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直线方程


直线的方程 1.直线的倾斜角和斜率的互化 已知倾斜角的范围,求斜率的范围,实质上是求 k=tan α 的值域问题,已知斜率 k 的范围求倾斜角的范围,实质上 是在[0,π )上解关于正切函数的三角不等式问题.由于函数 k=tan α 在[0,π )上不单调,故一般借助该函数图象来解 决 此类问题. 2.求直线方程的一般方法 (1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式, 直

接写出直线的方程的方法; (2)待定系数法:设出直线方程,再根据已知条件求出待 定系数,最后代入求出直线方程的方法.

2.过点 P(-1,2)且方向向量为 a=(-1,2)的直线方程为( A.2x+y=0 C.x-2y=0 B.x-2y+5=0 D.x+2y-5=0

A

)

解析:∵a=(-1,2),∴直线斜率 k=-2,∴直线方程为:y-2=-2(x+1), 即 2x+y=0. 答案:A 3.过点(1,-1)和(0,-3)的直线在 y 轴上的截距为( D )

A.

B.

C.3

D.-3

解析:∵直线过(0,-3)点,∴直线在 y 轴上截距为-3. 答案:D 8.已知直线方程 3x+4y-6=0. 3 3 (1)求此直线的斜率- .;(2)求此直线在 x 轴、y 轴上的截距.2, . 4 2 3 3 解:(1)将直线方程化为斜截式,得 4y=-3x+6,即 y=- x+ , 4 2 3 ∴此直线的斜率为- . 4 3 3 (2)当 x=0 时,y= ,当 y=0 时,x=2,即此直线在 x 轴、y 轴上的截距分别是 2, . 2 2

1.在同一直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是图中的( C

)

答案:C 2.(2009· 广东佛山第一次质检)直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等, 则 a 的值是( D ) A.1 B.-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1 a+2 解析:由条件得 a+2= a ,解之得 a=-2 或 a=1. 答案:D

7.(08 四川卷4)直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 900 ,再向右平移1个单位,所 得到的直线为 1 1 (A) ? ? x ? y 3 3
1 (B) ? ? x ? 1 y 3 1 (D) ? x ? 1 y 3

(C) ? 3x ? 3 y

4.(2010· 改编题)若直线 l:y=kx- 3与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,则 直线 l 的倾斜角的取值范围是( B ) π π π π π π π π A.?6,3 ? B.?6 ,2? C.?3 ,2? D.?6,2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析:如图所示,直线 l:y=kx - 3,过定点 P(0,- 3),又 A(3,0),B(0,2), 3 π ∴kPA= ,则直线 PA 的倾斜角为 . 3 6 π π 满足条件的直线 l 的倾斜角的范围是?6,2 ?. ? ? 答案:B 5.已知 m≠0,则过点(1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的斜率为- ________. a 1 解析:依题意知 a+3m· (-1)+2a=0,即 m=a.∴k=- =- . 3m 3 答案: 6.(2010· 模拟精选)若过点 P(1-a,1+a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数 a 的 取值范围是_(-2,1)_______. 2a-(1+a) a-1 解析:k=tan α= = . 3-(1-a) a+2 a-1 ∵α 为钝角,∴ <0,即(a-1)(a+2)<0.∴-2<a<1. a+2 答案: 3 7.若直线(2t-3)x+y+6=0 不经过第二象限,则 t 的取值范围是?-∞,2?________. ? ? 解析:①当 2t-3=0 时,y=-6 不经过第二象限. ②2t-3≠0 时,直线(2t-3)x+y+6=0 经过定点(0,-6) 3 3 ∴2t-3<0,∴t< .故 t∈?-∞,2?. ? ? 2 答案: 9.过点 P(2,1)作直线 l,分别交 x 轴,y 轴的正半轴于 A、B 两点,当|PA|· |PB|=4 时, 1 3

求直线 l 的方程.x+y-3=0. 解:设直线 l:y-1=k(x-2),k≠0. 1 分别令 y=0 和 x=0,得 A?2-k,0?,B(0,1-2k), ? ? 1 2 ?1+ 12?(4+4k2)= ∴|PA|· |PB|= 8+4?k +k2?=4, ? k? ? ? 所以,k2=1,即 k=± 1.又由题意,可知 k<0,∴k=-1. 这时直线 l 的方程是 x+y-3=0.

3.(2009· 北京海淀区期末)和直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程为(A A.3x+4y+5=0 C.-3x+4y-5=0 B.3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0

)

解析:依题意得,直线 3x-4y+5=0 关于 x 轴对称的直线方程是 3x-4(-y)+5=0, 即 3x+4y+5=0. 答案:A 4.直线 l1:kx-y+2=0 到直线 l2:x+2y-3=0 的角为 45° ,则 k=( A A.-3 B.-2 C.2 D.3 )

1 - -k 2 解析:依题意得 tan 45° = =1,由此解得 k=-3. 1 1+?-2?k ? ? 答案:A 二、填空题 6.(2010· 河北正定模拟)设直线 l 经过点(-1,1),则当点(2,-1)与直线 l 的距离最远时, 直线 l 的方程为_3x-2y+5=0_______. 解析:当 l 与过两点的直线垂直时,(2,-1)与直线 l 的距离最远,因此所求直线的方 程为 y-1=- 2-(-1) · (x+1)即 3x-2y+5=0. -1-1

答案:3x-2y+5=0

4.(08 全国二 11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与
x ? 7 y ? 4 ? 0 ,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为

A.3

B.2

C. ?

1 3

D. ?

1 2

7.(2009· 山东济宁调研)等腰三角形两腰所在直线是 7x-y-9=0 和 x+y-7=0,底边

所在直线过点(3,-8),则底边所在的直线方程为__ x-3y-27=0 或 3x+y-1= 0______. 解析:设所求直线 l3 的斜率为 k,设 l1:7x-y-9=0,l2:x+y-7=0,由点斜式可写 1 出直线方程.因为 l2 到 l3 的角等于 l3 到 l1 的角可求出 k= 或 k=-3. 3 答案:x-3y-27=0 或 3x+y-1=0 三、解答题 9.求过点 P(1,2)且与 A(2,3)和 B(4,-5)等距离的直线方程.3x+2y-7=0,或 4x+y-6 =0.

