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山西省大同一中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


山西省大同一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1. (3 分)已知全集 U={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2},则集合(?UA) ∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{1,2,5,8} D.? 2. (3 分)下列各函数中,表示同一函数的是() A.y

=x 与 C. (a>0 且 a≠1) 与 y=x﹣1 B. D.y=lgx 与 与 y=x+1

3. (3 分)已知函数 f(x)= A. B.

,x∈R,则 f( )=() C. D.

4. (3 分)下列式子中成立的是() A.log0.44<log0.46 0.3 0.3 C. 3.5 <3.4
x

B. 1.01 >1.01 D.log76<log67

3.4

3.5

5. (3 分)已知 x0 是函数 f(x)=e +2x﹣4 的一个零点,若 x1∈(﹣1,x0) ,x2∈(x0,2) ,则 () A.f(x1)<0,f(x2)<0 B. f(x2)<0 D. f(x1)<0,f(x2)>0 C.( f x1 ) >0, f(x1)>0,f(x2)>0

6. (3 分)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概率是() A. B. C. D.

7. (3 分)在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的 2 2 面积介于 25cm 与 49cm 之间的概率为() A. B. C. D.

8. (3 分)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在 这五场比赛中得分的方差为 (注:方差

s= [ ()

2

+

+…+

],其中 为 x1,x2,…,xn 的平均数)

A.5.8

B.6.8

C.7.8

D.8.8

9. (3 分)已知 f(x)=g(x)+2,且 g(x)为奇函数,若 f(2)=3,则 f(﹣2)=() A.0 B.﹣3 C.1 D.3 10. (3 分)二次函数 y=ax +bx 与指数函数
2

在同一坐标系中的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

11. (3 分)若 x∈R,n∈N ,规定:

*

=x(x+1) (x+2)…(x+n﹣1) ,例如: 的奇偶性为()

=(﹣4)?

(﹣3)?(﹣2)?(﹣1)=24,则 f(x)=x? A.是奇函数不是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数

B. 是偶函数不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

12. (3 分)已知函数

是 R 上的增函数,那么实数 a

的取值范围是() A.(1,2) B. C. D.(0,1)

二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. (3 分)如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正 方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板 上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是.

14. (3 分)用辗转相除法求两个数 102、238 的最大公约数是. 15. (3 分)阅读程序框图,若输入 m=4,n=3,则输出 a=,i=. (注:框图中的赋值符号“=”,也可以写成“←”或“:=”)

[来源:Z§xx§k.Com]

16. (3 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(ax+1)≤f(x﹣2) 对任意 都成立,则实数 a 的取值范围是.

三.解答题 2 17. (8 分)设集合 A={x|0<x﹣m<2},B={x|﹣x +3x≤0},分别求满足下列条件的实数 m 的 取值范围: (1)A∩B=?; (2)A∪B=B. 18. (8 分)为了了解 2014-2015 学年高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳 绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中从左到右各小长方形面 积之比为 2:4:17:15:9:3,已知第二小组频数为 12.

[来源:Zxxk.Com] (1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体 2014-2015 学年高一学生的 达标率是多少? (3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明. 19. (8 分)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答. (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 20. (8 分)已知甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数分别是 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. ( 1)分别计算两组数据的平均数; (2)分别计算两组数据的方差; (3)根据计算结果,估计一下两 名战士的射击水平谁更好一些. 21. (10 分)已知函数 .

(1)求证:函数 f(x)在 R 上为增函数; (2)当函数 f(x) 为奇函数时,求 a 的值; (3)当函数 f(x)为奇函数时,求函数 f(x)在[﹣1,2]上的值域. 22. (10 分)已知二函数 f(x)=ax2+bx+5(x∈R)满足以下要求: ①函数 f(x)的值域为[1,+∞) ;②f(﹣2+x)=f(﹣2﹣x)对 x∈R 恒成立. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 M(x)= ,求 x∈[e,e ]时 M(x)的值域.
2

