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高考数学参数方程


高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念, 了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义, 掌握参 数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程 化为 直角坐标方程, 会根据所给条件建立直线、 圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的 参数 方程或极坐标方程

求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点 Po(x0,y0),倾斜角为α 的直线 l(如图)的参数方程是?
? x ? x 0 ? t cos a ? ? y ? y 0 ? t sin a

(t 为参数)
b a

(2)一般式 过定点 P0(x0,y0)斜率 k=tgα =
? x ? x 0 ? at (t 不参数) ? ? y ? y 0 ? bt

的直线的参数方程是


2 2

在一般式②中,参数 t 不具备标准式中 t 的几何意义,若 a +b =1,②即为标准式,此 2 2 时, | t|表示直线上动点 P 到定点 P0 的距离;若 a +b ≠1,则动点 P 到定点 P0 的距离是
a ?b
2 2

|t|.

直线参数方程的应用 设过点 P0(x0,y0),倾斜角为α 的直线 l 的参数方程是
? x ? x 0 ? t cos a ? ? y ? y 0 ? t sin a

(t 为参数)

若 P1、P2 是 l 上的两点,它们所对应的参数分别为 t1,t2,则 (1)P1、P2 两点的坐标分别是 (x0+t1cosα ,y0+t1sinα ) (x0+t2cosα ,y0+t2sinα ); (2)|P1P2|=|t1-t2|; (3)线段 P1P2 的中点 P 所对应的参数为 t,则 t=
t1 ? t 2 2 t1 ? t 2 2

中点 P 到定点 P0 的距离|PP0|=|t|=| (4)若 P0 为线段 P1P2 的中点,则 t1+t2=0.?



2.圆锥曲线的参数方程
? x ? a ? r cos ? (1)圆 圆心在(a,b),半径为 r 的圆的参数方程是 ? (φ 是参数)? ? y ? b ? r sin ?

φ 是动半径所在的直线与 x 轴正向的夹角,φ ∈[0,2π ](见图) (2)椭圆 椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的参数方程是

? x ? a cos ? ? ? y ? b sin ?

(φ 为参数)

椭圆

y a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的参数方程是?

? x ? b cos ? (φ 为参数) ? ? y ? a sin ?

3.极坐标? 极坐标系 在平面内取一个定点 O, O 引一条射线 Ox, 从 选定一个单位长度以及计算角 度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O 点叫做极点, 射线 Ox 叫 做极轴.? ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素, 缺一不可. 点的极坐标 设 M 点是平面内任意一点,用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表示射线 Ox 到 OM 的角度 ,那么ρ 叫做 M 点的极径,θ 叫做 M 点的极角,有序数对(ρ ,θ )叫做 M 点的极 坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? '
?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tg ? ? ( x ? 0 ) x ?

三、知识点、能力点提示 (一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化 2 2 例 1 在圆 x +y -4x-2y-20=0 上求两点 A 和 B, 使它们到直线 4x+3y+19=0 的距离分别最 短和最长. 解: 将圆的方程化为参数方程:

? x ? 2 ? 5 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 1 ? 5 sin ?

则 圆 上 点 P 坐 标 为 (2+5cos ? , 1+5sin ? ) , 它 到 所 给 直 线 之 距 离 d=
120 cos ? ? 15 sin ? ? 30 4 ?3
2 2

故当 cos(φ -θ )=1, 即φ =θ 时 , 最长, d 这时, A 坐标为(6, 当 cos(φ -θ )=-1, 点 4); 即θ =φ -π 时,d 最短,这时,点 B 坐标为(-2,2). (二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化 说明 这部分内容自 1986 年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出现. 例2 A.直线 线
1? ? 1 2 cos ? )] 1 2 1 ? sin( ? ?

极坐标方程ρ =

1 2? 3 sin ? ? cos ?

所确定的图形是( C.双曲

) D. 抛 物

B.椭圆

解: ρ =
2[1 ? ( 3 2

1 ?

?
6

)

(三)综合例题赏析 例3
? x ? 3 ? cos ? 椭圆 ? ( ? 是参数 )的两个焦点坐标是 ? y ? ? 1 ? 5 sin ?





