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江苏省南京、盐城市2013届高三数学第三次模拟考试试题(含解析)苏教版


2013 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 分) (5 (2013?盐城三模)记函数 f(x)= 则 A∩B= (1,3] . 考点: 对数函数的定义域;交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先由条件求得 A 和 B,再由两个集合的交集的定义求得 A∩B. 解答: 解:∵函数 f(x)= 的定义域为 A,∴A={x|x≤3}. ∵函数 g(x)=lg(x﹣1)的定义域为 B,∴B={x|x>1}. ∴A∩B={x|1<x≤3}=(1,3], 故答案为 (1,3]. 点评: 本题主要考查求函数的定义域,两个集合的交集的求法,集合的表示法,属于基础题. 2. 分) (5 (2013?盐城三模)已知复数 z 满足(z+1)i=3+5i,其中 i 为虚数单位,则|z|= 5 . 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 化简复数求出 z 的表达式,然后求解复数的模即可. 解答: 解:因为复数 z 满足(z+1)i=3+5i, 所以 z+1= 所以 z= = , = =5. 的定义域为 A,函数 g(x)=lg(x﹣1)的定义域为 B,

两边求模可得:|z|=

故答案为:5. 点评: 本题考查复数的模的求法,复数积的模等于复数模的积,考查计算能力. 3. 分) (5 (2013?盐城三模)某算法的伪代码如图所示,若输出 y 的值为 3,则输入 x 的值为 8 .

考点: 伪代码. 专题: 图表型. 分析: 根据伪代码可知该题考查一个分段函数 y=

,再利用输出值为 3,即可求得输入值.

1

解答: 解:本题的伪代码表示一个分段函数 y= ∵输出值为 3 ∴ 或

∴x=8 ∴输入值 x=8 故答案为:8. 点评: 本题考查算法知识,考查学生的阅读能力,解题的关键是确定伪代码表示一个分段函数,属于基础 题.

4. 分) (5 (2013?盐城三模) 如图是 7 位评委给某作品打出的分数的茎叶图, 那么这组数据的方差是



考点: 茎叶图;极差、方差与标准差. 专题: 图表型. 分析: 根据所给的茎叶图,看出七个数据,根据方差的计算方法,把七个数字求出平均数和方差即得. 解答: 解:由茎叶图知,七个数据为 88,89,89,90,91,91,92, 平均数为 方差为 90) ]=
2 2 2

=90; [(88﹣90) +(89﹣90) +(89﹣90) +(90﹣90) +(91﹣90) +(91﹣90) +(92﹣ . .
2 2 2 2

故答案为:

点评: 茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识,也是高考的新增内容,考生应引起足够的重视, 确保稳拿这部分的分数. 5. 分) (5 (2013?盐城三模) 已知函数 f (x) =2sin (ω x+? ) >0) (ω 的部分图象如图所示, ω = 则



考点: 由 y=Asin(ω x+φ )的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由函数的图象可得 = ,解方程求得 ω 的值.
2

解答:

解:由函数的图象可得 故答案为 .

=

=

,解得 ω = ,

点评: 本题主要考查利用 y=Asin(ω x+?)的部分图象求函数的解析式,根据周期求出 ω 的值,属于中档 题. 6. 分) (5 (2013?盐城三模)在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片,现从中一次取出 2 张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 从标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中一次取出 2 张卡片,共有

种方法;其中取到的卡片上的

数字之积为偶数分为两种情况:一类是取得的两个数字都是偶数:只有一种情况(2,4) ;另一类是 一个偶数和一个奇数,有 =6 种情况,再利用古典概型的概率计算公式即可得出. =10 种方法,

解答: 解:从标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中一次取出 2 张卡片,共有

其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况:一类是取得的两个数字都是偶数:只有一种情 况(2,4) ; 另一类是一个偶数和一个奇数,有 共有 1+6=7, ∴取到的卡片上的数字之积为偶数的概率 P= 故答案为 . . =6 种情况,因此取到的卡片上的数字之积为偶数的情况

点评: 熟练掌握组合的计算公式和意义、古典概型的概率计算公式、分类讨论的思想方法是解题的关键.

7. 分) (5 (2013?盐城三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 =λ ,则实数 λ 的值为 2 .

=(3,﹣1) ,

=(0,2) .若

?

=0,

考点: 平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据向量 、 的坐标,得到 =(﹣3,3) ,设 ﹣3,n+1)=λ 解答: 解:∵ ∴ =

=(m,n)可得

?

