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2015年-高考试卷及答案解析-数学-文科-北京(精校版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(北京文)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.若集合 A ? x ?5 ? x ? 2 , B ? x ?3 ? x ? 3 ,则 A ? B ? ( A.

?

?

?

/>?

). D.

? x ?3 ? x ? 2?
? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

B.

? x ?5 ? x ? 2?
).
2

C.

? x ?3 ? x ? 3?

? x ?5 ? x ? 3?

2.圆心为 ?1,1? 且过原点的圆的方程是( A. C.
2

?1
?2

B. D. ).
2

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

?1
?2

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

? x ? 1? ? ? y ? 1?

2

3.下列函数中为偶函数的是( A. y ? x sin x
2

B. y ? x cos x

C. y ? ln x

D. y ? 2

?x

4.某校老年,中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体情况, 在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年人数为( A. 90 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 B. 100 C. 180 人数
开始

).

D. 300

900 1800
k=0,a=3,q= 1 2

1600 4300
a=aq

5.执行如果所示的程序框图,输出的 k 值为( A.3 B. 4 C. 5 D. 6

).

k=k+1 是 1 4

6.设 a , b 是非零向量,“ a? b = a b ”是“ a //b ”的( A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件

).



a<

输出k

结束

D. 既不充分也不必要条件

7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. 1 B.

).

2

C.

3

D. 2

1

1 正(主)视图

1 侧(左)视图

俯视图

8.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时的累计里 加油时间 2015 年 5 月 1 日 2015 年 5 月 15 日 加油量(升) 程(千米) 12 48 35000 35600

注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为( A. 6 升 B. 8 升 C. 10 升 D. 12 升 ).

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9.复数 i ?1 ? i ? 的实部为
1

. .

10. 2 ?3 , 3 2 , log2 5 三个数中最大数的是 11.在 △ ABC 中, a ? 3 , b ? 6 , ?A ?

2π , ?B ? 3

y
.

y2 2 12. 已知 ? 2,0 ? 是双曲线 x ? 2 ? 1? b ? 0 ? 的一个焦点, 则b ? b

C(0,2)
.

A(2,1) O B(1,0) x

13.如图, △ ABC 及其内部的点组成的集合记为 D , P ? x, y ? 为 D 中任 意一点,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 .

14.高三年级 267 位学生参加期末考试,某班 37 位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在 全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

267 语 文 成 绩 年 级 名 次

267 数 学 成 绩 年 级 名 次







总成绩年级名次
从这次考试成绩看,

267

总成绩年级名次

267

①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是 .



三、解答题(共 6 题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 15. (本小题 13 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? 2 3 sin (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 在区间 ?0,
2

x 2

? 2π ? 上的最小值. ? 3? ?

16. (本小题 13 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设等比数列 ?bn ? 满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ;问: b6 与数列 ?an ? 的第几项相等?

17. (本小题 13 分) 某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成下 统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 商品 甲 顾客人数 100 217 200 300 85 98 √ × √ √ √ × × √ √ × × √ √ × √ √ × × √ √ × × × × 乙 丙 丁

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率 (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率 (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?

18. (本小题 14 分) 如图所示,在三棱锥 V ? ABC 中,平面 VAB ? 平面 ABC ,三角形
V

VAB 为等边三角形, AC ? BC ,且 AC ? BC ? 2 , O , M 分
别为 AB , VA 的中点. (1) 求证: VB // 平面 MOC . (2) 求证:平面 MOC ? 平面 VAB . (3) 求三棱锥 V ? ABC 的体积.
C A M

O

B

19. (本小题 13 分) 设函数 f ? x ? ?

x2 ? k ln x, k ? 0 . 2

(1)求 f ? x ? 的单调区间和极值; (2)证明:若 f ? x ? 存在零点,则 f ? x ? 在区间 1, e 上仅有一个零点.

?

?

20.(本小题 14 分) 已知椭圆 C : x ? 3 y ? 3 , 过点 D ?1,0 ? 且不过点 E ? 2,1? 的直线与椭圆 C 交于 A ,B 两点,
2 2

直线 AE 与直线 x ? 3 交于两点 M . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由.

2015 年普通高等学校招生全国统一考试答案(北京文)
一、选择题 1.【答案】A 【解析】在数轴上将集合 A、B 表示出来,如图所示,

由交集的定义可得, A ? B 为图中阴影部分,即 x ?3 ? x ? 2 2.【答案】D 【解析】由题意可得圆的半径为 r ? 3.【答案】B

?

?
2 2

2 ,则圆的标准方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2

【解析】根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定 义域为 (0, ??) 不具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选 B. 4.【答案】C 【解析】 :由题意,总体中青年教师与老年教师比例为

1600 16 ? ;设样本中老年教师的人 900 9

数 为 x ,由分 层抽 样的性 质可 得总体 与样本 中青 年教 师与老 年教师 的比 例相 等,即

320 16 ? ,解得 x ? 180 . x 9
5.【答案】B 【解析】 初值为 a=3,k=0,进入循环体后, a ? 此时,a<

3 3 3 3 , k ? 1; a ? , k ? 2; a ? , k ? 3; a ? , k ? 4; 2 4 8 16

1 ,退出循环,故 k=4 4

6.【答案】A 【解析】 a? b ?| a |? | b | cos ? a, b ? ,由已知得 cos ? a, b ?? 1,即 ? a, b ?? 0 , a //b .而当

??

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? ? | a || b | ,故“ a ? b ? a b ”是“ a //b ”的充 a //b 时, ? a, b ? 还可能是 ? ,此时 a?
分而不必要条件.

