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安徽省宣城市郎溪县郎溪中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 理


安徽省郎溪中学高二 2015-2016 学年第二学期第一次月考 理科数学试题
分值:150 分 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分) 1、若函数 f(x)=ax +bx +c 满 足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( A.-1 B.-2
3 2 4 2

时间:120 分钟

).

C

.2

D.0 ( ).

2、函数 f(x)=x -3x +2 在区间[-1,1]上的最大值是 A.-2 B.0
3

C.2

D.4 ).

3、若直线 y=m 与 y=3x-x 的图象有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围是( A.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 4、?1(e +2x)dx 等于
x

B.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞) ( B.e-1 D.e+1 ).

?0

A.1 C.e

5、已知椭圆 + =1(m>0)的左焦点为 F1(-4,0),则 m= ( A.9 B.4 C.3 D.2

)

6、下列双曲线中,焦点在

y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是(



x2 ?
A、

y2 ?1 4

x2 ? y2 ? 1 B、 4

y2 ? x2 ? 1 C、 4

y2 ?
D、

x2 ?1 4
).

7、 在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示, 则关于 x 的不等式 x·f′ (x)<0 的解集为( A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 8 、 已 知 对 任 意 实 数

x , 有
时 ,

f (? x) ? ? f , ( x) f ?(

g? (

x? ) ,且 gx ( ?x0 )


0 时( ? , ? x) ? ,则 x ? 0 g

(x

)

0

A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

1

C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0

1 2 9、如图所示,曲线 y=x 和直线 x=0,x=1 及 y= ,所围成的图形(阴影部分)的面积为 4

2 A. 3

1 B. 3

1 C. 2

1 D. 4

10、已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′(x)的图象如右图所 示,则该函数的图象是 ( ).

? ?10,0≤x≤2, 11、一物体在力 F(x)=? ?3x+4,x>2 ?

(单位:N)的作用下沿与力 F(x)相同的方向运动 ( B.46 J D.50 J ). B.ln 2+1 ).

了 4 米,力 F(x)做功为 A.44 J C.48 J

1 12、函数 y=ln x(x>0)的图象与直线 y= x+a 相切,则 a 等于( 2 A.2ln 2

2

C.ln 2

D.ln 2-1

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13、若抛物线 y =2px(p>0)的准线经过双曲线 x -y =1 的一个焦点,则 p= 14、定积分?3 9-x dx 的值为________.
2 2 2 2

.

?0

1 2 15、 已知函数 f(x)= mx +ln x-2x 在定义域内是增函数, 则实数 m 的取值范围是________. 2 16、曲线 f(x)=

f′?1?
e

1 2 x e -f(0)x+ x 2

在点(1,f(1))处的切线方程为________.

三、解答题: (共 70 分) 1 2 17、 (10 分)已知函数 f(x)=ax +bln x 在 x=1 处有极值 . 2 (1)求 a,b 的值; (2)判断函数 y=f(x)的单调性并求出单调区间.

18、 (12 分)设函数 f(x)=(x-1)e -kx . (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,求实数 k 的取值范围.

x

2

1 3 1-a 2 19、 (12 分)已知函 数 f(x)= x + x -ax-a,x∈R,其中 a> 0. 3 2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围.

20、 (12 分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为

r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100
元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该 函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.

3

x2 y 2 21、 (12 分)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,点(2, a b
(1)求 C 的方程.

)在 C 上.

(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明: 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值.

ln x+k 22、 (12 分)已知函数 f(x)= (k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数),曲线 x e

y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行.
(1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明:对任意 x>0,g(x)<1+e .
-2

4

安徽省郎溪中学高二 2015-2016 学年第二学期第一次月考 理科数学试题答案 一、选择题: BCACC,CABDB,BD 二、填空题: 2 , 9π , 4 [1,+∞),

y=ex-

1 2

三、解答题:

b 1 17、解 (1)f′(x)=2ax+ ,又 f(x)在 x=1 处有极值 . x 2
1 ? ?f?1?= , 2 ∴? ? ?f′?1?=0, 1 解得 a= ,b=-1. 2 1 2 1 (2) 由 (1) 可 知 f(x) = x - ln x , 其 定 义 域 是 (0 , + ∞) , 且 f′(x) = x - = 2 x ?x+1??x-1? . 1 ? ?a= , 即? 2 ? ?2a+b=0.

x

令 f′(x)=0,解得 x=1 或-1(舍去). 当 x 变化时,f′(x),f (x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,1) - ?