=﹣3m+3n=0.而

=(m

,得到 m﹣3=0 且 n+1=2λ ,两式联解即可得到实数 λ 的值. =(0,2)

=(3,﹣1) , ﹣

=(﹣3,3)
3

设 又∵

=(m,n) ,可得

?

=﹣3m+3n=0?① =λ ,

=(m﹣3,n+1) ,

∴m﹣3=0 且 n+1=2λ ?② 将①②联解,可得 m=﹣3,n=﹣3,λ =2 故答案为:2 点评: 本题给出向量 、 的坐标,再 ? =0 且 =λ 的情况下求实数 λ 的值.着重考查了向量的

平行与垂直、平面向量数量积的运算性质等知识,属于基础题. 8. 分) (5 (2013?盐城三模)已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面. ①若 m? α ,m⊥β ,则 α ⊥β , ②若 m? α ,α ∩β =n,α ⊥β ,则 m⊥n; ③若 m? α ,n? β ,α ∥β ,则 m∥n; ④若 m∥α ,m? β ,α ∩β =n,则 m∥n. 上述命题中为真命题的是 ①④ (填写所有真命题的序号) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①由线面垂直的判定定理可知正确;②m 与 n 可能平行可能相交;③m 与 n 可能平行或异面;④由线 面平行的性质定理可知正确. 解答: 解:选项①正确,由线面垂直的判定定理可知:若 m? α ,m⊥β ,则 α ⊥β ; 选项②错误,若 m? α ,α ∩β =n,α ⊥β ,则 m 与 n 可能平行可能相交; 选项③错误,若 m? α ,n? β ,α ∥β ,则 m 与 n 可能平行或异面; 选项④正确,由线面平行的性质定理可知:若 m∥α ,m? β ,α ∩β =n,则 m∥n. 故答案为:①④ 点评: 本题考查命题真假的判断,涉及线面位置关系的确定,属基础题. 9. 分) (5 (2013?盐城三模)如图,在△ABC 中,B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为 .

考点: 余弦定理. 专题: 综合题. 分析: 先根据余弦定理求出∠ADC 的值,即可得到∠ADB 的值,最后根据正弦定理可得答案. 解答: 解:在△ADC 中,AD=5,AC=7,DC=3, 由余弦定理得 cos∠ADC= ∴∠ADC=120°,∠ADB=60°
4

=﹣ ,

在△ABD 中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理得 ∴AB= 故答案为: . ,

点评: 本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用, 在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理. 属 基础题. 10. 分) (5 (2013?盐城三模)记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) .如果存在 x0∈[a,b], 使得 f(b)﹣f(a)=f′(x0) (b﹣a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么 3 函数 f(x)=x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上“中值点”的个数为 2 . 考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. ′ 分析: 利用导数的运算法则得出 f (x) ,分别计算出 f(2)﹣f(﹣2) ,2﹣(﹣2) ,利用 f(2)﹣f(﹣ 2)=f′(x0)[2﹣(﹣2)],即可解出. 3 ′ 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣3x,∴f (x)=3x ﹣3. 3 3 又 f(2)﹣f(﹣2)=2 ﹣3×2﹣[(﹣2) ﹣3×(﹣2)]=4,2﹣(﹣2)=4. 设 x0∈[﹣2,2]为函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的“中值点”. ′ ′ 则 4f (x0)=4,得 f (x0)=1. ∴ ,解得
3

. ,其个数为 2.

∴函数 f(x)=x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上“中值点”为

故答案为 2. 点评: 正确理解“中值点”,熟练掌握导数的运算法则是解题的关键.

11. 分) (5 (2013?盐城三模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 是双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的

右焦点,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 A,延长 FA 与另一条渐近线交于点 B.若 则双曲线的离心率为 2 .

=2



考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先由 =2 ,得出 A 为线段 FB 的中点,再借助于图象分析出其中一条渐近线对应的倾斜角的度数, 找到 a,b 之间的等量关系,进而求出双曲线的离心率. 解答: 解:如图因为 =2 ,所以 A 为线段 FB 的中点,∴∠2=∠4,又∠1=∠3,

∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3. 故∠2+∠3=90°=3∠2? ∠2=30°? ∠1=60°? .

5



,e =4? e=2.

2

故答案为:2.

