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湛江二中2013届高三5月模拟测试数学(文)试题


本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟

2013 年 5 月

注意事项: 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上 ,答案不能答在试卷上。考试结束将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式: V ? 球的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高; 3

4 ? ? R 3 ,其中 R 是球的半径. 3

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,每 题仅有一个选项正确) 1.设全集 U ? ?1,3,5,6,8? , A ? ?1,6? , B ? ?5,6,8? ,则 (CU A) ? B ?
[来源:Z§xx§k.Com]





A. ?6? 2.已知

B. ?5, 8?

C. ?6, 8?

D. ?5, 6, 8? ( D.第四象限 ) )

z ? 3 ? i ,则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限是 1? i
B.第二象限
2

A.第一象限

C.第三象限

3. 已知抛物线 y ? 8x 的准线 l 与椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 相切, 则椭圆 C 的离心率 e ? ( 2 a
C.

A.

3 2

B.

1 2

3 3

D.

5 5
( )

4.已知向量 a ? (3,1) , b ? (?1,2) , c ? (k ,?2) ,若 (a ? c) ? b ,则 k ? A. 3 B. ? 3 C.

1 3

D .?

1 3


5.数列 {a n } 是公差为 2 的等差数列, 且 a1 , a 2 , a5 成等比数列, 则 {a n } 的前 5 项和 S 5 ? ( A. 20 B. 30 C. 25 D. 40
[来源:Zxxk.Com]

6.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边 分别为 a, b, c ,已知 b ? 则角 A ?
1

2 , c ? 3 , A ? B ? 2C ,
( )

A.

3? 4

B.

? 4

C.

5? 12

D.

? 6
( )

?x ? 2 ? 0 ? 7.已知变量 x, y 满足约束条件 ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A. 1 B. 3 C. ? 2 D. ?1
1

8.如右图是一个几何体的三视图,则该几何体的 体积为 A. 1 ? ( )
正视图

1 侧视图

2? 3

B. 2 ?

2? 3

C. 4 2 ? 3?

D.

12 2 ? 4? 3
俯视图

9 . 已 知 圆 C 的 圆 心 是 直 线 x ? y ? 4 ? 0 与 直 线 2x ? y ? 2 ? 0 的 交 点 , 且 圆 C 被 直 线

x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为 4 ,则圆 C 的方程是
A. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 3
2 2


2



B. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 3
2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 9
2 2

2 10 .定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x ). 当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2) ,当

?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x 。则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2013 )?
A. 337 B. 338 C. 1678 D. 2013

(

)

[来源:Zxxk.Com]

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14、15 题是选做题,考生只能 选做一题,两题全答的,只计算前一题得分) 11.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为 12.执行右边的程序框图,其输出结果是 13.已知方程 . .
开始

a ?1 a ? 2a ? 1


x2 ?1 x ?1

? m x有两个不相等的实数根,
.

则实数 m 的取值范围是

a ? 100 ?
是 输出 a

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 l 的方程为
2

结束

? π? ? (cos? ? 2 sin ? ) ? 2 ? 0 ,则点 ? 2, ? 到直线 l 的距离为 ? 6?
15. (几何证明选讲选做题)如图, AB 是圆 O 的直径, 延长 AB 至 C ,使 BC ? 2OB , CD 是圆 O 的切线, 切点为 D ,连接 AD , BD ,则 A .

. D

O

.

B

C

AD 的 值为 BD

第 15 题图

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos2 ?x ? 3 sin 2?x , ( ? ? 0 , x ? R )的最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)若 ? ? (0,

?
6

) ,且 f (? ) ?