山西省大同一中 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(每小题 3 分,共 36 分) 1. (3 分)已知全集 U={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2},则集合(?UA) ∪B=() A.{0,2,3,6} B.{0,3,6} C.{1,2,5,8} D.? 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的并集即可. 解答: 解:∵全集∪={0,1,2,3,5,6,8},集合 A={1,5,8},B={2}, ∴?UA={0,2,3,6}, 则(?UA)∪B={0,2,3,6}. 故选 A 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (3 分)下列各函数中,表示同一函数的是() A.y=x 与 C. (a>0 且 a≠1) 与 y=x﹣1 B. D.y=lgx 与 与 y=x+1

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数相等的定义, 主要求出两个函数的定义域和解析式, 比较是否一样即可. [来 源:学+科+网 Z+X+X+K] 解答: 解:A、∵y=x 与 故 A 正确. B、 C、∵ 的定义域为{x|x≠1},而 y=x+1 的定义域为 R,故 B 不对; =|x|﹣1,而 y=x﹣1,表达式不同,故 C 不对; 的定义域为{x|x≠0},故 D 不对; =x(a>0 且 a≠1) ,且 f(x)和 g(x) )的定义域都为 R,

D、∵x>0,∴y=lgx 的定义域为{x|x>0},而

故选 A. 点评: 本题考查判断两个函数是否为同一函数,解题的关键是理解函数的定义,理解函数 的两要素﹣﹣函数的定义域与函数的对应法则.

3. (3 分)已知函数 f(x)= A. B.

,x∈R,则 f( )=() C. D.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的性质求解. 解答: 解:函数 f(x)= ∴f( )= = . ,x∈R,

故选:D. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 4. (3 分)下列式子中成立的是() A.log0.44<log0.46 0.3 0.3 C. 3.5 <3.4 B. 1.01 >1.01 D.log76<log67
3.4 3.5

考点: 幂函数的性质;指数函数单调性的应用. 专题: 计算题;函数思想. 分析: 分别构造函数,根据函数的性质,比较每组函数值的大小 解答: 解:对于 A:设函数 y=log0.4x,则此函数单调递减∴log0.44>log0.46∴A 选项不成立 x 3.4 3.5 对于 B:设函数 y=1.01 ,则此函数单调递增∴1.01 <1.01 ∴B 选项不成立 0.3 0.3 0.3 对于 C:设函数 y=x ,则此函数单调递增∴3.5 >3.4 ∴C 选项不成立 对于 D: 设函数 ( f x) =log7x, g (x) =log6x, 则这两个函数都单调递增∴log76<log77=1<log67∴D 选项成立 故选 D 点评: 本题以比较大小的形式考查指数函数和幂函数的性质,要求对指数函数和幂函数的 单调性熟练掌握.属简单题 5. (3 分)已知 x0 是函数 f(x)=e +2x﹣4 的一个零点,若 x1∈(﹣1,x0) ,x2∈(x0,2) ,则 () A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C. f(x1)>0,f (x2)<0 D. f(x1)>0,f(x2)>0 考点: 函数零点的判定定理. 分析 : 先判断函数的单调性,再利用已知条件 f(x0)=0 即可判断出答案. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e +2x﹣4 在 R 上单调递增,且 f(x0)=0, ∴由 x1∈(﹣1,x0) ,x2∈(x0,2) ,可得 f(x1)<0,f(x2)>0. 故选 B. 点评: 熟练掌握指数函数的单调性、函数零点的意义是解题的关键.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K ]

x

6. (3 分)集合 A={2,3},B={1,2,3},从 A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于 4 的概率是() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由分步计数原理可得总的方法种数为 2×3=6,由列举法可得符合条件的有 2 种,由古 典概型的概率公式可得答案. 解答: 解:从 A,B 中各取任意一个数共有 2×3=6 种分法, 而两数之和为 4 的有: (2,2) , (3,1)两种方法, 故所求的概率为: = . 故选 C. 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,属基础题.[来源:学§科§网] 7. (3 分)在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 P,并以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的 面积介于 25cm 与 49cm 之间的概率为() A. B. C. D.
2 2