点评: 本题是对双曲线的渐进线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题. 12. 分) (5 (2013?盐城三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:x +y ﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m ﹣6m=0, 直线 l 经过点(1,0) .若对任意的实数 m,定直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,则直线 l 的方程为 2x+y ﹣2=0 . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆的方程求出圆心和半径,由题意可得圆心 C 到直线 l 的距离为定值.当直线 l 的斜率不存在 时,经过检验不 符合条件.当直线 l 的斜率存在时,直线 l 的方程为 y﹣0=k(x﹣1) ,圆心 C 到直线 l 的距离为定 值求得 k 的值,从而求得 直线 l 的方程. 2 2 2 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m ﹣6m=0 即[x﹣(3﹣m)] +(y﹣2m) =9,表示以 C(3﹣m, 2m)为圆心,半径等于 3 的圆. ∵直线 l 经过点(1,0) ,对任意的实数 m,定直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,则圆心 C 到直线 l 的距离为定值. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,圆心 C 到直线 l 的距离为|m﹣3﹣1|=|m﹣4|,不 是定值. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y﹣0=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 此时,圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 为定值,与 m 无关,
2 2 2

故 k=﹣2,故直线 l 的方程为 y﹣0=﹣2(x﹣1) ,即 2x+y﹣2=0, 故答案为 2x+y﹣2=0. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,体现了分类讨论的数学 思想,属于中档题 13. 分) (5 (2013?盐城三模)已知数列{an}的通项公式为 an=﹣n+p,数列{bn}的通项公式为 bn=2 cn=
* n﹣5

.设

,若在数列{cn}中,c8>cn(n∈N ,n≠8) ,则实数 p 的取值范围是 (12,17) .
6

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的函数特性. 专题: 综合题;分类讨论;等差数列与等比数列. 分析: 由 cn 表达式知 cn 是 an,bn 中的较小者,易判断{an}是递减数列,{bn}是递增数列,由 c8>cn(n≠8) 知 c8 是 cn 的最大者,从而可知 n=1,2,3,?7,8 时,cn 递增,n=8,9,10,?时,cn 递减,进而 可知 an 与 bn 的大小关系,且 c8=a8 或 c8=b8,分两种情况讨论,当 c8=a8 时,a8>b7,当 c8=b8 时,b8> a9,分别解出 p 的范围,再取并集即可; 解答: 解:当 an≤bn 时,cn=an,当 an>bn 时,cn=bn,∴cn 是 an,bn 中的较小者, n﹣5 因为 an=﹣n+p,所以{an}是递减数列;因为 bn=2 ,所以{bn}是递增数列, 因为 c8>cn(n≠8) ,所以 c8 是 cn 的最大者, 则 n=1,2,3,?7,8 时,cn 递增,n=8,9,10,?时,cn 递减, n﹣5 因此,n=1,2,3,?7 时,2 <﹣n+p 总成立, 7﹣5 当 n=7 时,2 <﹣7+p,∴p>11, n﹣5 n=9,10,11,?时,2 >﹣n+p 总成立, 9﹣5 当 n=9 时,2 >﹣9+p,成立,∴p<25, 而 c8=a8 或 c8=b8, 3 若 a8≤b8,即 2 ≥p﹣8,所以 p≤16, 则 c8=a8=p﹣8, 7﹣5 ∴p﹣8>b7=2 ,∴p>12, 故 12<p≤16, 8﹣5 若 a8>b8,即 p﹣8>2 ,所以 p>16, 3 ∴c8=b8=2 , 那么 c8>c9=a9,即 8>p﹣9, ∴p<17, 故 16<p<17, 综上,12<p<17. 故答案为: (12,17) . 点评: 本题考查等差数列、等比数列的综合、数列的函数特性,考查分类讨论思想,考查学生分析问题解 决问题的能力,考查学生逻辑推理能力,难度较大. 14. 分) (5 (2013?盐城三模)设点 P 是曲线 y=x 上的一个动点,曲线 y=x 在点 P 处的切线为 l,过点 P 且 与直线 l 垂直的直线与曲线 y=x 的另一交点为 Q,则 PQ 的最小值为
2 2 2



考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 设出 P 点坐标,求导得直线 l 的斜率,则过点 P 且与直线 l 垂直的直线方程可求,和抛物线联立后 求出 Q 点的坐标,利用两点式写出 PQ 的距离,先利用换元法降幂,然后利用导数求最值. 2 解答: 解:设 ,由 y=x 得 , 所以过点 P 且与直线 l 垂直的直线方程为 联立 y=x 得: 设 Q(x1,y1) ,则 ,所以
2

. . ,

7



所以|PQ|= =

=



令 t= g(t)=

. .