A.(-3,5),(-3,-3) C.(1,1),(-7,1) 解:化为普通方程得
2 2 2

B.(3,3),(3,-5)? D.(7,-1),(-1,-1)?
2

( x ? 3) 9

?

( y ? 1) 25

2

?1

∴a =25,b =9,得 c =16,c=4. ∴F(x-3,y+1)=F(0,±4) ∴在 xOy 坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5). 应选 B. 例 4 参数方程
? ? ? ? x ? cos ? sin ? 2 2 ( 0 ? ? ? 2? ) 表示 ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ) ? 2 ?

A.双曲线的一支,这支过点(1,
1 2

1 2

)

B.抛物线的一部分,这部分过(1,

)

C.双曲线的一支,这支过(-1,
1 2

1 2

)

D.抛物线的一部分,这部分过(-1,

) 解:由参数式得 x =1+sinθ =2y(x>0) 即 y=
1 2
2

x (x>0).

2

∴应选 B. 例5
? x ? sin ? 在方程 ? (θ 为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( ? y ? cos ?

)?

A.(2,-7) ?

B.(

1 3



2 3

)?

C.(

1 2



1 2

)

D.(1, 0)

解:y=cos2 ? =1-2sin2 ? =1-2x2 将 x=
1 2

代入,得 y=

1 2

∴应选 C. 2 例 6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程 x -y=0 表示同一曲线的方程是(
?x ? t A. ? ?y ? t
? x ? tgt ? D. ? 1 ? cos 2 t ?y ? 1 ? cos 2 t ?
2

)

? x ? cos t B. ? 2 ? y ? cos t

C.

? x ? tgt ? 1 ? cos 2 t ? ?y ? 1 ? cos 2 t ?

解:普通方程 x -y 中的 x∈R,y≥0,A.中 x=|t|≥0,B.中 x=cost∈〔-1,1〕 ,故排 除 A.和 B. C.中 y=
2 cos t 2 sin
2 2

=ctg t=

2

1 tg t
2

?

1 x
2

=,即 x y=1,故排除 C.

2

t

∴应选 D. 例7 曲线的极坐标方程ρ =4sinθ 化 成直角坐标方程为( )? 2 2 2 2 2 2 A.x +(y+2) =4 B.x +(y-2) =4 C.(x-2) +y =4 2 2 D.(x+2) +y =4 ? 解:将ρ = x 2 ? y 2 ,sinθ = ∴应选 B. 例8 极坐标ρ =cos(
?
4 ? ? )表示的曲线是(
y x ? y
2 2

代入ρ =4sinθ ,得 x +y =4y,即 x +(y-2) =4.

2

2

2

2

)? C.抛物线 D.圆

A.双曲线

B.椭圆

解:原极坐标方程化为ρ =

1 2

(cosθ +sinθ ) ?

2 ? =ρ cosθ +ρ sinθ ,
2

∴普通方程为 2 (x +y )=x+y,表示圆. 应选 D. 例9 在极坐标系中,与圆ρ =4sinθ 相切的条直线的方程是( )? A.ρ sinθ =2 B.ρ cosθ =2 C.ρ cosθ =-2 D.ρ cosθ =-4 例9图 解:如图. ⊙C 的极坐标方程为ρ =4sinθ ,CO⊥OX,OA 为直径,|OA|=4,l 和圆相切, l 交极轴于 B(2,0)点 P(ρ ,θ )为 l 上任意一点,则有 cosθ =
OB OP ? 2

2

2

?

,得ρ cosθ =2,

∴应选 B. 例 10 A.圆 线
2

?

4ρ sin 2 =5 表示的曲线是( B.椭圆

) C.双曲线的一支 D. 抛 物

? cos ? ? 1 2 解:4ρ sin 2 =5 ? 4ρ ? ? 2 ? ? 2 ? cos ? ? 5 .
2

把ρ = x 2 ? y 2 2
x ? y
2 2

ρ cosθ =x,代入上式,得

=2x-5.?
2

平方整理得 y =-5x+

25 4

. .它表示抛物线.