考点: 几何概型. 专题: 计算题. 2 2 分析: 我们要求出以线段 AP 为边作正方形,这个正方形的面积介于 25 cm 与 4 9cm 之间 对应线段 AP 的长,然后代入几何概型公式即可求解. 解答: 解:∵以线段 AP 为边的正方形的面积介于 25 cm 与 49 cm 之间 ∴线段 AP 的长介于 5 cm 与 7cm 之间 满足条件的 P 点对应的线段长 2cm 而线段 AB 总长为 10 cm 故正方形的面积介于 25 cm 与 49 cm 之间的概率 P= 故选 B 点评: 本题考查的知识点是几何概型,几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线 段长度、面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关. 8. (3 分)如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在 这五场比赛中得分的方差为 (注:方差 s= [ ()
2 2 2 2 2

+

+…+

],其中 为 x1,x2,…,xn 的平均数)

A.5.8

B.6.8

C.7.8

D.8.8

考点: 极差、方差与标准差;茎叶图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据茎叶图所给的数据,做出这组数据的平均数,把所给的数据和平均数代入求方 差的个数,求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差. 解答: 解:∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是
2 2 2

=11
2 2

∴这组数据的方差是 [(8﹣11) +(9﹣11) +(10﹣11) +(13﹣11) +(15﹣11) ] = [9+4+1+4+16]=6.8 故选:B. 点评: 本题考查一组数据的方差,考查读茎叶图,这是经常出现的一种组合,对于一组数 据通常要求这组数据的平均数,方差,标准差,本题是一个基础题. 9. (3 分)已知 f(x)=g(x)+2,且 g(x)为奇函数,若 f(2)=3,则 f(﹣2)=() A.0 B . ﹣3 C. 1 D.3 考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由已知可知 f(2)=g(2)+2=3,可求 g(2) ,然后把 x=﹣2 代入 f(﹣2)=g(﹣2) +2=﹣g(2)+2 可求 解答: 解:∵f(x)=g(x)+2,f(2)=3, ∴f(2)=g(2)+2=3 ∴g(2)=1 ∵g(x)为奇函数 则 f(﹣2)=g(﹣2)+2=﹣g(2)+2=1 故选:C 点评: 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的函数值,属于基础试题
2

10. (3 分)二次函数 y=ax +bx 与指数函数

在同一坐标系中的图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质;二次函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据二次函数的对称轴首先排除 B、D 选项,再根据 a﹣b 的值的正负,结合二次函 数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案. 解答: 解:根据指数函数的解析式为 ,可得 >0,∴﹣ <0,

故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣

2

位于 y 轴的左侧,故排除 B、D.

对于选项 C,由二次函数的图象可得 a<0,且函数的零点﹣ <﹣1,∴ >1, 则指数函数应该单调递增,故 C 不正确. 综上可得,应选 A, 故选 A. 点评: 本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系,根据指数函数图象 确定出 a、b 的正负情况是求解的关键,属于基础题. 11. (3 分)若 x∈R,n∈N ,规定:
*

=x(x+1) (x+2)…(x+n﹣1) ,例如: 的奇偶性为() B. 是偶函数不是奇函数 D.既不是奇函数又不是偶函数

=(﹣4)?

(﹣3)?(﹣2)?(﹣1)=24,则 f(x)=x? A.是奇函数不是偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 新定义. 分析: 根据定义先求出函数 f(x)=x? 断. 解答: 解:由定义可知,f(x)=x?
2

的表达式,然后利用函数奇偶性的定义进行判

=x(x﹣2) (x﹣1) (x) (x+1) (x+2)=x (x ﹣1)

2

2

(x ﹣4) ,[来源:学科网 ZXXK] 2 2 2 因为 f(﹣x)=x (x ﹣1) (x ﹣4)=f(x) , 所以函数 f(x)是偶函数不是奇函数. 故选 B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断,利用新定理求出函数 f(x)的表达式,是解决本 题的关键.