当 t∈(0,2)时,g (t)<0,g(t)为减函数, ′ 当 t∈(2,+∞)时,g (t)>0,g(t)为增函数, 所以 所以 PQ 的最小值为 故答案为 . . .

点评: 本题考查了利用导数求曲线上某点的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,解答此题的关键是 把高次幂的函数式通过换元降幂,是中档题. 二、解答题:本大题共 8 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (14 分) (2013?盐城三模)已知 α ,β ∈(0,π ) ,且 tanα =2,cosβ =﹣ (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α ﹣β 的值. 考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 2 2 分析: (1)利用二倍角的余弦函数,通过分母“1=sin α +cos α ”的代换,然后化简分式 2tanα 的形式, 代入数值全家健康. (2)通过 α ,β 的范围求出 sin2α ,sinβ ,通过二倍角的正弦函数,求出 sin(2α ﹣β )的值, 结合角的范围求出角的大小即可. .

8

解答: 解: (1)cos2α =cos α ﹣sin α =
2 2

=



因为 tanα =2,所以



所以 cos2α =



(2)因为 α ∈(0,π ) ,且 tanα =2,所以 又 cos2α = ,∴ . , , ,

因为 β ∈(0,π ) ,cosβ =﹣ 所以 ,

所以 sin(2α ﹣β )=sin2α cosβ ﹣cos2α sinβ = =﹣ 又 ∴2α ﹣β =﹣ . , ,

点评: 本题考查同角三角函数的基本关系式,二倍角的余弦函数与两角和与差的三角函数的应用,考查计 算能力,注意角的范围是解题的关键. 16. (14 分) (2013?盐城三模)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A= C1B 的中点. (1)证明:EF∥平面 ABC; (2)证明:C1E⊥平面 BDE. AC,D,E,F 分别为线段 AC,A1A,

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)取 BC 的中点 G,连接 AG,FG,利用三角形的中位线定理即可得出

.利用三棱柱的

9

性质可得

,再利用平行四边形的判定和性质定理及线面平行的判定定理即可得出;

(2)利用面面垂直的性质即可得出 BD⊥侧面 ACC1A1.利用相似三角形的判定和性质即可得出 ,再利用线面垂直的性质定理即可证明. 解答: 证明: (1)如图所示,取 BC 的中点 G,连接 AG,FG. 又∵F 为 C1B 的中点,∴ 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∴ , . ,E 为 A1A 的中点,

∴四边形 AEFG 是平行四边形. ∴EF∥AG. ∵EF?平面 ABC,AG? 平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC. (2)∵点 D 是正△ABC 的 BC 边的中点,∴BD⊥AC, 由正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,可得侧面 ACC1A1⊥平面 ABC,∴BD⊥侧面 ACC1A1. ∴BD⊥C1E. ∵ ,

∴Rt△A1C1E∽Rt△AED, ∴∠A1EC1=∠ADE. ∴ ∴C1E⊥ED. ∵ED∩DB=D. ∴C1E⊥平面 BDE. ,

点评: 熟练掌握三角形的中位线定理、直三棱柱的性质可得

、平行四边形的判定和性质定理、线

面平行与垂直的判定定理、面面垂直的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键.
2

17. (14 分) (2013?盐城三模)已知函数 f(x)= m(x﹣1) ﹣2x+3+lnx,m∈R. (1)当 m=0 时,求函数 f(x)的单调增区间;

10

(2)当 m>0 时,若曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点,求实 数 m 的值. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的零点;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出 f′(x) ,在定义域内解不等式 f′(x)>0,即得 f(x)的单调增区间; (2) 先求切线方程为 y=﹣x+2, 再由切线 L 与 C 有且只有一个公共点, 转化为 m x﹣1)﹣x+1+lnx=0 ( 有且只有一个实数解,从而可求实数 m 的范围. 解答: 解: (1)当 m=0 时,函数 f(x)=﹣2x+3+lnx 由题意知 x>0,f′(x)=﹣2+ = 所以 f(x)的增区间为(0, ) . (2)由 f′(x)=mx﹣m﹣2+ ,得 f′(1)=﹣1, 知曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 的方程为 y=﹣x+2, 于是方程:﹣x+2=f(x)即方程
2 2

,令 f′(x)>0,得 0<x< 时,

m(x﹣1) ﹣x+1+lnx=0 有且只有一个实数根;

2

设 g(x)= m(x﹣1) ﹣x+1+lnx, (x>0) .