解:解法一:如图,所求直线有两条,一条是过 P(1,2)点且过 AB 的中点,另一条是过 P(1,2)与 A、B 两点所确定的直线平行. AB 的中点 M 的坐标为(3,-1), ∴过 P、M 两点的直线方程为 y-2= 2-(-1) (x-1), 1-3

整理得 3x+2y-7=0;过 P 点与 AB 平行的直线为 y-2= 3-(-5) (x-1),整理得 4x+y-6=0; 2-4

因此所求的直线方程为 3x+2y-7=0,或 4x+y-6=0. 解法二:设所求的直线方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0, |2k-3+2-k| |4k+5+2-k| 根据题意: = , k2+1 k2+1 3 即|k-1|=|3k+7|,解得:k=-4 或 k=- . 2 因此所求的直线方程分别为 4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0. 10.过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2:x+y+3=0 之间的 线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程.8x-y-24=0.

?x+x =3 2 解:解法一:设点 A(x,y)在 l 上,由题意知? y+y ? 2 =0
B 1 B

,∴点 B(6-x,-y),

? ?2x-y-2=0 解方程组? ,得 ? ?(6-x)+(-y)+3=0

?x= 3 ? 16 ?y= 3
11

16 -0 3 ,∴k= =8. 11 -3 3

∴所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. 解法二:设所求的直线方程为 y=k(x-3),

?y=k(x-3) ? 则? ,解得 ? ?2x-y-2=0

?x =3k-2 ? k-2 ? 4k ?y =k-2 ?
A A

?y=k(x-3) ? ,由? ,解得 ? ?x+y+3=0

?x =3k-3 ? k+1 ? -6k ?y =k+1 ?
B B

.

∵P(3,0)是线段 AB 的中点,∴yA+yB=0,即 ∴k2-8k=0,解得 k=0 或 k=8. 又∵当 k=0 时,xA=1,xB=-3,此时

4k -6k + =0, k-2 k+1

xA+xB 1-3 = ≠3,∴k=0 舍去, 2 2

∴所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0.

1.(2010· 改编题)直线 l1 和 l2 的斜率是一元二次方程 x2-4x+1=0 的两个根,则直线 l1 和 l2 的夹角为( A π A. 3 π B. 4 ) π C. 6 π D. 8

解析:设直线 l1、l2 的斜率分别为 k1、k2,直线 l1 和 l2 的夹角为 θ,则 k1+k2=4, π k1k2=1,|k1-k2|= (k1+k2)2-4k1·2=2 3,则 tan θ= 3,故直线 l1 和 l2 的夹角为 . k 3 答案:A

x y 2.(08 全国一 10)若直线 ? ? 1 通过点 M (cos ?, ? ) ,则 sin a b 1 1 1 1 A. a 2 ? b2 ≤1 B. a 2 ? b2 ≥1 C. 2 ? 2 ≤1 D. 2 ? 2 ≥1 a b a b
【例 2】(1)求经过点 P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程; 2x-3y=0 或 x+y-5=0.

(2)求经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍的直线方程. 3x+4y+15=0. 思维点拨:(1)选择截距式或斜截式均可;

(2)由二倍角公式求所求直线的斜率. 解:(1)解法一:设直线 l 在 x,y 轴上的截距均为 a, 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2),∴l 的方程为 ,即 2x-3y=0. 若 a≠0,则设 l 的方程为 , ∵l 过点 P(3,2),∴ ,∴a=5,∴l 的方程为 x+y-5=0. 综上可知,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. (2)由已知:设直线 y=3x 的倾斜角为 α ,则所求直线的倾斜角为 2α . ∵tan α =3,∴tan 2α = , 又直线经过点(-1,-3),因此所求直线方程为 y+3=-(x+1), 即 3x+4y+15=0. 拓展 2:求经过点 A(1,2),并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程. 2x-y=0 或 x+y-3=0 或 x-y+1=0. 解:当直线过原点时,截距相等且均为零,∴直线方程为 y=2x. 当直线不过原点时, 可设方程为: 或 , 将(1,2) 代入可求 得 a=3 或 a=-1, ∴直线方程为 x+y=3 或 x-y=-1. 故所求直线方程为 2x-y=0 或 x+y-3=0 或 x-y+1=0. sin θ-1 3 2.(★★★★)函数 y= 的值域为_?-4,0?_______. ? ? 3+cos θ sin θ-1 解析: 可以看成两点 A(cos θ,sin θ),B(-3,1)连线的斜率,B 为定点,A 为动 3+cos θ 点,动点 A 的轨迹为单位圆如图所示. 3 只需求出直线 l1 的斜率 k1 即可.不难求出 k1=- ,又 k2=0.由图可知, 4 3 ? 定点 B 与动点 A 连线的斜率 k 的范围为?-4,0?,故原函数的值域为 ? 3 ? ?- ,0 . ? 4 ? 3 答案:?-4,0? ? ?


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