12. (3 分)已知函数

是 R 上的增函数,那么实数 a

的取值范围是() A.(1,2) B. C. D.(0,1)

考点: 函数单调性的性质. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 要使 f(x)为 R 上的增函数,只要保证 f(x)在(﹣∞,1) ,[1,+∞)上递增,且 (2﹣a)?1﹣ ≤loga1 即可.

解答: 解:要使 f(x)为 R 上的增函数,则须有 x<1 时 f(x)递增,x≥1 时 f(x)递增, 且(2﹣a)?1﹣ ≤loga1,

所以有

,解得

< 2,

所以实数 a 的取值范围为[ ,2) . 故选 C. 点评: 本题考查函数单调性的性质,属中档题,数形结合是分析解决该题目的有效途径. 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 13. (3 分)如图所示,墙上挂有一边长为 a 的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正 方形的顶点为圆心,半径为 的圆弧,某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板 上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是 1﹣ .

考点: 几何概型. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出阴影部分的面积,及正方形木 板的面积,并将其代入几何概型计算公式中进行求解. 解答: 解:S 正方形=a S 阴影=
2

故他击中阴影部分的概率 P=

=1﹣

故答案为:1﹣ 点评: 几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等,而且这 个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满足条件 A 的基 本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

14. (3 分)用辗转相除法求两个数 102、238 的最大公约数是 34.

考点: 辗转相除法. 专题: 计算题. 分析: 本题考查的知识点是辗转相除法,根据辗转相除法的步骤,将 288 与 123 代入易得 到答案. 解答: 解:∵238=2×102 +34 102=3×34 故两个数 102、238 的最大公约数是 34 故答案为:34[来源:学_科_网 Z_X_X_K] 点评: 对任意整数 a,b,b>0,存在唯一的整数 q,r,使 a=bq+r,其中 0≤r<b,这个事实 称为带余除法定理,若 c|a,c|b,则称 c 是 a,b 的公因数.若 d 是 a,b 的公因数,且 d 可被 a, b 的任意公因数整除则称 d 是 a, b 的最大公因数. 当 d≥0 时, d 是 a, b 公因数中最大者. 若 a,b 的最大公因数等于 1,则称 a,b 互素.累次利用带余除法可以求出 a,b 的最大公因数, 这种方法常称为辗转相除法. 15. (3 分)阅读程序框图,若输入 m=4,n=3,则输出 a=12,i=3. (注:框图中的赋值符号“=”,也可以写成“←”或“:=”)

考点: 程序框图的三种基本逻辑结构的应用;循环结构. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是计算并输出 m 和 n 的最小公倍数 a. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算并输出 m 和 n 的最小公倍数 a. ∵输入 m=4,n=3 ∴a=12, 而 a=12=m?1?2?…?i, 故此时 i=3, 故答案为:12,3 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是:①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又

要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理) ?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 16. (3 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,且 f(ax+1)≤f(x﹣2) 对任意 都成立,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5].

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数在对称区间上单调性相同结合已知可得 f(x) 在(﹣∞,+∞)上是增函 数,进而可将 f(ax+1)≤f(x﹣2)对任意 都成立, 即 a≤ 在 =1﹣ 对任意 都成立,转化为 ax+1≤x﹣2 对任意 都成立, 即 a 小于等于函数 y=1﹣ 的最小值,可得实数 a 的取

的最小值,利用单调性法求出函数 y=1﹣ 在

值范围 解答: 解:根据奇函数在对称区间上单调性相同且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 故 f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数, 若 f(ax+1)≤f(x﹣2)对任意 则 ax+1≤x﹣2 对任意 即 a≤ =1﹣ 对任意 都成立, 都成立, 为增函数, 都成立,