13 ? ,求: f (? ? ) 的值. 5 6

17. (本小题满分 12 分) 湛江电视台为了宣传在湛江举办的 “广东省运动会” , 随机对湛江市 15-65 岁的人群抽取了 100 人回答 “广东省运动会” 的有关问题,根据统计结果制作了如下的统计图表 1、表 2:

频 率 组 距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010

组号

分组

回答正确人数

回答正确人数占本组频率

1 2 3 4
15 25 35 45 55 65 年龄

[15,25 ) [25,3 5 ) [35,45 ) [45,55 ) [55,65]

5

0.5 0.9

a
27 9 3 表2

x
0.36 0.2

O

表1 (1)分别求出表 2 中的 a 、 x 的值;

5

(2) 若在第 2、 3、 4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人, 则各组应分别抽取多少人? (3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求获奖的 2 人均来自第 2 组的概率.
3

18. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD ? 平面 ABCD , NB ? 平面 ABCD , 且 MD ? NB ? 1 . (1)求证: AM ? CD ; (2)求证: CN ∥平面 AMD ; (3)求该几何体 ABCDMN 的体积. A 19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log2 an , c n ? D B C M N

1 S n ? 1 ( n ? N ? ). 2

1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围. bn ? bn ? 2

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,并且经过点 M (1, ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知圆 O : x ? y ? 1 ,直线 l : m x ? ny ? 1 ,证明当点 P?m , n ? 在椭圆 C 上运动时,直
2 2

3 2

线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? k ? ln x ( k ? R ) . 2

(1)当 k ? 2 时,求函数在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (3)设 g ( x) ?

2 3 x , k ? ?1 ,当 x ? (1,??) 时,比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3

4

湛江二中 2013 届高三五月模拟考试题数学(文科)参考答案
(其他答案请酌情给分! )
一、 选择题: 2013 年 5 月

二、填空题: 11. (0, 6 ] 12. 127 13. (0,1) ? (1,2) 14.

15 5

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 cos2 ?x ? 3 sin 2?x , ( ? ? 0 , x ? R )的最小正周期为 ? . (1)求 ? 的值; (2)若 ? ? (0, 解: (1)

?
6

) ,且 f (? ) ?

13 ? ,求: f (? ? ) 的值. 5 6

f ( x) ? 2 cos2 ?x ? 3 sin 2?x
? 1 ? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin(2?x ?

?
6

) ?1
2? ?? , 2?

????????????? 4 分



f ( x) 的最小正周期为 ? , ∴


? ?1
2x ?

??????????????????? 6 分

( i s (2) 由(1) , f ( x) ? 2n


) ?1 6 ? 13 f (? ) ? 2 sin( 2? ? ) ? 1 ? 6 5

?



s i n2 (? ?

?
6

)?

∵ ? ? (0,



f (? ?

?

?( , ) 6 6 6 2 ? 3 c o s2 (? ? ) ? ∴ ?????????????????? 8 分 6 5 )


?

2? ?

?

? ?

4 , 5

6

) ? 2 s i n2 [? (? ?

?

6

)?

?

6

] ? 1 ? 2 s i n2 (? ?
5

?

2

) ?1 ? 2c o s 2? ? 1 ??? 10 分

cos 2? ? cos[( 2? ?

?
6

)?

?
6

] ? cos( 2? ?

?
6

) ? cos

?
6

? sin( 2? ?

?
6

) ? sin

?
6

3 3 4 1 4?3 3 ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10


f (? ?

?
6

) ? 2c o 2 s? ? 1 ?

9?3 3 5

??????????????? 12 分

17. (本小题满分 12 分) 湛江电视台为了宣传在湛江举办的“广东省运动会” ,随机对湛江市 15-65 岁的人群抽取了 100 人回答 “广东省运动会” 的有关问题,根据统计结果制作了如下的统计图表 1、表 2:

频 率 组 距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 组号 分组 回答正确人数 回答正确人数占本组频率
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

1 2

[15,25 ) [25,35 ) [35,45 ) [45,55 ) [55,65]

5

0.5 0.9

a
27 表2 9 3

O

15

25

35

45

55

65

年龄

3 4 5

x
0.36 0.2

表1 (1)分别求出表 2 中的 a 、 x 的值; (2)若在第 2、3、4 组回答正确的人

中用分层抽样的方法抽取 6 人,则各组应分别抽取多少人? (3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的 6 人中随机抽取 2 人颁发幸运奖,求获奖的 2 人均来自第 2 组的概率. 解: (1)由频率分布直方图可知,第 2、3 组总人数分别为:20 人、30 人 ∴

a ? 0.9 ? 20 ? 18 (人) ,

x?

