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2013年江苏省高中数学优秀课评比教案——对数


3.2.1 对数
江苏省盐城中学 徐明悦 一、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;理解对数的 性质,掌握以上知识并形成技能。 2、通过事例使学生认识对数的模型,体会引入对数的必要性;通过师生观察分析得出 对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动,掌握对数的重要性质。通过做练习,使学生感受到理 论与实践的统

一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力,严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究 的意识。 二、教学重点与难点 教学重点 : (1)对数的概念; (2)对数式与指数式的相互转化。 教学难点 : (1)对数概念的理解; (2)对数性质的理解。 三、教学方法与教学手段 问题教学法,启发式教学,探究式学习,多媒体辅助教学 四、教学过程 师:前面同学们学习了指数函数的定义及其图象和性质。 请同学们回忆一下我们是如何定义指数函数的。 师:根据函数的定义,对于定义域中的每一个 x,都有唯一的 y 和它对应。所以当 x ?
1

1 时, 2

则 y ? 22 ?

2
x

反过来,如果给定 y 能否求出满足条件的实数 x 呢?还是以 y ? 2 为例。 当y?

2 时,即 2 x ? 2 ,则 x ?
x

1 2

当 y ? 8 时,即 2 ? 8 ,则 x ? 3 当 y ? 3 时,即 2 ? 3 ,满足这个等式的 x 是多少?(停顿)
x

师:在我们的课本第 72 页上也有类似的问题: (看课件,由学生回答) 你能列出满足条件的方程吗? 师:上述问题也就是求满足 0.84 ? 0.5 中的 x ,这里的 x 又是多少呢?(停顿)
x

师:请同学们借助我们之前学习的知识,利用手中的实验设备, 思考、探求满足 2 ? 3 , 0.84 ? 0.5 的实数 x 是否存在?就以 2 ? 3 为例。
x x x

(小组活动 1) 目的:让学生了解存在、确定、唯一 师:你们是如何设计实验方案的?

通过你们设想的方案,满足 2 ? 3 的 x 是否存在?在哪里?有几个?
x

其他小组是否同意?有没有同学要补充的? 师:通过刚才的数学实验可以看出,满足类似 2 ? 3 ,0.84 ? 0.5 的这些 x 的值是存在的、
x x

确定的、 唯一的。 究其原因是因为指数函数的单调性决定了满足条件的 x 是存在的、 确定的、 唯一的

师:结合刚才的实验,能否进一步探求出满足 2 ? 3 的 x 的准确值?
x

(小组活动 2) 目的:让学生感觉到这个数虽然存在,但是无法用已经学习的各种数的形式表示

x ? 1.585
师:是 x ? 1.585 ?我们可以通过计算器计算一下!

21.585 ? 3.00007798
x ? 1.58496 ?
都不是但很接近了! 方法很好,但是还是解决不了问题。 师:通过刚才的实验,你们有什么发现? 生: (无限不循环小数) (无法得出它的准确值) 师:其实说白了就是我们现在无法用已掌握的各种数的形式准确的表示它。 但通过一开始的实验,我们却发现这样的 x 确实是存在的、确定的、唯一的啊。 那怎么办呢?(停顿) 就用 x ? 1.58496 来表示? 生: (不能) 师:为什么?( x ? 1.58496 只是它的近似值) 从这个等式来看 x 肯定与 2 和 3 有关, 那就用一个含有 2 或 3 的因式, 比如用 2 表示? 用 3 表示,又或者用 3 2 生: (不能) 师:噢!也不行。刚才提到 2 ,我突然想到一个问题!在初中学习哪一章节时我们接触到 了 2 这个数? 生: (无理数) (根式) 师: 2 怎么来的? 生:求边长为 1 的正方形的对角线长时,根据勾股定理计算发现斜边 a ? 1 ? 1 ? 2 ,满
2 2 2 2 足 a ? 2 的正数 a 就等于 2 。

师:现在我们知道用 2 来表示平方等于 2 的正数,但在当时我们无法用整数、有限位的小 数、分数去表示它,所以就创造了 2 这个数学符号来表示平方等于 2 的正数。它的出现不 仅解决了刚才的问题而且为以后对无理数的运算和研究带来方便。 现在 2 ? 3 的实数 x 也出现了同样的问题,我们应该怎么办?
x