7.【答案】C 【解析】四棱锥的直观图如图所示: 由三视图可知, SC ? 平面 ABCD,SA 是四棱锥最长的棱,

SA ? SC 2 ? AC 2 ? SC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 3 .
8.【答案】B 【解析】因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量

V ? 48 升. 而这段时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米. 所以这段时间内,
该车每 100 千米平均耗油量为

48 ? 100 ? 8 升,故选 B. 600

二、填空题 9.【答案】-1 【解析】复数 i(1 ? i) ? i ? 1 ? ?1 ? i ,其实部为-1. 10.【答案】log25 【解析】 2
?3

?

11.【答案】

?
4

1 1 ? 1 , 32 ? 3 ? 1 , log2 5 ? log2 4 ? 2 ? 3 ,所以 log2 5 最大. 8

3 6 a b ? ? 2 ? 【解析】 由正弦定理, 得 ,即 3 sin B , 所以 sin B ? ,所以 ?B ? . sin A sin B 4 2 2
12.【答案】 3 【解析】由题意知 c ? 2, a ? 1 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 3 ,所以 b ? 3 . 13.【答案】7 【解析】由题图可知,目标函数 b= b ? 3 ? ?

2 z x? , 3 3

因此当 x=2,y=1,即在点 A 出时 z 取得最大值为 7. 14.【答案】①乙 ②按照全年级排名答案为语文靠前,按照班级排名答案为数学靠前 【解析】 ①由图可知, 甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后; 而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,

故填乙. ②由图可知, 比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多; 而总成绩的排名中比丙排名靠后的人 数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学.

三、解答题 15.【解析】 (1)

1 ? cos x 2 ? sin x ? 3 cos x ? 3 f ( x) ? sin x ? 2 3 ? ? 2sin( x ? ) ? 3 3
故周期为 2π

?

2 ? ? ? ,所以 ? x ? ? ? 3 3 3 2? )?? 3 所以 f(x)的最小值为 f ( 3
(2)因为 0 ? x ?

16. 【解析】 根据 a1 ? a2 ? 10, a4 ? a3 ? 2 得到 2a1 ? d ? 10 且 d ? 2 于是 a1 ? 4, 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 2 (2) b2 ? a3 ? 8, b3 ? a7 ? 16 从而 q ? 2, b6 ? b2 .q ? 128
4

令 an ? 2n ? 2 ? 128 得到 n ? 63

17. 【解析】 (1)从表格可以得到同时购买乙和丙的人数为 200 人,由于总人数为 1000 人, 所以概率为 P ?

200 1 ? 1000 5

(2)顾客可能同时购买甲、乙、丙或者同时购买甲、乙、丁或者甲、丙、丁或者乙、丙、 丁,从而概率

P?

300 1 ? 1000 3

(3)同时购买乙的人数为 200 人,同时购买丙的人数为 600 人,同时购买丁的人数为 100 人,从而丙的可能性更大。

18. 【解析】 (1) 因为 M,O 分别为线段 AV 和 AB 的中点, 所以 MO 为△ABV 的中位线, 从而有 MO∥BV 由于 MO ? 平面 MOC ,MO ? 平面 MOC,MO∥BV 得到 VB∥平面 MOC 因为 AC=BC,D 为 AB 的中点,所以 CO⊥AB 因为 AB=平面 VAB ? 平面 ABC 所以 CO⊥平面 ABV 又因为 OC ? 平面 MOC,所以平面 MOC⊥平面 ABV (3) S△ABC ?

1 . 2. 2 ? 1 2

连结 VO,则 VO 垂直于 AB,AB=平面 VAB ? 平面 ABC 所以 VO⊥平面 ABC 因为 AB=2,所以 VO ? 3 所以 VV ? ABC ? .1. 3 ?

1 3

3 3

19. 【解析】

k ( 1 )f ' ( x) ? x ? ( x>0) x
令 f ' ( x) ? 0 得 x ? k , x ? ? k (舍) 可知:x 在 (0, k ) 上单调减 极小值为 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) 2

若 k=e,则 f ( e ) ? 0 且在 (0, e ) 单调递减,所以只有一个零点 若 k>e ,则 f ( e ) ?

e?k <0 2

且在 (0,e ) 单调递减,当 x ? 0时,f ( x)>0 所以只有一个零点

20. 【解析】 (1) e=

c 2 6 ? ? a 3 3

(2)因为 AB⊥x 轴,所以 AB:X=1 分为 A 在 B 上和 B 在 A 上两种情况讨论: 当 A 在 B 上时 A(1,

6 6 ), B(1, ? ) 3 3

6 6 ?1 所以 3 3 AE : ? x ?1 1? 2 y?
解得 y ? 2 ?

6 3
2? 6 6 ? 3 3 ?1 3 ?1

此时

K BM ?

同理,当 A 在 B 上时, K BM ? 1 通过画图可以初步判断 BM 与 DE 平行 理由如下:由题意

y AD AZ 2 ? x1 ? 1 , ? DB ? y2 AM 1

AD.AM ? AE.BD ? y1 ? y2 (2 ? x) (1)
设 AB 的方程为 ty=x-1 与椭圆方程 由韦达定理得 y1 ? y2 ?

x2 ? y 2 ? 1联立得到 (t 2 ? 3) y 2 ? 2ty ? 2 ? 0 3

?2t ?2 , y1 y2 ? 2 t ?3 t ?3 AD AE ? 由(1)得 y1 ? y2 (2 ? ty1 ? y1 ) ? 0 所以 BD AM
2

于是 BM∥DE


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