由函数 y=1﹣ 在 故 x= 时,最最小值﹣5

即 a≤﹣5 故实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5] 故答案为: (﹣∞,﹣5] 点评: 本题考查的知识点是函数的单调性 ,函数的奇偶性,函数恒成立问题,是函数图象 和性质的综合应用,难度中档. 三.解答题 2 17. (8 分)设集合 A={x|0<x﹣m<2},B={x|﹣x +3x≤0},分别求满足下列条件的实数 m 的 取值范围: (1)A∩B=?; (2)A∪B=B. 考点: 交集及其运算;并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 求出 A 与 B 中不等式的解集,确定出 A 与 B,

(1) 由 A 与 B 的交集为空集列出关于 m 的不等式, 求出不等式的解集即可确定出 m 的范围; (2)根据 A 与 B 的并 集为 B,得到 A 为 B 的子集,求出 m 的范围即可. 解答: 解: 由题意得: B={x|﹣x +3x≤0}={x|x≤0 或 x≥3}, A={x|0<x﹣m<2}={x|m<x<m+2}, (1)当 A∩B=?时,有 ,
2

解得:0≤m≤1, ∴m∈[0,1]; (2)当 A∪B=B 时,有 A?B, 应满足 m+2≤0 或 m≥3, 解得 m≥3 或 m≤﹣2. 点评: 此题考查了交集及其运算,以及并集及其运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关 键. 18. (8 分)为了了解 2014-2015 学年高一学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳 绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图) ,图中从左到右各小长方形面 积之比为 2:4:17:15:9:3,已知第二小组频数为 12.

(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少? (2)若次数在 110 以上(含 110 次)为达标,试估计该学校全体 2014-2015 学年高一学生的 达标率是多少? (3)在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内?请说明. 考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题;图表型. 分析: (1)根据各个小矩形的面积之比,做出第二组的频率,再根据所给的频数,做出样 本容量. (2)从频率分步直方图中看出次数子啊 110 以上的频数,用频数除以样本容量得到达标率, 进而估计 2014-2015 学年高一全体学生的达标率.

(3)这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置,测 试中各个小组的频数分别是 6,12,51,45,27,9 前 3 组频数之和是 69,后 3 组频数之和是 81,得到中位数落在第四小组. 解答: 解: (1)∵各小长方形面积之比为 2:4:17:15:9:3 ∴第二小组的频率是 ∵第二小组频数为 12, ∴样本容量是 =150 =0.08

(2)∵次数在 110 以上(含 110 次)为达标, ∴2014-2015 学年高一学生的达标率是 =88%

即 2014-2015 学年高一有 88%的学生达标. (3)∵这组数据的中位数落在的位置是刚好把频率分步直方图分成两个相等的部分的位置, ∵测试中各个小组的频数分别是 6,12,51,45,27,9 前 3 组频数之和是 69,后 3 组频数之和是 81, ∴中位数落在第四小组, 即跳绳次数的中位数落在第四小组中. 点评: 本题考查频率分步直方图,考查用样本的频率 分布估计总体的频率分布,本题解题 的关键是读懂直方图,本题是一个基础题. 19. (8 分)现有 6 道题,其中 4 道甲类题,2 道乙类题,张同学从中任取 2 道题解答. (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率; (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据题意,设事件 A 为“都是甲类题”,由组合数原理,可得试验结果总数与 A 包含的基本事件数目,由古典概率公式计算可得答案, (2)设事件 B 为“所取的 2 道题不是同一类题”,分析可得是组合问题,由组合公式,可得从 6 件中抽取 2 道的情况数目与抽出的 2 道是一个 甲类题, 一个乙类题的情况数目, 由古典概率 公式计算可得答案. 解答: 解: (1)从中任取 2 道题解答,试验结果有 =15 种; =6 种,

设事件 A 为“所取的 2 道题都是甲类题”,则包含的基本事件共有 C 因此,P(A)= .

(2)设事件 B 为“所取的 2 道题不是同一类题”, 2 从 6 件中抽取 2 道,有 C6 种情况, 1 1 而抽 出的 2 道是一个甲类题,一个乙类题的情况数目,有 C4 ?C2 =8 种情况, 根据古典概型的计算,有 P(B)= .

点评: 本题考查组合的运用以及古典概型的概率的计算,属于基础题.