1 0 极小值

(1,+∞) + ?

所以函数 y=f(x)的单调减区间是(0,1),单调增区间是(1,+∞).

18、解 (1)当 k=1 时,f(x)=(x-1)e -x , ∴f′(x)=e +(x-1)e -2x=x(e -2). 令 f′(x)>0,即 x(e -2)>0, ∴x>ln 2 或 x<0. 令 f′(x)<0,即 x(e -2)<0,∴0<x<ln 2. 因此函数 f(x)的递减区间是(0,ln 2); 递增区间是(-∞,0)和(ln 2,+∞). (2)易知 f′(x)=e +(x-1)e -2kx=x(e -2k). ∵f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,
5
x x x x x x x x

x

2

∴当 x≥0 时,f′(x)=x(e -2k)≥0 恒成立. ∴e -2k≥0,即 2k≤e 恒成立. 1 x 由于 e ≥1,∴2k≤1,则 k≤ . 2 1 x 又当 k= 时,f′(x)=x(e -1)≥0 当且仅当 x=0 时取等号. 2 1? ? 因此,实数 k 的取值范围是?-∞, ?. 2? ? 19、解 (1)f′(x)=x +(1-a)x-a=(x+1)(x-a). 由 f′(x)=0,得 x=-1 或 a(a>0). 当 x 变化时 f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:
2

x

x

x

x f′(x) f(x)

(-∞,-1) + ?↗

-1 0 极大值

(-1,a) - ↘?

a
0 极小值

(a,+∞) + ↗?

故函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a). (2)由(1)知 f(x)在区间(-2,-1)内单调递增;在区间(-1,0)内单调递减.从而函数 f(x)

f?-2?<0, ? ? 在区间(-2,0)内恰有两个零点,当且仅当?f?-1?>0, ? ?f?0?<0,

1 解得 0<a< . 3

? 1? 所以,a 的取值范围是?0, ?. ? 3?
20、 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2π rh=200π rh 元, 底面的总成本为 160π r
2 2

元,所以蓄水池的总成本为(200π rh+160π r )元. 又根据题意 200π rh+160π r =12 000π , 1 π 2 2 3 所以 h= (300-4r ),从而 V(r)=π r h= (300r-4r ). 5r 5 因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π 3 (2)因为 V(r)= (300r-4r ), 5 π 2 所以 V′(r)= (300-12r ). 5 令 V′(r)=0,解得 r=5 或-5(因为 r=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V( r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8.
6
2

即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大.

21、解(1) 由题意有

? ? a ? ? b? ? , ? ? ? ? ? ,解得 a? ? ?, b? ? ? ,所以 C 的方程为 ? a b a ?

x? y ? ? ? ? . (2)设 直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0), ? ?
A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).

x? y ? ? ? ? 得 (?k ? ??)x? ? ?kbx ? ?b? ?? ? ? . 将 y=kx+b 代入 ? ?
xM ? x? ? x? b ??kb ? ? , yM ? kxM ? b ? . ?k ? ?? ? ?k ??

于是直线 OM 的斜率 kOM ?

yM ? ? ? ? ,即 kOM ? k ? ? ? xM ?k

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. ln x+k 22、解(1)由 f( x)= , x e 1-kx-xln x 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞). xex 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1. 1 -ln x-1 x (2)由(1)知,f′(x)= ,x∈(0,+∞). x e 1 1 1 设 h(x)= -ln x-1, 则 h′(x)=- 2- <0,

x

x

x

即 h(x)在(0,+∞)上是减函数, 由 h(1)=0 知,当 0<x<1 时 ,h(x)>0,从而 f′(x)>0, 当 x>1 时,h(x)<0,从而 f′(x)<0. 综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).

(3)由(2)可知,当 x≥1 时,g(x)=xf′(x)≤0<1+e , 故只需证明 g(x)<1+e 在 0<x<1 时成立. 当 0<x<1 时,e >1,且 g(x)>0,
x
-2

-2

7

1-xln x-x ∴g(x)= <1-xln x-x. x e 设 F(x)=1-xln x-x,x∈(0,1) , 则 F′(x)=-(ln x+2), 当 x∈(0,e )时,F′(x)>0,当 x∈(e
-2 -2 -2,

1)时,F′(x)<0,
-2

所以当 x=e 时,F(x)取得最大值 F(e )=1+e . 所以 g(x)<F(x)≤1+e . 综上,对任意 x>0,g(x)<1+e .
-2 -2

-2

8


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