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指、对数函数与反函数


张家港后塍高级中学
ZhangjiagangHoucheng High? school

周明
ZhouMing

问题:设 a > 0,且 a ≠ 1 为常数,a t = s。若以 t
为自变量可得指数函数 y = a x,若以 s 为自变量可
得对数函数 y = log a x。这两个函数之间的关系如 何进一步进行数学解释?

探究一
思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动,分别以位 移s和时间t为自变量,可以得到哪两个函数?这两个函数 相同吗? 思考2:设 ,分别x、y为自变量可以得到哪两个函数? 2 ?y 这两个函数相同吗?
x

思考3:我们把具有上述特征的两个函数互称为反函数,那 么函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是什么?函数 y ? 2x ?1 的反函数是什么?

思考4:在函数y=x2中,若将y作自变量,那么x与y的对应 关系是函数吗?为什么?

思考5:一个函数在其对应形式上有一对一和多对一两种,那 么在哪种对应下的函数才存在反函数?

知识探究(二): 指、对数函数的比较分析

思考1:当a>1时,指、对数函数的图象和性质如下表: 你能发现这两个函数有什么内在联系吗?

y=ax

(a>1)
1 0 x

y=logax(a>1)
y 0

图象 定义域
值域 性质

y

1

x

R

(0, ??)
R
当x>1时y>0; 当0<x<1时y<0; 当x=1时y=0; 在R上是减函数.

(0, ??)
当x>0时y>1; 当x<0时0<y<1; 当x=0时y=1; 在R上是增函数.

思考2:一般地,原函数与反函数的定义域、值域有什么关 系?函数图象之间有什么关系?单调性有什么关系?

思考3:函数y = 1-x , 的反函数 分别是什么?由此推测:如果函数y=f(x)的图象关于直 线y= x对称,则 函数f(x)与其反函数有什么关系?

1 y? x

理论迁移

例1 求下列函数的反函数: (1)y=3x-1 ; (2)y= +1 (x≥0);

x

(3)

y ?3

;(4)?1 x

?2

.

y ? log 1 ( x ? 4)
2 x

例2 已知函数 (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.

f ( x) ? log 2 (1 ? 2 ) .

例3 若点P(1,2)同时在函数y= 及其反函数的图象上,求a、b ax ? b 的值.

作业: P75 习题2.2B组:1,4,5.


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