 p, q 为常数,且 pq ? 0, n ? 2 ) 解题模板:第一步 假设将递推公式改写成 an ?1 ? san ? t (an ? san ?1 ) ; 第二步 利用待定系数法,求出 s, t 的值; 第三步 求数列 {an ?1 ? san } 的通项公式;
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

第四步 根据数列 {an ?1 ? san } 的通项公式,求出数列 ?a n ? 通项公式. 例 9 数列 ?a n ?中, a1 ? 1, a 2 ? 2,3a n ? 2 ? 2a n ?1 ? a n ,求数列 ?a n ?的通项公式。 【变式演练 8】已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, an?2 ? 4an?1 ? 3an (n ? N * ). (1)求 a3 , a4 的值; (2 )证明:数列 ?an ?1 ? an ? 是等比数列; (3)求数列 {an } 的通项公式; 方法九 使用情景:型如 an ?1 ? 构造五

pan (其中 p, q, r 为常数) qan ? r
1 r 1 q ? ? ? ; an ?1 p an p

解题模板:第一步 将递推公式两边取倒数得

第二步 利用方法五,求出数列 {

1 } 的通项公式; an

第三步 求出数列 ?a n ? 通项公式. 例 10 已知数列 ?a n ?满足 a n ?

a n ?1 , a1 ? 1, 求数列 ?a n ?的通项公式。 3a n ?1 ? 1

3 3an 【变式演练 9】已知数列{an}的首项 a1= ,an+1= ,n=1,2,3,…求{an}的通项公式. 5 2an+1 方法十 构造六
r 使用情景:型如 an ? pan ?1 (n ? 2, p ? 0)

解题模板:第一步 对递推公式两边取对数转化为 bn ?1 ? pbn ? q ;

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第二步 利用方法五,求出数列 {bn } 的通项公式; 第三步 求出数列 ?a n ? 通项公式. 例 11 若数列{ a n }中, a1 =3 且 a n ?1 ? a n (n 是正整数) ,求它的通项公式是 a n 。
2

1 2 【变式演练 10】已知数列{an}中,a1=1,an+1= · a (a>0),求数列{an}的通项公式. a n 【高考再现】 2 1 1. 【2013 年全国高考新课标 I 理科】 若数列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ , 则数列{an}的通项公式是 an=______. 3 3 2.【2014 高考重庆理 22】设 a1 (Ⅰ)若 b (Ⅱ)若 b
2 ? 1, an?1 ? an ? 2an ? 2 ? b(n ? N *)

? 1 ,求 a2 , a3 及数列 {an } 的通项公式;

? ?1 ,问:是否存在实数 c 使得 a2 n ? c ? a2 n?1 对所有 n ? N * 成立?证明你的结论.
2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

3.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 a2

?

1 7 ? . an 4

4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 】设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,满
2 ? 足 4Sn ? an ?1 ? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数列.

(1) 证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 1 ? . an an ?1 2

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【反馈练习】 1.已知数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 2 ,其前 n 项和为 S n .若 Sn ?1 ? 2Sn ? 1,则 an ? .

2 2 ? 2.设 {an } 是首项为 1 的正项数列,且 (n ? 1)an ?1 ? nan ? an ?1an ? 0(n ? N ) ,则 an ?
? 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 an ?1 ? S n ? n ? 3 , n ? N , a1 ? 2 .则 a n ?


. .

3

4.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 a n . 3 3

5.已知数列{an}满足:a1=1,(n-1)an=n×2nan-1(n∈N,n≥2),则数列{an}的通项公式为________.

6.【成都七中高 2014 届高三 3 月高考模拟考试数学(理) 】(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?

2 1 1 ? ( x ? 0) ,数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ? f ( ), n ? N *且n ? 2. 3 x an?1

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对 n ? N ,设 Sn ?
*

1 1 ? ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4

?

3t 1 ,若 S n ? 恒成立,求实数 t 的取值范围. 4n an an ?1

7.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 3n ,数列 {bn } 满足: b1 ? ?1, (1)求数 列 {an } 的通项公式 an ; (2)求数列 {bn } 的通项公式 bn ; (3) bn?1 ? bn ? (2n ?1)(n ? N * ) 。 若 cn ?

an ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . n

8.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 3S n ? 4an ? 4 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? log 2 a1 ? log 2 a2 ? 立的实数 k 的取值范围.

? log 2 an , Tn ?

1 1 ? ? c1 c2

?

n 2n 1 ,求使 k ? (2n ? 9)Tn 恒成 n ?1 cn

9.设数列

的前 项和为
n?2

,已知



3S n ? a n ?1 ? ?? 2?

? 6, n ? N ?

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(Ⅰ) 求

的值; 的通项 公式. .

(Ⅱ)求数列

(Ⅲ)证明:对一切正整数 n,有

10.【江苏省南通第一中学 2014—2015 学年度第一学期期中考试,理 2 4】若数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,且 方程 x2 ? an x ? an ? 0 有一个根为 sn -1,n=1,2,3.. (2) 求 a1 , a2 ; (2)猜想数列 ?sn ? 的通项公式,并用数学归纳法证明



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