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【走向高考】2015届高中数学二轮复习 专题4 立体几何(第2讲)课时作业 新人教A版


【走向高考】2015 届高中数学二轮复习 专题 4 立体几何(第 2 讲) 课时作业 新人教 A 版

一、选择题 1.(2013· 德阳市二诊)设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,若已知 m⊥n,m ⊥α,则“n⊥β”是“α⊥β”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A m⊥α

? ? ??n∥α或n?α ? m⊥n? ?α⊥β. n⊥β

[解析]

? ? ?

α⊥β ? ?
? m⊥α?

??m∥β或m?β

m⊥n

? ??/ n⊥β. ?
)

2.(2014· 重庆理,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A.54 B.60 C.66 D.72 [答案] B [解析] 如图所示

该几何体是将一个直三棱柱截去一个三棱锥得到的,直三棱柱底面是直角三角形,两直角边 长为 3 和 4,柱高为 5,∵EF∥AC,AC⊥平面 ABDF,∴EF⊥平面 ABDF,∴EF⊥DF,在直角梯 形 ABDF 中, 易得 DF=5, 故其表面积为 S=SRt△ABC+S 矩形 ACEF+S 梯形 ABDF+S 梯形 BCED ? 5 +2? ×4 ? 2 +5? ×5 3×5 3×4 +SRt△DEF= 2 +3×5+ + + 2 =60. 2 2 3.(文)设 α、β、γ 是三个互不重合的平面,m、n 为两条不同的直线.给出下列命题: ①若 n∥m,m?α,则 n∥α;
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②若 α∥β,n?β,n∥α,则 n∥β; ③若 β⊥α,γ⊥α,则 β∥γ; ④若 n∥m,n⊥α,m⊥β,则 α∥β. 其中真命题是( ) A.①和② B.①和③ C.②和④ D.③和④ [答案] C [解析] 若 n∥m,m?α,则 n∥α 或 n?α,即命题①不正确,排除 A、B;若 α∥β,n?β,n ∥α,则 n∥β,则命题②正确,排除 D,故应选 C. (理)已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是两条不重合的直线,下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n B.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α C.若 m⊥α,n⊥β,α⊥β,则 m⊥n D.若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β [答案] C [解析] 对于选项 A,m,n 有可能平行也有可能异面;对于选项 B,n 有可能在平面 α 内,所 以 n 与平面 α 不一定平行;对于选项 D,m 与 β 的位置关系可能是 m?β,m∥β,也可能 m 与 β 相交.由 n⊥β,α⊥β 得,n∥α 或 n?α,又 m⊥α,∴m⊥n,故 C 正确. 4.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边 AB,BC 的中点,△AED、△EBF、△ FCD 分别沿 DE、EF、FD 折起,使 A,B,C 三点重合于点 A′,若四面体 A′EFD 的四个顶点在同 一个球面上,则该球的半径为( )

A. 2 11 C. 2

6 B. 2 5 D. 2

[答案] B [解析] 由条件知 A′E、A′F、A′D 两两互相垂直,以 A′为一个顶点,A′E、A′F、A′D 为三条棱构 造长方体,则长方体的对角线为四面体外接球的直径,∵A′E=A′F=1,A′D=2,∴(2R)2=12 6 +12+22=6,∴R= 2 . 5.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2.将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻 折过程中( ) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC ”均不垂直 [答案] B
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[解析] ①过 A、C 作 BD 的垂线 AE、CF,∵AB 与 BC 不相等,∴E 与 F 不重合,在空间图(2) 中,若 AC⊥BD,∵AC∩AE=A,∴BD⊥平面 ACE,∴BD⊥CE,这样在平面 BCD 内,过点 C 有 两条直线 CE、CF 都与 BD 垂直矛盾,∴A 错;②若 AB⊥CD,∵AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD,∴ AB⊥AC,∵AB<BC,∴存在这样的三角形 ABC,AB⊥AC,AB=AC,∴B 选项正确,∴选项 D 错;③若 AD⊥BC,又 CD⊥BC,∴BC⊥平面 ACD,∴BC⊥AC,∵BC>AB,这样的△ABC 不存在, ∴C 错误.