则 g′(x)=

=



①当 m=1 时,g′(x)= 故 m=1 符合题设;

≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且 g(1)=0,

②当 m>1 时,由 g′(x)>0 得 0<x< 或 x>1, 由 g′(x)= <0 得 <x<1,

故 g(x)在区间(0, )(1,+∞)上单调递增,在( 1, )区间单调递减, , 又 g(1)=0,且当 x→0 时,g(x)→﹣∞,此时曲线 y=g(x)与 x 轴有两个交点,故 m>1 不合题 意; ③当 0<m<1 时,由 g′(x)= 由 g′(x)=<0 得 1<x< , 故 g(x)在区间(0,1)(1, )上单调递增,在( ,+∞)区间单调递减, , 又 g(1)=0,且当 x→0 时,g(x)→+∞,此时曲线 y=g(x)与 x 轴有两个交点,故 0<m<1 不合 题意; ∴由上述知:m=1. 点评: 本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题,考查分析问题解决问题的能力,考查转化思想. >0 得 0<x<1 或 x> ,

11

18. (16 分) (2013?盐城三模)将一张长 8cm,宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段)将 2 2 纸片分成两部分,面积分别为 S1cm ,S2cm ,其中 S1≤S2.记折痕长为 lcm. (1)若 l=4,求 S1 的最大值; (2)若 S1:S2=1:2,求 l 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;基本不等式. 专题: 综合题;分类讨论;函数思想;导数的综合应用. 分析: (1)不妨设纸片为长方形 ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点 A 在面积为 S1 的部分内.折痕有下列三 种情形:①折痕的端点 M,N 分别在边 AB,AD 上;②折痕的端点 M,N 分别在边 AB,CD 上;③折痕 2 2 的端点 M,N 分别在边 AD,BC 上.易判断 l=4 为情形①,设 AM=xcm,AN=ycm,则 x +y =16.利用不 等式即可求得 S1 的最大值; (2)由题意知,长方形的面积为 S=6×8=48,因为 S1:S2=1:2,S1≤S2,所以 S1=16,S2=32,按三 种情形进行讨论:根据 S1 的面积可把折痕 l 表示为函数,根据函数的特点可用导数或二次函数性质 分别求得 l 的范围,综上即可求得 l 的范围; 解答: 解:如图所示:不妨设纸片为长方形 ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中点 A 在面积为 S1 的部分内.折痕 有下列三种情形:

情形①情形②情形③ ①折痕的端点 M,N 分别在边 AB,AD 上; ②折痕的端点 M,N 分别在边 AB,CD 上; ③折痕的端点 M,N 分别在边 AD,BC 上. (1)在情形②③中,MN≥6,故当 l=4 时,折痕必定是情形①. 2 2 设 AM=xcm,AN=ycm,则 x +y =16. 2 2 因为 x +y ≥2xy,当且仅当 x=y 时取等号, 所以 ,当且仅当 x=y=2 时取等号,即 S1 的最大值为 4.

(2)由题意知,长方形的面积为 S=6×8=48, 因为 S1:S2=1:2,S1≤S2,所以 S1=16,S2=32. 当折痕是情形①时,设 AM=xcm,AN=ycm,则 ,即 y= ,



,解得



所以 l=

=





设f (x) = x>0,

, x>0, 则

=



12

故当 x∈( 递增,且 f(

)时 f′(x)<0,f(x)递减,当 x∈(4 )=64 ,f(8)=80, ].

,8)时,f′(x)>0,f(x)

所以 f(x)的取值范围为[64,80],从而 l 的范围是[8,4 当折痕是情形②时,设 AM=xcm,DN=ycm,则

,即 y=





,解得 0



所以 l= 所以 l 的范围为[6,

= ];

,0



当折痕是情形③时,设 BN=xcm,AM=ycm,则 由 ,得 0≤x≤4,所以 l= =

,即 y=4﹣x, ,0≤x≤4,

所以 l 的取值范围为[8,4 ], 综上,l 的取值范围为[6, ]. 点评: 本题考查利用导数、不等式求函数的最值,考查分类讨论思想、函数思想、数形结合思想,考查学 生分析解决问题的能力.

19. (16 分) (2013?盐城三模)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

+

=1.