∴应选 D. 2 例 11 极坐标方程 4sin θ =3 表示曲线是( A.两条射线 B.两条相交直线 线 解:由 4sin θ =3,得 4? ∴应选 B.
2

) C.圆

D. 抛 物

y
2

2 2

x ? y

=3,即 y =3 x ,y=± 3 x ,它表示两相交直线.

2

2

四、能力训练 (一)选择题? 1.极坐标方程ρ cosθ =
4 3

表示(

)? B.一条垂直于 x 轴的直线

A.一条平行于 x 轴的直线

C.一个圆

D.一条抛物线 )?

? x ? 2 cos ? 2.直线:3x-4y-9=0 与圆: ? (? 为参数 ) 的位置关系是( ? y ? 2 sin ? ,

A.相切 B.相离? C.直线过圆心 D.相交但直 线不过圆心? 3.若(x,y)与(ρ ,θ )(ρ ∈R)分别是点 M 的直角坐标和极坐标,t 表示参数,则下列 各组曲 线:①θ =
?
6

和 sinθ =

1 2

;②θ =

?
6

和 tgθ =

3 3

,③ρ -9=0 和ρ = 3;④

2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 和 ? x ? 2 ? 2t ? ? ?y ? 3 ? t ?y ? 3 ? 1 t ? 2 ?

其中表示相同曲线的组数为( )? A.1 B.2 C.3 D.4 ? 4.设 M(ρ 1,θ 1),N(ρ 2,θ 2)两点的极坐标同时满足下列关系:ρ 1+ρ 2=0 ,θ 1+θ 2=0, 则 M,N 两点位置关系是( )? ? A.重合 B.关于极点对称 C.关于直线θ = D. 关 于 极 轴
2

对称? 5.极坐标方程ρ =sinθ +2cosθ 所表示的曲线是( )? A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 ? 6.经过点 M(1, 5)且倾斜角为 的直线, 以定点 M 到动点 P 的位移 t 为参数的参数方程
3

是(

)
1 ? ?x ? 1 ? 2 t ? A. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ? 1 ? ?x ? 1 ? 2 t ? B. ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ? 1 ? ?x ? 1 ? 2 t ? ? ?y ? 5 ? 3 t ? 2 ?

C.

? 3 t ?y ? 1? ? 2 D. ? ?x ? 5 ? 1 t ? 2 ?
2 ? m ? 2m x ? a? 2 ? ? m ? 2m ? 2 7.将参数方 ? (m 是参数,ab≠0)化为普通方程是( 2m ? 2 ?y ? b ? 2 ? m ? 2m ? 2 ?

)?

A.

x2 a x a
2

?

y b

2 2

? 1( x ? a )

B.

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( x ? ? a )

2 2

C.

?

y b

2 2

? 1( x ? a )

D.
?
6

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( x ? ? a )

8.已知圆的极坐标方程ρ =2sin(θ + A.(1, ?
3

),则圆心的极坐标和半径分别为( C.(1,
?
3

) D.(1,

?
3

),r=2

B.(1,

?
6

),r=1

),r=1

),r=2
1 ? ?x ? t ? 9.参数方程 ? t (t 为参数)所表示的曲线是( ? y ? ?2 ?

)?

A.一条射线 直线

B.两条射线

C.一条直线

D. 两 条

? x ? ? 2 ? tg ? 10.双曲线 ? (θ 为参数)的渐近线方 程为( ? y ? 1 ? 2 sec ?

)?

A.y-1= ?

1 2

( x ? 2)

B.y= ?

1 2

x

C.y-1=

? 2( x ? 2)

D.y+1= ? 2 ( x ? 2 )
? x ? 4 ? at 2 2 11.若直线 ? ( (t 为参数)与圆 x +y -4x+1=0 相切,则直线的倾斜角为( ? y ? bt

)

? A. 或
5? 3

?
3

B.

2? 3

C.

?
3



2? 3

D.