6.(文)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与 平面 BED 的距离为( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1 [答案] D [解析] 本题考查了正四棱柱的性质,点到直线距离的求解.连接 AC、BD,AC∩BD=O,连接 EO, 则 EO∥AC1.则点 C 到平面 BDE 的距离等于 AC1 到平面 BDE 的距离, 过 C 作 CH⊥OE 于 H, CH 为所求.在△EOC 中,EC= 2,CO= 2,所以 CH=1.本题解答体现了转化与化归的思想, 注意等积法的使用. (理)已知四棱锥 P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,点 E 是侧棱 PB 的中点,则异面直线 AE 与 PD 所成角的余弦值为( ) 1 2 A.3 B. 3 3 C. 3 2 D.3

[答案] C [解析] 设 AC 与 BD 的交点为 O,∵棱锥的各棱长都相等, 2 ∴O 为 BD 中点, ∴EO∥PD, ∴∠AEO 为异面直线 AE 与 PD 所成的角, 设棱长为 1, 则 AO= 2 , 1 3 OE 3 EO=2,AE= 2 ,∵AO2+EO2=AE2,∴cos∠AEO=AE = 3 .

二、填空题 7.a、b 表示直线,α、β、γ 表示平面. ①若 α∩β=a,b?α,a⊥b,则 α⊥β; ②若 a?α,a 垂直于 β 内任意一条直线,则 α⊥β; ③若 α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a⊥b; ④若 a 不垂直于平面 α,则 a 不可能垂直于平面 α 内无数条直线;
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⑤若 l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则 α∥β. 其中为真命题的是__________. [答案] ②⑤ [解析] 对①可举反例如图, 需 b⊥β 才能推出 α⊥β.对③可举反例说 当 γ 不与 α,β 的交线垂直时,即可得到 a,b 不垂直;④对 a 只需 直于 α 内一条直线便可以垂直 α 内无数条与之平行的直线.所以只 ②⑤是正确的. 8.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 底面是边长为 6的正三角形,侧棱垂 于底面,且该三棱柱的外接球表面积为 12π,则该三棱柱的体积为________.

明, 垂 有 直

[答案] 3 3 [解析] 4πR2=12π,∴R= 3,△ABC 外接圆半径 r= 2,∴柱高 h=2 R2-r2=2,∴体积 3 V= 4 ×( 6)2×2=3 3. 9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 是线段 A1C1 上的动点,则四棱锥 P-ABCD 的外接球半径 R 的取值范围是______________. 3? ?3 [答案] ? , ? ?4 2 ? R+h=1 ? ? [解析] 当 P 为 A1C1 的中点时, 设球半径为 R, 球心到底面 ABCD 距离为 h, 则? 1 , R2-h2=2 ? ? 3 3 3 3 ∴R=4,当 P 与 A1(或 C1)重合时,外接球就是正方体的外接球,R= 2 ,∴R∈[4, 2 ]. 三、解答题 10.(文)(2014· 江苏,16)如图,在三棱锥 P-ABC 中,D、E、F 分别为棱 PC、AC、AB 的中点.已 知 PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.

求证:(1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC. [解析] (1)由于 D、E 分别是棱 PC、AC 的中点,则有 PA∥DE, 又 PA?平面 DEF,DE?平面 DEF, 所以 PA∥平面 DEF. (2)由(1)PA∥DE,又 PA⊥AC,所以 DE⊥AC, 1 1 又 F 是 AB 中点,所以 DE=2PA=3,EF=2BC=4, 又 DF=5,所以 DE2+EF2=DF2,所以 DE⊥EF,
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EF、AC 是平面 ABC 内两条相交直线,所以 DE⊥平面 ABC, 又 DE?平面 BDE,所以平面 BDE⊥平面 ABC. (理)(2013· 内江模拟)已知 ABCD 是矩形,AD=4,AB=2,E、F 分别是 AB、BC 的中点,PA⊥平 面 ABCD.

(1)求证:PF⊥DF; (2)若 PD 与平面 ABCD 所成角为 30°,在 PA 上找一点 G,使 EG∥平面 PFD,并求出 AG 的长. [解析] (1)证明:连接 AF,∵PA⊥平面 ABCD,且 DF?平面 ABCD,∴DF⊥PA, 又 F 为 BC 中点,BC=4,AB=2, ∴BF=BA,∴∠AFB=45°, 同理∠DFC=45°, ∴∠AFD=90°,即 DF⊥AF,∴DF⊥平面 PAF. 又 PF?平面 PAF,∴PF⊥DF.

(2)∵PA⊥平面 ABCD,∴∠PDA 就是 PD 与平面 ABC 所成角. 4 ∴∠PDA=30°,∴PA=3 3. 延长 DF 交 AB 延长线于 H,连接 PH,则平面 PDF 就是平面 PHD,在平面 PAH 内,过 E 作 EG ∥PH 交 PA 于 G. ∵EG∥PH,PH?平面 PHD,∴EG∥平面 PHD, 即 EG∥平面 PDF,故点 G 为所求. AG AE 1 3 ∴ AP =AH=4,∴AG= 3 .