(1)若椭圆 C 的焦点在 x 轴上,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=6, ①P 是椭圆 C 上的动点,M 点的坐标为(1,0) ,求 PM 的最小值及对应的点 P 的坐标; ②过椭圆 C 的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线 l 交 x 轴 于点 N,证明: 是定值,并求出这个定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由焦点在 x 轴上得,m>8﹣m>0,解出即可; (2)①设点 P 坐标为(x,y) ,则
2

,由两点间距离公式可表示出 PM ,根据二次函数的性

2

质即可求得 PM 的最小值,从而得到 PM 的最小值,注意 x 的取值范围;②易求焦点 F 的坐标及右准 线方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点 H(x0,y0) ,利用平方差法可用 H 坐标表示直线 AB 的斜率,用点斜式写出 AB 中垂线方程,从而得点 N 横坐标,进而得到线段 FN 的长,由第二定义可 表示出线段 AB 长, 是定值可证;

解答: 解: (1)由题意得,m>8﹣m>0,解得 4<m<8, 所以实数 m 的取值范围是(4,8) ;
13

(2)因为 m=6,所以椭圆 C 的方程为



①设点 P 坐标为(x,y) ,则 因为点 M 的坐标为(1,0) , 所以 PM =(x﹣1) +y = 所以当 x= 时,PM 的最小值为
2 2 2 2 2 2



=

= ) ;





,此时对应的点 P 坐标为(

②由 a =6,b =2,得 c =4,即 c=2, 从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0) ,右准线方程为 x=3,离心率 e= 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点 H(x0,y0) , 则 , , ,

两式相减得,

,即



令 k=kAB,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y﹣y0=﹣ (x﹣x0) , 令 y=0,则 xN=ky0+x0= , , |x0﹣3|.

因为 F(2,0) ,所以 FN=|xN﹣2|= 因为 AB=AF+BF=e(3﹣x1)+e(3﹣x2)= 故 = = ,即 为定值 .

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及椭圆的第二定义,考查学生综合运用知识 分析解决问题的能力,属中档题. 20. (16 分) (2013?盐城三模)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求证:数列{ }是等差数列; + . =2 成立,求数列{an}的通项公式;

(2)若 a1=1,且对任意正整数 n,k(n>k) ,都有 (3)记 bn= (a>0) ,求证: ≤

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)数列{an}为等差数列,等价于 an+1﹣an=d(d 为常数) ;

14

(2)已知数列前 n 项和公式求通项公式,需用公式 数列{an}的通项公式; (3)与不等式有关的数列证明题通常用放缩法来解决. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, (1)由于 ,从而

,整理化简即可得到



所以当 n≥2 时,

= ,

即数列{

}是等差数列. + =2 成立,

(2)∵对任意正整数 n,k(n>k) ,都有 ∴ 则 ,即数列{

}是等差数列,设其公差为 t, ,所以
2 2 2 2



所以当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=[1+(n﹣1)t] ﹣[1+(n﹣2)t] =2t n﹣3t +2t, 2 2 2 2 2 2 又由等差数列{an}中,a2﹣a1=a3﹣a2,即(4t ﹣3t +2t)﹣1=(6t ﹣3t +2t)﹣(4t ﹣3t +2t) 所以 t=1,即 an=2n﹣1. (3)由于 an=a1+(n﹣1)d, ,则 ,

即数列{bn}是公比大于 0,首项大于 0 的等比数列,记其公比是 q(q>0) . 以下证明:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. ∵(b1+bn)﹣(bp+bk)=
x

=



当 q>1 时,因为 y=q 为增函数,p﹣1≥0,k﹣1≥0, p﹣1 k﹣1 ∴q ﹣1≥0,q ﹣1≥0,∴b1+bn≥bp+bk; 当 q=1 时,b1+bn=bp+bk; x 当 q=1 时,因为 y=q 为减函数,p﹣1≥0,k﹣1≥0, p﹣1 k﹣1 ∴q ﹣1≤0,q ﹣1≤0,∴b1+bn≥bp+bk, 综上:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. ∴n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+?(b1+bn)≥(b1+bn)+(b2+bn﹣1)+?(bn+b1) =(b1+b2+?+bn)+(bn+bn﹣1+?+b1) , 即 .

点评: 本题考查数列的综合问题,属于较难的题目.注意在证明与数列有关的不等式时,放缩法也是解题 的法宝. 21. (10 分) (2013?盐城三模)如图,三棱锥 P﹣ABC 中,已知 PA⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 2 的正三角 形,D,E 分别为 PB,PC 中点. (1)若 PA=2,求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值; (2)若平面 ADE⊥平面 PBC,求 PA 的长.