27 ? 0.9 30

????????????????????4 分

(2)在第 2、3、4 组回答正确的人共有 54 人,用分层抽样的方法抽取 6 人,则各组分别抽取:

6

第 2 组:

18 ?6 ? 2; 54

第 3 组:

27 ?6 ? 3; 54

第 4 组:

9 ?6 ?1 54

∴ 应在第 2、3、4 组分别抽取 2 人、3 人、 1 人.

???????????8 分

(3)分别记第 2 组的 2 人为 A1 , A2 ,第 3 组的 3 人为 B1 , B2 , B3 ,第 4 组的 1 人为 C , 则从 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为: ( A1 , A2 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A1 , C ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) , ( A2 , C ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) , ( B1 , C ) , ( B2 , B3 ) , ( B2 , C ) , ( B3 , C )共 15 种情况, 则获奖 2 人均来自第 2 组有: ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) , ( B2 , B3 )3 种情况, 故获奖的 2 人均来自第 2 组的概率为

3 1 ? 15 5

???????????12 分

18. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形, MD ? 平面 ABCD , NB ? 平面 ABCD ,且

MD ? NB ? 1 .
(1)求证: AM ? CD ; (2)求证: CN ∥平面 AMD ; (3)求该几何体 ABCDMN 的体积. A 解: (1)由已知, MD ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ∴

M N

D O B

C

MD ? CD

又 ∵四边形 ABCD 是正方形, CD ? AD

MD ? AD ? D


CD ? 平面 AMD ,
AM ? 平面 AMD


AM ? CD

?????????????????? 4 分
7

(2)由已知, MD ? 平面 ABCD , NB ? 平面 ABCD ∴ NB ∥ MD , ∴ NB ∥平面 AMD 同理, BC ∥平面 AMD ∵ 又 MD ? 平面 AMD , NB ? 平面 AMD ,

BC ? NB ? B

∴ 平面 NBC ∥平面 AMD , CN ? 平面 NBC ∴

CN ∥平面 AMD

?????????????????? 9 分

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 a n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log2 an , c n ?

1 S n ? 1 ( n ? N ? ). 2

1 ,且数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的取值范围. bn ? bn ? 2
8

解: (1)由题意, a n ?

1 Sn ? 1 ( n ? N ? ) , 2 1 ? ∴ a n ?1 ? S n ?1 ? 1 ( n ? 2 , n ? N )??????????????1 分 2 1 两式相减: a n ? a n ?1 ? a n , 2
? 即 an ? 2an?1 ( n ? 2 , n ? N ) ??????????????????? 3 分

又 a1 ?

1 S1 ? 1 , 2



a1 ? 2

???????????????? 4 分

∴ 数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 2 的等比 数列, ∴

an ? 2 n

??????????????????????? 6 分 ????????????? 8 分

(2)由(1)可得, bn ? log2 an ? log2 2 n ? n ∴

cn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn ? bn?2 n ? (n ? 2) 2 n n ? 2

????????????? 10 分

Tn ? c1 ? c 2 ? c3 ? ? ? cn ?1 ? c n ?
?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n ? 2

1 1 1 1 3 1 1 1 (1 ? ? ? )? ? ( ? ) ????????????? 12 分 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2 3 1 3 T1 ? Tn ? , 即 ? Tn ? ∴ 4 3 4 1 3 所以, Tn 的取值范围为: [ , ) ????????????????? 14 分 3 4
20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1 , 0) , F2 (1 , 0) ,并且经过点 M (1, ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知圆 O : x ? y ? 1 ,直线 l : m x ? ny ? 1 ,证明当点 P?m , n ? 在椭圆 C 上运动时,直
2 2

3 2

线 l 与圆 O 恒相交;并求直线 l 被圆 O 所截得的弦长的取值范围. 解:(1)解法一:设椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
9