一、选择题 11.(文)(2013· 吉大附中模拟)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则下列
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命题中正确的是( ) A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β [答案] A [解析] 由线面垂直的性质定理知 A 正确;如图 1 知,当 m1?β,m1∩n=A 时满足 B 的条件, 但 m 与 n 不平行;当 m⊥α,m⊥n 时,可能有 n?α;如图 2 知,m∥n∥l,α∩β=l 时满足 D 的条件,由此知 D 错误.

(理)设 m、n 是不同的直线,α、β、γ 是不同的平面,有以下四个命题: ① α∥β? ?
??β∥γ ? α∥γ ?



α ⊥β? ? ??m⊥β ? m∥α ?



? m⊥α?

??α⊥β m∥β? ?



? m∥n? ??m∥α n?α ? ?

其中,真命题是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ [答案] C [解析] ①正确,平行于同一个平面的两个平面平行;②错误,由线面平行、垂直定理知:m 不一定垂直于 β;③正确,由线面平行,垂直关系判断正确;④错误,m 也可能在 α 内.综上 所述,正确的命题是①③,故选 C. 12.(文)(2013· 西城区模拟)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1=A1E,则点 P 运动形成的图形是( )

A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 [答案] B [解析] |AP|= A1P2-AA2 1= A1E2-A1B2 1=|B1E|(定值),故点 P 在底面 ABCD 内运动形成
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的图形是圆弧. (理)(2013· 保定市模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 CC1 的中点,P 在底面 ABCD 内运动, 且满足∠DPD1=∠CPM,则点 P 的轨迹为( )

A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 [答案] A MC DD1 2MC [解析] 由∠DPD1=∠CPM 得 PC = DP = DP , PD ∴ PC =2,在平面 ABCD 内,以 D 为原点,DA、DC 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设 DC=1,P(x,y), 4 4 ∵PD=2PC,∴ x2+y2=2 x2+? - y 1? 2 ,整理得 x2+(y-3)2=9,所以,轨迹为圆的一部 分,故选 A. 13.(2013· 苍南求知中学月考)已知 A、B 是两个不同的点,m、n 是两条不重合的直线,α、β 是两个不重合的平面,给出下列 4 个命题:①若 m∩n=A,A∈α,B∈m,则 B∈α;②若 m? α,A∈m,则 A∈α;③若 m?α,m⊥β,则 α⊥β;④若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β,其中 真命题为( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ [答案] C [解析] ②∵m?α,∴m 上的点都在平面 α 内,又 A∈m,∴A∈α,∴②对;由二面垂直的判 定定理知,③正确. 二、解答题 14.(文)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形,M、 N、G 分别是棱 CC1、AB、BC 的中点.且 CC1= 2AC. (1)求证:CN∥平面 AMB1; (2)求证:B1M⊥平面 AMG. [证明] (1)如图取线段 AB1 的中点 P,连接 NP、MP, 1 ∵CM 綊2BB1, 1 NP 綊2BB1, ∴CM 綊 NP, ∴四边形 CNPM 是平行四边形. ∴CN∥MP. ∵CN?平面 AMB1,MP?平面 AMB1, ∴CN∥平面 AMB1.
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(2)∵CC1⊥平面 ABC, ∴平面 CC1B1B⊥平面 ABC, ∵AG⊥BC,∴AG⊥平面 CC1B1B, ∴B1M⊥AG. ∵CC1⊥平面 ABC, 平面 A1B1C1∥平面 ABC, ∴CC1⊥AC,CC1⊥B1C1, 设 AC=2a,则 CC1=2 2a, 在 Rt△MCA 中,AM= CM2+AC2= 6a. 在 Rt△B1C1M 中,B1M= B1C2 1+C1M2= 6a. ∵BB1∥CC1,∴BB1⊥平面 ABC,∴BB1⊥AB, ∴AB1= B1B2+AB2= C1C2+AB2=2 3a. ∵AM2+B1M2=AB2 1,∴B1M⊥AM. 又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面 AMG. (理)如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC,且 AB=BC=2,点 N 为 B1C1 的中点,点 P 在棱 A1C1 上运动.