15

考点: 异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)以 A 为坐标原点,过 A 且与 FB 平行的直线为 x 轴,AC 为 y 轴,AP 为 z 轴建立如图所示直角坐 标系.取 AC 的中点 F,连接 BF 则 BF⊥AC.根据题中数据可得 A、B、C、P、E 各点的坐标,从而得 到向量 、 的坐标,再用空间向量的夹角公式加以计算,结合异面直线所成的角的定义即可得到

直线 AE 与 PB 所成角的余弦值; (2)设 PA=a,可得 、 含有字母 a 的坐标形式,利用垂直向量数量积为 0 的方法建立方程组, =( a,a,2) ,同理得到平面 ADE 的一个法向量 ? =﹣ a ﹣a +4=0,解之得 a=
2 2

解出平面 PBC 的一个法向量为

=(﹣

a,

﹣a,2) ,由平面 ADE⊥平面 PBC 可得

,由此即可得到线段 PA

的长. 解答: 解: (1)如图,取 AC 的中点 F,连接 BF,则 BF⊥AC.以 A 为坐标原点,过 A 且与 FB 平行的直线为 x 轴,AC 为 y 轴,AP 为 z 轴建立空间直角坐标系,如图所示 则 A(0,0,0) ,B( ,1,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ∴ =( ,1,﹣2) , =(0,1,1) =

设直线 AE、PB 所成的角为 θ ,则 cosθ =

即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为 ; (2)设 PA=a,则 P(0,0,a) ,可得 设平面 PBC 的法向量为 =( ? ,1,﹣a) , =0 且 ? =(0,2,﹣a) =0

=(x,y,z) ,则



,令 z=2,得 y=a,x=



可得

=(

a,a,2)是平面 PBC 的一个法向量 , , ) ,E(0,1, )

∵D、E 分别为 PB、PC 中点,∴D(

16

因此,

=(

, , ) ,

=(0,1, ) , =(﹣ a,﹣a,2)

类似求平面 PBC 法向量 ∵平面 ADE⊥平面 PBC, ∴ ⊥ ,可得 ?

的方法,可得平面 ADE 的一个法向量

=﹣ a ﹣a +4=0,解之得 a= .

2

2

因此,线段 PA 的长等于

点评: 本题给出侧棱 PA 与底面△ABC 垂直的三棱锥, 求异面直线所成的角并在面面垂直的情况下求线段 PA 的长,着重考查了利用空间向量研究线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等 知识,属于中档题. 22. (10 分) (2013?盐城三模)如图,一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均 为 ,刚开始时,棋子在上底面点 A 处,若移了 n 次后,棋子落在上底面顶点的概率记为 pn. (1)求 p1,p2 的值; (2)求证: > .

考点: 综合法与分析法(选修) ;相互独立事件的概率乘法公式;数学归纳法. 专题: 证明题. 分析: (1)通过棋子移动结合路径直接求出 p1,利用棋子移动的情况直接求解 p2 的值; (2)通过棋子移动通过数列是等比数列求出 pn.然后利用数学归纳法证明 > .在

证明 n=k+1 时,利用分析法证明即可. 解答: 解: (1)棋子在上底面点 A 处,若移了 n 次后,棋子落在上底面顶点,棋子从 A 出发.由 3 条路径,

17

所以 p1= . 棋子移动两次,还在上底面时,有两种可能,p2= (2)因为移了 n 次后,棋子落在上底面顶点的概率为 pn. 故落在下底面顶点的概率为 1﹣pn. 于是,移了 n+1 次后,棋子落在上底面顶点的概率记为 pn+1= ,从而 pn+1﹣ = 所以数列{ , }是等比数列,首项为 公比为 ,所以 , = .

用数学归纳法证明:





①当 n=1 时左式=

,右式= ,因为

,所以不等式成立.

当 n=2 时,左式=

,右式= ,所以不等式成立;

②假设 n=k(k≥2)不等式成立,即



则 n=k+1 时,左式=

=



要证



只要证



即证:



只要证 只要证 3 ≥2k +6k+2, 因为 k≥2,所以
k+1 2



=6k +3=2k +6k+2+2k(2k﹣3)+1>2k +6k+2

2

2

2

所以



18

即 n=k+1 时不等式也成立,由①②可知



对任意 n∈N 都成立.