由椭圆的定义知:

?3 ? 2a ? ?1 ? 1? ? ? ? 0 ? ? ?2 ?
2

2

3 ? 2 2 2 ?1 ? 1? ? ? ? ? 0? ? 4 , c ?1, b ? a ? c ? 3 ?2 ?
2

2



a ? 2, b ? 3
故椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????????????????? 4 分

解法二:设椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2
2

?3? ? ? 2 1 ? 3? ? 2 ? ? 1② 2 2 依题意, a ? b ? 1 ①, 将点 M ?1, ? 坐标代入得 2 ? a b2 ? 2?
由①②解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3 ,故 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 . ????????????? 4 分 4 3

(2) 圆心 O 到直线 l : m x ? ny ? 1 的距离 d ?

1 m2 ? n2

m2 n2 m2 n2 2 2 ? ? 1, 则 m ? n ? ? ?1 因为点 P?m, n? 在椭圆 C 上运动,所以 4 3 4 3


d?

1 m ? n2
2

?1? r

所以直线 l 与圆 O 相交. 直线 l 被圆 O 所截的弦长为

????????????????????? 8 分

L ? 2 1? d 2 ? 2 1?

1 ? 2 1? m ? n2
2

1 ? m2 m 2 ? 3? ?1 ? 4 ?

? ? ? ?

? 2 1?

1 1 2 m ?3 4

??? 10 分

? 0 ? m2 ? 4 ?3 ?

1 2 1 1 1 m ? 3 ? 4, ? ? , 4 4 1 2 3 m ?3 4
????????????????14 分
10



2 6 ?L? 3 3

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? k ? ln x ( k ? R ) . 2

(1)当 k ? 2 时,求函数在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的单调区间和极值;

2 3 x , k ? ?1 ,当 x ? (1,??) 时,比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3 1 2 解:(1) 当 k ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x 2 1 1 又 f (1) ? 切点为 (1, ) 2 2 2 f ?( x) ? x ? ∴ 切线斜率: f ?(1) ? ?1 ?????????? 2 分 x 1 ∴ 切线方程: y ? ? ?( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?????????? 3 分 2
(3)设 g ( x) ? (2) 由已知,函数 f ( x) 定义域为 x ? ?0,???,

f ?( x) ? x ?

k x2 ? k ? ????? 4 分 x x

① k ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 x ? ?0,???恒时成立,故 f ( x) 在 x ? ?0,??? 上 单调递增, 函数无极值; ??????????????????????5 分 ┅┅┅┅┅┅┅6 分

k x 2 ? k ( x ? k )(x ? k ) ② k ? 0 时, f ?( x) ? x ? ? , ? x x x
f ?( x) 、 f ( x) 随 x ? ?0,???的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(0, k )
- ↓

k
0 极小值

( k ,??)
+ ↑

f ( x)

所以,函数在 (0, k ) 上单调递减,在 ( k ,??) 上单调递增, 在x?

???????8 分 ???????10 分

k 时取到极小值: f ( k ) ?

1 1 k k ? k ? ln k ? (1 ? ln k ) 2 2 2

(3)设 g ( x) ?

2 3 x , k ? ?1 ,当 x ? (1,??) 时,比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3
11

∵ 令

1 2 2 x ? ln x ? x 3 2 3 1 2 F ( x) ? x 2 ? ln x ? x 3 ,则 2 3 f ( x) ? g ( x) ?

F ?( x) ? x ?
∵ x>1 , 又 F (1) ? ?

1 (1 ? x)(2 x 2 ? x ? 1) ? 2x 2 ? x x

????????????12 分

∴ F ?( x) <0 ,

函数 F ( x) 在区间(1,+∞)上单调递减.

1 ? 0 , ∴ F ( x) 在区间(1,+∞)上,恒有 F ( x) <0 6 1 2 2 x ? ln x ? x 3 , 即 2 3
即: f ( x) < g ( x) ???????????????????14 分

12


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