?
3

? x ? 2 pt 2 12.已知曲线 ? (t 为参数)上的点 M,N 对应的参数分别为 t 1,t2,且 t1+t2=0, ? y ? 2 pt

那么 M,N 间的距离为( )? 2 2 A.2p(t1+t2) B.2p(t 1+t 2)? C. │ 2p(t1-t2) │ D.2p(t1-t2)2 ? 2 2 13.若点 P(x,y)在单位圆上以角速度ω 按逆时针方向运动,点 M(-2xy,y -x )也在单位 圆上运动,其运动规律是( )? A.角速度ω ,顺时针方向 B.角速度ω ,逆时针方向 C.角速度 2ω ,顺时针方向 D.角速度 2ω ,逆时针方向 2 2 14.抛物线 y=x -10xcosθ +25+3sinθ -25sin θ 与 x 轴两个交点距离的最大值是( )?

A.5 15.直线ρ = A. ? ? C. ? ?
3 2 cos ? ? sin ? 3

B.10 与直线 l 关于直线θ =
?

C.2 3

D.3 ? )

(ρ ∈R)对称,则 l 的方程是( B. ? ? D. ? ?
3 2 cos ? ? cos ? 3 cos ? ? 2 sin ?

4

2 cos ? ? sin ? 3 cos ? ? 2 sin ?

(二)填空题?
4 ? ?x ? 3 ? 5 t ? 16.若直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数), 则过点(4, -1)且与 l 平行的直线 3 ? y ? ?2 ? t ? 5 ?

在 y 轴上的截距为 .
cos ? ? ? x ? 1 ? cos ? ? 17.参数方程 ? ( ? 为参数)化成普通方程为 sin ? ?y ? ? 1 ? cos ? ?

.

18.极坐标方程ρ =tgθ secθ 表示的曲线是
? x ? ? 1 ? 3t 19.直线 ? (t 为参数)的倾斜角为 ? y ? 2 ? 3t

. ;直线上一点 P(x ,y)与点 M(-1,

2)的距离为 (三)解答题 20.设椭圆 ? 点 P 的坐标.

.
?
3

? x ? 4 cos ? ? y ? 2 3 sin ?

(θ 为参数) 上一点 P,若点 P 在第一象限,且∠xOP=

,求

? x ? 2 pt 2 21.曲线 C 的方程为 ? (p>0,t 为参数),当 t∈[-1,2]时 ,曲线 C 的端 ? y ? 2 pt

点为 A,B,设 F 是曲线 C 的焦点,且 S△AFB=14,求 P 的值. 22.已知椭圆
x
2

? y =1 及点 B(0,-2),过点 B 作直线 BD,与椭圆的左 半部分交于 C、
2

2

D 两点,又过椭圆的右焦点 F ? 2 作平行于 BD 的直线,交椭圆于 G,H 两点.? 2 (1)试判断满足│BC│?│BD│=3│GF │?│F2H│成立的直线 BD 是否存在?并说明理 由 . (2)若点 M 为弦 CD 的中点,S△BMF2=2,试求直线 BD 的方程.
? x ? 8 ? 4 sec ? 23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 ? (θ 为参数)的左焦点 ? y ? 3 tg ?

和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为
x a
2 2

9 4

,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.

24.A,B 为椭圆 值和最小值. 25.已知椭圆
x
2

?

y b

2 2

=1,(a>b>0) 上的两点,且 OA⊥OB,求△AOB 的面积的最大

?

y

2

=1, 直线 l∶

x 12

?

y 8
2

=1, 是 l 上一点, P 射线 OP 交椭圆于点 R,

24

16

又点 Q 在 OP 上且 满足│OQ│? │OP│=│OR│ , 当点 P 在 l 上移动时, 求点 Q 的轨迹方程. 并说明轨迹是什么曲线.

参考答案 (一)1.B 2.D 3.C 4.C


5.B

6.A 7.A

8.C 9.B

10.C

11.C 12.C

13.C

14.C 15.D ?

(二)16.-4;17.y =-2(x-

1 2

),(x≤

1 2

);18.抛 物线;19.135°,|3

2 t|

(三)20.(

8 5 4 15 2 3 , ; );21. 5 5 3

? 22.(1)不存在,(2)x+y+2=0;23.

1 5

(27-3

41 );24.Smax=

ab 2

,smax=

a b
2

2

2 2

a ?b

;

25.

( x ? 1) 5 2

2

?

( y ? 1) 5 2

2

=1(x,y)不同时为零)


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