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2012年全国高中数学联赛河南省预赛试题及答案(word版本)


2012 年全国高中数学联赛河南省预赛试题
本试卷满分 140 分
一、填空题(满分 64 分) 1、在小于 20 的正整数中,取出三个不同的数,使它们的和能够被 3 整除,则不用的取法种数为 _________________. 2、将长为的线段任意截成三段,则这三段能够组成三角形的概率为_________________. 3、在 ? A B C 中, ? C ?

?
2

,?B ?

?
6

, A C ? 2 , M 为 A B 中点,将 ? A C M 沿 C M 折起,使

A , B 之间的距离为 2 2 ,则点 M 到面 A B C 的距离为_________________.
4、若锐角 ? 满足

1 tan

?
2

?

2 3

tan 1 0 ?
o

tan

?
2

,则角 ? 的度数为_________________.

5



函 数

? | lo g 2 x |, 0 ? x ? 4 ? f (x) ? ? 2 2 70 ,x ? 4 ? x ? 8x ? 3 ?3





a,

b,

c , 互d 不 相 同 , 且

f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? f ( d ) ,则 a b cd 的取值范围是_________________.
6 、 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ? a n ? 中 , 2 a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? a1 ? 8 , 则 2 a 8 ? a 7 的 最 小 值 为 _________________. 7、一只蚂蚁由长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 顶点 A 出发,沿着长方体的表面达到顶点 C 1 的最短距离为 6,则长方体的体积最大值为______________.

8



?x?















x















? log 2 1? ? ? log 2 2 ? ? ? log 2 3 ? ? ? ? ? log 2 2012 ? ? _________ .
二 、( 本 题 满 分 16 分 ) 如 图 , 已 知 四 棱 锥 E ? A B C D 的 地 面 为 菱 形 , 且

?ABC ?

?
3

, AB ? EC ? 2 , AE ? BE ?

2.

(1)求证:平面 E A B ? A B C D 平面; (2)求二面角 A ? E C ? D 的余弦值.

三、 (本题满分 20 分)已知函数 f ( x ) ? (1)当时 x ? 0 ,求证:

ln (1 ? x ) x

(2)当 x ? ? 1 且 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ?

1 ? kx 1? x

成立,求实数的值.

四、 (本题满分 20 分)数列 ? x n ? 中, x1 ? 1 且 x n ? 1 ? 1 ?

1 xn ? 1

(1)设 a n ?

1 xn ? 2

,求数列 ? a n ? 的通项公式.

(2)设 b n ? x n ?

2 ,数列 ? b n ? 的前 n 项的和为 S n ,证明: S n ?

2 2

.

五、 (本题满分 20 分)已知椭圆

x

2

? y ? 1 , P 是圆 x ? y ? 1 6 上任意一点,过 P 点作椭圆的切
2

2

2

4
线 P A , P B ,切点分别为 A , B ,求 P A ? P B 的最大值和最小值.

??? ??? ? ?



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