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银川二中2014-2015学年第一学期高三统练四数学(理科)答案


银川二中高三年级统练(四)数学(理科)试题
2014.11.25 一.选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每个小题所给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置)
1. 已知集合 A ? {x | x
2

7. 在等比数列

{an } 中,对

任意的 n ? N ? , a1 ? a2 ?
1 n ? 2 ? 1? B. 3

2 ? an ? 2n ?1 ,则 a12 ? a2 ?

2 ? an 为A

1 n ? 4 ? 1? A. 3

C.

?2

n

? 1?

2

D. 4 ? 1
n

8.已知平面α ,β 和直线 m,给出条件:①m∥α ;②m⊥α ;③m?α ;④α ⊥β ;⑤α ∥β 能 推导出 m∥β 的是( )D A. ①④ B.①⑤ C.②⑤ D.③⑤

? x ? 2 ? 0} , B ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,则 A B ? (
C. [?1,1) D. (?1,1) (

)C

A. (1, 2)

B. (1, 2]

2.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 y ? (a ? 2) x ? 1 互相垂直,则 a 等于 A. -1 B.0 C.1 D.2

)A

9.已知 H 是球 O 的直径 AB 上的一点,AH:HB=1:2,AH⊥平面α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面 积为π ,则球 O 的表面积为( )B A.

1 3.若 f(x)= - x2+bln (x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2 A .[-1, +∞) B .(- l,+∞ ) C .(-∞ , - 1)

)D D .(-∞ , - 1]

9? 4

B.

9? 2

C.

9? 8

D.

16 ? 3

10.已知函数

的图象与直线 y=m 有三个交点的横坐标分 )C D.

别为 x1,x2,x3(x1<x2<x3) ,那么 x1+2x2+x3 的值是( A B. C.

4.命题 p:若 ? >0,则 与 的夹角为锐角;命题 q:若函数 f(x)在(﹣∞,0]和(0,+∞) 上都是减函数,则 f(x)在(﹣∞,+∞)上是减函数,下列说法中正确的是( )C A. “p 且 q”是真命题 B.¬p 为假命题 C.“p 或 q”是假命题 D.¬q 为假命题

11. 若 | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则向量 a ? b 与 b 的夹角为( A.

?

?

?

?

?

)D

?
6

B.

?
3

C.

5.设变量 x,y 满足约束条件:

的最大值为(

)B

2? 3

D.

5? 6

A. 10 B.8 C.6 6.一个几何体的三视图如图,则这个几何体的侧面积为( 1 A. (5 ? 5 )cm2 B. (8 ? 5 )cm2 C. (9 ? 5 )cm2 D. (11? 5 )cm2 2

D.4 )A

12.已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值 范围是( )B 1? A. ? ?0,2? 1 ? B. ? ?2,1? C. (1,2) D. (2,+∞)

1

1

二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,请将答案填在答题卡上)

1

13.右图给出了一个“直角三角形数阵”:满足每一列成等差数列, 从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,
* 记第 i 行第 j 列的数为 aij i ? j , i, j ? N ,

?

?

1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16

解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2)2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1)2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
(Ⅱ)

则 a88 =

. 1/64

100 101

5 14.一辆汽车在行驶中由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t ) ? 7 ? 2t ? ( t 的单位: s ,? 的 1? t
单位:m/s)行驶至停止,在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是 15.一个几何体的三 视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球 面上,则球的表面积是_____. 3? .12+5ln5

18.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? a ? b ?

r r

r r 1 ,其中 a ? ( 3 sin x ? cos x, ?1) , b ? (cos x,1) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且 c ? 3 , f (C ) ? 0 , 若 sin( A ? C ) ? 2 sin A ,求 a、b 的值. 解: (I) =

16.给出下列四个命题: ① ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 成立的充要条件; ②当 x ? 0且x ? 1 时,有 ln x ?

f ( x) 的最大值为 0;最小正周期为 ? .
1 ?2; ln x
(Ⅱ) f (C ) ? sin( 2C ?

?
6

) ? 1 ? 0 ,又

,解得 C ?

?
3

③已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? S5 ,则 S9 ? S3 ; ④若函数 y ? f ( x ?

又? sin( A ? C ) ? sin B ? 2 sin A ,由正弦定理 由余弦定理 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos 由① ② 解得: a ? 3 , b ? 2 3 . 19.(本小题满分 12 分)

3 3 ) 为 R 上的奇函数,则函数 y ? f ( x ) 的图象一定关于点 F ( ,0 ) 成中 2 2

?
3

a 1 , ? ---------------① b 2

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 9 -------------②

心对称. 其中所有正确命题的序号为 .①③ 三.解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、推演步骤) 17.(本小题满分 10 分) (1). 在 公 差 为 d 的 等 差 数 列 {an } 中 , 已 知 a1 ? 10 , 且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成 等 比 数 列 . 求 d , an ;

(1). 已知点 A(1,2) ,直线 l : x ? 2 y ? 3 ? 0 ,求经过点 A 且平行于直线 l 的直线方程。 (2).在 ?ABC 中,BC 边上的高所在的直线的方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,? A 的平分线所在直线的方 程为 y ? 0 ,若点 B 的坐标为 (1, 2) ,求点 A 和点 C 的坐标。

1 (2). 已知等差数列{bn}的前 n 项和为 Sn,b5=5,S5=15,则数列{ }100 项和为 bn bn ?1

2

解:(1)

设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 θ, 的坐标为 (?1, 0) , 由 sinθ=|cos< PB , AE >|= | PB ? AE | = | PB | ? | AE | 所以 AE =( 3 ,0,0), AF =(

3 4?a
2

(2)解直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 和直线 y ? 0 的交点得 (?1, 0) ,即


3

=

6 4

解得 a=2.

k AB ?