生: (也用一个符号表示它) 师:如何来表示呢?(可以让学生说一两个) 师:瑞士数学家欧拉也研究过这个问题,他这样来表示了满足 2 ? 3 的实数 x
x

这个数一定与 2,3 有关,所以我们把写成 x ? log 2 3 ,读作以 2 为底 3 的对数(log2 底 3) 满足 0.84 ? 0.5 的 x 就,称为以 0.84 为底 0.5 的对数,记做 x ? log 0.84 0.5
x

满足 2 ? 8 的 3 就称为以 2 为底 8 的对数,记做 3 ? log 2 8
3

一般地,如果 a ? N ,那么就称 b 是以 a 为底 N 的对数。 . ..
b

师:这就是今天我们这节课所要学习的——对数 (板书)一般地,如果 a(a ? 0, a ? 1) 的 b 次幂等于 N ,即

ab ? N ,
那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数(logarithm) 。 . .. 记作:

b ? log a N
其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, b ? log a N 称为对数式 其实在对数发明的一个世纪里,对数的表示并不统一。直到 18 世纪欧拉进一步研究了 对数,发现对数与指数的关系,揭示出对数源于指数。就和今天我们探求的过程一样。并首 次用 b ? log a N 这一形式表示对数,它不仅揭示了 a, b, N 三个量的关系,而且为以后对数 的应用带来方便,因而逐渐得到人们的认可,所以一直沿用到今天。 1 (说明)○注意对数的书写格式. (借用英文书写时的四三格)

b ? log a N
字母正常书写,底数 a 在右下角占一格,真数 N 与字母平齐占两格。 ②注意底数 a 的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ;

(因为分数指数幂的推广,为了使 a ? N 对任意指数都有意义,我们规定 a ? 0 , a ? 1 ,
b

所以在对数的定义中我们也规定 a ? 0 , a ? 1 ) 师:知道对数了,请同学们自己写几个对数 (寻找一下四种情况,把学生写的投影到屏幕上,纠正书写不规范) 1、可以运算出结果的, log 2 8 ? 3 2、不能运算结果,但我们可以去估算一下它的值得大致范围,同时让学生了解当无法直接 求出对数值时我们可以将其转化为指数去解决,同时可以在例举 log 9 27 ?

3 (可以板书), 2

log 7
log 8

1 ? ?2 , 49

2 1 ?? 2 6

师:通过刚才我们对几个对数值的计算,我们同学有什么发现? 目标一: 可以发现指数式 ab=N 可以写成 logaN=b,同时 logaN=b 可以写成 ab=N.上述两式 是 a、b、N 之间的同一关系的两种等价的不同表示形式, ③由对数的定义可知,

a b ? N ? b ? log a N
目标二: 师:因此我们能否具体分析一下 a、b、N 三个量在互化过程中的对应关系。 生:对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← b → 指数 真数 ← N → 幂 目标三: 现在对数问题的解决可以转化为指数,将未知转化为已知,将复杂转化为简单 3、以 10 为底的对数, 师: 回到刚才我们同学写到对数式。 这里是以 10 为底的, 我们在实数运算中是 10 进制, 在以后的学习中也常用到以 10 为底的对数, 而且人们还编撰出了 10 为底常用对数表, 因此 我们通常将以 10 为底的对数称为常用对数,如 log102,log1012 等. 因为经常用到,为了方便起见,对数 log10N 简记为 lgN,如 lg2,lg12 等. 所以刚才我们同学写的对数式就要写成 lg12 我们再介绍一种对数, 在科学技术中, 常常使用以自然常数 e 为底的对数, e=2.71828·是 · · 一个无理数.这种对数称为自然对数。 通常将以 e 为底的对数称为自然对数.其中正数 N 的自然对数 logeN 一般简记为 lnN, 如 loge2,loge15 分别记为 ln2,ln15 等. 4、底的对数、1 的对数、0 和负数没有对数) 师:再来看这位同学写的 生: (1)底数的对数是 1: log a a ? 1 ;

(2)1 的对数是零: log a 1 ? 0 ; (3)0 和负数没有对数,即真数 N>0 师:这就是对数的性质。 师:恩格斯在他的著作《自然辨证法》中,曾经把对数、坐标系、微积分共同称为 17 世纪的三大数学发明. 我想问 who?谁发明了对数 When?在什么时候发明了对数 Why?为什么要发明对数 请同学们 www 一下吧! 目标:让学生上网寻找对数的相关历史 科学技术的发展对数学不断提出新的要求, 而数学的发展有进一步推动了科学技术的发 展。数学来源于生活,又服务于生活。因此希望我们同学立足当下,学好数学,放眼明天, 服务未来。 作业。


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