20. (8 分)已知甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 1 0 次,每次命中的环数分别是 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分别计算两组数据的平均数; (2)分别计算两组数据的方差; (3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击水平谁更好一些. 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)根据平均数的公式:平均数=所有数之和再除以数的个数,分别做出两组数据 的平均数. (2)方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数,根据方差公式计算即可,所以计算方差 前要先算出平均数,然后再利用方差公式计算, (3)根据方差越小,成绩越稳定,反之也成立,从方差来看乙的方差较小,乙的射击成绩较 稳定. 解答: 解: (1) = = (8+6+7+8+6+5+9+10+4+7)=7(环) ,

(6+7+7+8+6+7+8+7+9+5)=7(环) .
2 2 2 2 2

(2)由方差公式 S = [(x1﹣ ) +(x2﹣ ) +…+(xn﹣ ) ]可求得 S 甲 = (6﹣7) +…+(7﹣7) ]=3.0(环 ) ,S 乙 =
2 2 2 2 2 2 2

[(8﹣7) +
2

2

[(6﹣7) +(7﹣7) +…+(5﹣7) ]=1.2(环

) . (3)由 S 甲=S 乙,说明甲、乙两战士的平均水平相当; 2 2 又 S 甲 >S 乙 ,说明甲战士射击情况波动大,因此乙战士比甲战士射击情况稳定. 点评: 本题考查平均数、方差的定义,方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动 性越大,反之也成立.平均数反映了一组数据的集中程度,求平均数的方法是所有数之和再除 以数的个数. 21. (10 分)已知函数 .

(1)求证:函数 f(x)在 R 上为增函数; (2)当函数 f(x)为奇函数时,求 a 的值; (3)当函数 f(x)为奇函数时,求函数 f(x)在[﹣1,2]上的值域. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据增函数的定义证明即可; (2)利用奇函数的性质 f(0)=0,求得 a,再验证函数在定义域上是奇函数. (3)利用(1)得出是增函数的结论,求解即可.
[来源:学&科&网 Z&X&X&K ][来源 :学,科,网 ]

解答: 解: (1)证明:任取 x1<x2∈R 则 = =



∵x1<x2





故 f(x1)﹣f(x2)<0

所以函数 f(x)在 R 上为增函数. (2)因函数 f(x)在 x=0 有意义,又函数 f(x)为奇函数,则 f(0)=0 即 ,

当 a= 时,f(﹣x)=﹣f(x) ,函数是奇函数. ∴a 的值为 (3)根据①函数是增函数,x∈[﹣1,2]时,f(﹣1)≤f(x)≤f(2) , ∵f(﹣1)=﹣ ,f(2)= ∴函数的值域是[﹣ , ]

点评: 本题考查函数的单调性、奇偶性及函数的值域. 22. (10 分)已知二函数 f(x)=ax2+bx+5(x∈R)满足以下要求: ①函数 f(x)的值域为[1,+∞) ;②f(﹣2+x)=f(﹣2﹣x)对 x∈R 恒成立. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 M(x)= ,求 x∈[e,e ]时 M(x)的值域.
2

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)配方,利用对称轴和值域求参数, (2)将 M(x)化简,然后通过换元法利用基本不等式求值域. 解答: 解: (1)∵f(x)=ax2+bx+5=a(x+ 又∴f(﹣2+x)=f(﹣2﹣x) , ∴对称轴为 x=﹣2=﹣ , ) +5﹣
2



∵值域为[﹣2,+∞) ,[来源:学科网 ZXXK] ∴a>0 且 5﹣ =1,
2

∴a=1,b=4,则函数 f(x)=x +4x+5,

(2)∵M(x)=
2

=



∵x∈[e,e ],∴令 t=lnx+1,则 t∈[2,3], ∴ = ], = =t+ +2,

∵t∈[2,3],∴t+ +2∈[5, ∴所求值域为:[5, ].

点评: 本题考查二次函数的性质和换元法求函数的值域,难点是换元法的使用,注意换元 要注明范围.


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