2?0 ? 1 ,又∵ x 轴为 ?BAC 的平分线, 1?1

3 1 , ,1) 2 2

∴ k AC ? ?k AB ? ?1 ,又∵直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 为 BC 边上的高,由垂直得,

? 3 x1 ? 0, ?m ? AE ? 0 设平面 AEF 的一法向量为 m=(x1,y1,z1),则 ? ,因此 ? ? ? 3 1 ? x1 ? y1 ? Z1 ? 0 ? ?m ? AF ? 0 ? 2 2

kBC ? ?2 ,设 C 的坐标为 (a, b) ,则
解得 a ? 5, b ? ?6 20.(本小题满分 12 分)

b b?2 ? ?1, ? ?2 , a ?1 a ?1

取 z1=-1,则 m=(0,2,-1), 因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 AFC,故 BD 为平面 AFC 的一法向量,又 BD =(- 3 ,3,0) , 所以 cos<m, BD >= m ? BD ? | m | ?BD
2?3 15 . ? 5 5 ? 12

,即 C 的坐标为 (5, ?6) .

因为二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 21.(本小题满分 12 分) (1).已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ?

如图, 已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形, PA⊥平面 ABCD,∠ABC=60° , E、 F 分别是 BC、PC 的中点。 (Ⅰ)求证:AE⊥平面 PAD;
(Ⅱ)若直线 PB 与平面 PAD 所成角的正弦值为

15 . 5

6 ,求二面角 E-AF-C 的余弦值。 4

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点 2

的坐标。
(2).曲线 y ? 2 x ? x3 在横坐标为 ? l 的点处的切线为 l ,求点 P(3,2)到直线 l 的距离。

解:(1)设 P(2t , t ) ,
2 2 2 2 2 则 PA ? PB ? (2t ? 1) ? (t ? 1) ? (2t ? 2) ? (t ? 2) ? 10t ? 14t ? 10 , 2 2

当t ?

7 9 9 2 2 时, PA ? PB 取得最小值,即. P ( , ) 5 10 10
3

(2) 由 y ? 2 x ? x ,∴y'=2﹣3x ,又切点的横坐标为﹣1,故切点的纵坐标是﹣1,y'=﹣1,故切线 (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60° ,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC.又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE. 而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐 标系 A-x yz,设 AB=2,AP=a,则 A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C( 3 ,1,0) ,D(0,2,0) , P(0,0,a) ,E( 3 ,0,0) ,F( 的方程是 y+1=﹣(x+1) ,即切线的方程是 x+y+2=0 所以点 P(3,2)到直线 l 的距离 d= 22.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ?

2

| 3 +2 +2 | 7 2 = 2 2

3 1 a ,, ) , 2 2 2

ax ? a ? a ? R, a ? 0 ? ex

所以 PB =( 3 ,-1,-a) ,且 AE =( 3 ,0,0)为平面 PAD 的法向量,
3

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ? x ? 的极值;

(Ⅱ)若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? 1 没有零点,求实数 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) , 当 a ? ?1 时, f ? x ? ?

(或:当 x ? 2 时, F ( x) ? 当 x ? 2 时,令 F ( x) ?

a ? x ? 1? ex
x

? 1 ? 1,

?x ?1 x?2 , f ? ? x ? ? x . -----2 分 x e e
2 0 极小值
(2, ??)

a ? x ? 1? e

x ? 1 ? 0, 即 a ? x ? 1? ? e ? 0,

x
f '( x)

(??, 2)

由于 a ? x ? 1? ? e x ? a ? x ? 1? ? e 2 , 令 a ? x ? 1? ? e 2 ? 0, 得 x ? 1 ?
e2 e2 ,即 x ? 1 ? 时, F ( x) ? 0 , a a

?


?


f ( x)

所以,函数 f ( x) 的极小值为 f ? 2 ? ? ? 无极大值. -----5 分 (Ⅱ)

1 ,-----4 分 e2

即 x ? 2 时, F ( x) 存在零点.)------------- ------------12 分 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ?e 2 , 0

?

?

F?? x? ? f ?? x? ?

ae x ? ? ax ? a ? e x ?a ? x ? 2 ? . -----6 分 ? e2 x ex

(1)当 a ? 0 时, F ( x), F '( x) 的情况如下表:

x

(??, 2)

2 0 极小值
a ?1 ? 0 , e2

(2, ??)

F?? x? F ? x?

?


?


若使函数 F(x)没有零点,当且仅当 F (2) ?

2 解得 a ? ?e 2 , 所以此时 ?e ? a ? 0 ;------------- ------------9 分

(2)当 a〉0 时, F ( x), F '( x) 的情况如下表: x (??, 2) 2

(2, ??)

F?? x? F ? x?

?

1?

0 极大值
10 a 1?

?

e ? 10 e
1? 10 a

10 e 因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,且 F (1 ? ) ? a

? 10
10 a

?

? 0,

e

所以此时函数 F ( x) 总存在零点. ------------- ------------12 分 (或:因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,又当 x ? ?? 时, F ? x ? ? ?? ; 故此时函数 F ( x) 总存在零点.)------------- ------------12 分
4


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