*

点评: 本题考查概率的应用,概率与数列相结合,数学归纳法与分析法证明不等式的应用,考查逻辑推理 能力与分析问题解决问题的能力. 三、 【选做题】在 23、24、25、26 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分.请在答题卡指定区域 内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 23. (10 分) (2013?盐城三模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,PA,PB 是⊙O 的切线,切点分别为 A,B,线段 OP 交⊙O 于点 C.若 PA=12,PC=6,求 AB 的长.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;直线与圆. 分析: 延长 PO 交⊙O 于 D 点,连接 AO,BO,AB 交 OP 于点 E.利用切割线定理即可得出⊙O 的半径 R,利用 切线长定理得到 PA=PB,由半径 OA=OB,于是可得 OP 垂直平分 AB.在 Rt△OAP 中,由面积即可得出 AE,从而得出 AB. 解答: 解:如图所示, 延长 PO 交⊙O 于 D 点,连接 AO,BO,AB 交 OP 于点 E. 2 ∵PA 与⊙O 相切,∴PA =PC?PD. 设⊙O 的半径为 R,∵PA=12,PC=6. 2 ∴12 =6(6+2R) ,解得 R=9. ∵PA,PB 与⊙O 都相切,∴PA=PB. 又∵OA=OB,∴OP 垂直平分 AB. 即 OP⊥AB,AB=2OE. 在 Rt△OAP 中, ∴ ∴ . = . .

点评: 熟练掌握圆的性质、切割线定理、切线长定理、线段的垂直平分线的判定与性质、“等积变形”是 解题的关键. 24. (2013?盐城三模)选修 4﹣2:矩阵与变换
19

已知矩阵 M=

对应的变换将点 A(1,1)变为 A′(0,2) ,将曲线 C:xy=1 变为曲线 C′.

(1)求实数 a,b 的值; (2)求曲线 C′的方程. 考点: 二阶矩阵;双曲线的标准方程;几种特殊的矩阵变换. 专题: 计算题. 分析: (1)先根据矩阵 M 对应的变换将点 A(1,1)变为 A′(0,2) ,建立二元一次方程组求出实数 a, b 的值; (2)由(1)得矩阵 M,然后设曲线 C:xy=1 上的任意一点 P(x',y') ,变换后的点为 P'(x,y) 的关系,将点 P(x',y')的坐标代入曲线 C:xy=1 的方程即可求出曲线 C′的方程. 解答: 解: (1)由已知得 M = ,即 = ,∴ ∴ .

(2)设点 P(x',y')是曲线 C:xy=1 上的任意一点,变换后的点为 P'(x,y)



=

,即

,解得



因为 x′y′=1,所以

=1,即

.即曲线 C′的方程为



点评: 本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程,考查运算求解能力及化归与转化思想. 25. (10 分) (2013?盐城三模) 选修 4﹣4: 坐标系与参数方程已知圆 C 的极坐标方程为 ρ =4cos (θ ﹣ 点 M 的极坐标为(6, ) ,直线 l 过点 M,且与圆 C 相切,求 l 的极坐标方程.

) ,

考点: 简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 直线与圆. 分析: 先把圆 C 极坐标方程化成直角坐标方程,得到圆心坐标和半径,再设直线 l 的直角坐标方程,由于 直线与曲线 C 相切,从而圆心到直线 l 的距离等于半径,可得直线的直角坐标方程,最后利用极坐 标与直线坐标之间的关系化成极坐标方程即可. 2 2 解答: 解:圆 C 的直角坐标方程为(x﹣ ) +(y﹣1) =4.?(3 分) 点 M 的直角坐标为(3 ,3) , 当直线 l 的斜率不存在时,不合题意; 当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为;y﹣3=k(x﹣3 ) , 圆心到直线的距离为 r=2,?(6 分) 因为圆心到直线 l 的距离 d= 所以 k=0 或 k= . 故所求直线的方程为 y=3 或 ,

x﹣y﹣6=0,

20

其极坐标方程为 ρ sinθ =3 或 ρ sin(

﹣θ )=3?(10 分)

点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,把参数方程化为普通方程的方法,点到直线 的距离公式的应用,直线和圆的位置关系,属于基础题. 26. (2013?盐城三模)选修 4﹣5:不等式选讲解不等式 x|x﹣4|﹣3<0. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 通过去掉绝对值符号,转化为二次不等式求解即可. 解答: 解:原不等式转化为: 或

解得



即 或 3<x<4 或 x<1. 综上不等式的解集为:{x|x<1 或 3<x<2+ }. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解题的关键,考查分类讨论思想的应用.

21


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