(1)试问点 P 在何处时,AB∥平面 PNC,并证明你的结论; 10 (2)在(1)的条件下,若 AA1<AB,直线 B1C 与平面 BCP 所成角的正弦值为 10 ,求二面角 A-BP -C 的大小. [解析] (1)当点 P 为 A1C1 的中点时,AB∥平面 PNC. ∵P 为 A1C1 的中点,N 为 B1C1 的中点,∴PN∥A1B1∥AB ∵AB?平面 PNC,PN?平面 PNC,∴AB∥平面 PNC. (2)设 AA1=m,则 m<2,∵AB、BC、BB,两两垂直, ∴以 B 为原点,BA、BC,BB1 为 x 轴、y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0), B1(0,0,m),A1(2,0,m),C1(0,2,m), ∴P(1,1,m),设平面 BCP 的法向量 n=(x,y,z), → → 则由 n· BP=0,n· BC=0,解得 y=0,x=-mz, → 令 z=0,则 n=(-m,0,-1),又B1C=(0,2,-m), 10 直线 B1C 与平面 BCP 所成角正弦值为 10 , 10 |n· B1C| ∴ 10 =|n|· |B1C|,解之得 m=1 ∴n=(-1,0,1) 易求得平面 ABP 的法向量 n1=(0,-1,1)
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n· n1 1 1 cosα=|n|· |n1|=2,设二面角的平面角为 θ,则 cosθ=-2,∴θ=120°. 15.如图 1,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直(图 1),图 2 为该四 棱锥的正(主)视图和侧(左)视图,它们是腰长为 6cm 的全等的等腰直角三角. (1)根据图 2 所给的正(主)视图、侧(左)视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; BE CF (2)图 3 中,E 为棱 PB 上的点,F 为底面对角线 AC 上的点,且EP=FA,求证:EF∥平面 PDA.

[解析] (1)该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为 6cm 的正方形(如图).

其面积为 6×6=36cm2. (2)连接 BF,延长 BF 与 AD 交于 G,连接 PG. 如图,在正方形 ABCD 中, BF CF FG=FA, BE CF BF BE 又因为EP=FA,所以FG=EP, 故在△BGP 中,EF∥PG, 又 EF?平面 PDA,PG?平面 PDA, 所以 EF∥平面 PDA. 16.(文)(2013· 辽宁文,18)如图,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的 点.

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(1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC. [解析] (1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC, 由 PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA?平面 PAC,AC?平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. (2)连 OG 并延长交 AC 于 M,连接 QM、QO,

由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点. 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC, 又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM?平面 QMO, MO?平面 QMO,BC∩PC=C, BC?平面 PBC,PC?平面 PBC, 所以平面 QMO∥平面 PBC, 因为 QG?平面 QMO. 所以 QG∥平面 PBC. (理)(2013· 天津六校联考)如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, ∠ADC 1 =90°,平面 PAD⊥底面 ABCD,E 为 AD 的中点,M 是棱 PC 的中点,PA=PD=2,BC=2AD=1, CD= 3.

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(1)求证:PE⊥平面 ABCD; (2)求直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值; (3)求直线 BM 与 CD 所成角的余弦值. [解析] (1)∵PA=PD,E 为 AD 的中点,∴PE⊥AD, 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD,∴PE⊥平面 ABCD. (2)连接 EC,取 EC 中点 H,连接 MH,HB, ∵M 是 PC 的中点,H 是 EC 的中点,∴MH∥PE, 由(1)知 PE⊥平面 ABCD,∴MH⊥平面 ABCD, ∴HB 是 BM 在平面 ABCD 内的射影, ∴∠MBH 即为 BM 与平面 ABCD 所成的角.

1 ∵AD∥BC,BC=2AD,E 为 AD 的中点,∠ADC=90°, 1 ∴四边形 BCDE 为矩形,又 CD= 3,∴EC=2,HB=2EC=1, 1 3 又∵MH=2PE= 2 , MH 3 ∴△MHB 中,tan∠MBH= HB = 2 , 3 ∴直线 BM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 2 . (3)由(2)知 CD∥BE,∴直线 BM 与 CD 所成角即为直线 BM 与 BE 所成角, 7 连接 ME,在 Rt△MHE 中,ME= 2 , 7 在 Rt△MHB 中,BM= 2 , 又 BE=CD= 3,∴△MEB 中, 7 7 + 3 - 4 BM2+BE2-ME2 4 21 cos∠MBE= = = 7 , 2BM· BE 7 2× 2 × 3 21 ∴直线 BM 与 CD 所成角的余弦值为 7 .

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