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四川省巴中市平昌中学2014-2015学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷


2014-2015 学年四川省巴中市平昌中学高二(下)第一次月考数 学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.角 α 的终边上有一点(1,﹣2) ,则 sinα=( ) A. ﹣ B. ﹣ C. D.

2.已知 A. B. C.

r />,则 cosα 的值是( D.



3.已知向量 A. B. C. D.

,且

∥ ,则 tanα=(



4.sin135°cos15°﹣cos45°sin(﹣15°)的值为( A. B. C. D.



5.下列函数中,周期为 π,且在 A. D. B.

上为减函数的是( C.



6.已知 A. B. C.

,则 sin2x 的值是( D.



7.已知点 A(﹣1,1) 、B(1,2) 、C(﹣2,﹣1) 、D(3,4) ,则向量 投影( A. ) B. C. ﹣ D. ﹣



方向上的

8.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A. 向右平移 C. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 个单位

cos3x 的图象(



9.函数 y=cos x+2sinx 在区间 A. 1 B. 2 C. ﹣ D. 3

2

上的最大值为(



10.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)=

,且当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=|x|,

函数 g(x)=

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]上的零点的

个数为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.化简 sin2α= .

12.满足不等式

,x∈(0,2π)的角 x 的集合是



13. 在△ ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若

=2

, =

, 则 λ=



14. 已知定义在 R 上的奇函数 ( f x) 是以 π 为最小正周期的周期函数, 且当 f(x)=sinx,则 的值为 .

时,

15.下列命题中,正确的是

(填写所有正确结论的序号)

①向量 与向量 平行,则 与 的方向相同或相反; ②在△ ABC 中,点 O 为平面内一点,若满足 的外心; ③函数 的对称中心为 ,则点 O 为△ ABC

④在△ ABC 中,若 sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,则△ ABC 的形状一定是直角 三角形.

三.解答题 (本大题共 6 小题, 共 75 分. 请在答题卡指定区域作答, 解题时应写出文字说明、 解题步骤或证明过程.) 16. (12 分) (2014 春?亭湖区校级期末)A、B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴 正半轴的交点,点 B 在第二象限.记∠AOB=θ 且 sinθ= . (1)求 B 点坐标; (2)求 的值.

17. (12 分) (2014?广东)已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0, ) ,求 f(

) ,x∈R,且 f(

)= .

﹣θ) .

18. (12 分) (2015 春?巴中校级月考)已知 , (1)求实数 λ 的值;若 ,

是平面内两个不共线的非零向量, ,且 A,E,C 三点共线 =(2,﹣2) ,求 的坐标;

(2)已知点 D(3,6) ,在(1)的条件下,若 A,B,C,D 四点构成平行四边形 ABCD, 求点 A 的坐标. 19. (12 分) (2014 秋?资阳期末)已知函数 f(x)=2sin ( (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)﹣m=2 在 x∈[0, 围. 20. (13 分) (2015 春?巴中校级月考)已知函数 f(x)=sinx﹣ 最小正周期为 β, 向量 且 (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)求 的值. , cosx+2,记函数 f(x)的 , , ]上有两个不同的解,求实数 m 的取值范
2

+x)+

cos2x.

21. (14 分) (2015 春?巴中校级月考)如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛 赛道,赛道的前一部分为曲线段 FBC,该曲线段是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,o<ω<π) 在 x∈[﹣4,0]时的图象,且图象的最高点为 B(﹣1,2) ;赛道的中间部分是长为 千米的 直线跑道 CD,且 CD∥EF;赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求 y=Asin(ωx+φ)的解析式和∠DOE 的弧度数; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪 PQMN”,矩形的一边 MN 在道路 EF 上,一个顶点 Q 在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上,且设∠POE=θ, 求“矩形草坪 PQMN”面积 S 的最大值,以及 S 取最大值时 θ 的值.

2014-2015 学年四川省巴中市平昌中学高二(下)第一次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.角 α 的终边上有一点(1,﹣2) ,则 sinα=( ) A. ﹣ B. ﹣ C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

任意角的三角函数的定义. 三角函数的求值. 由条件利用任意角的三角函数的定义,求得 sinα 的值. 解:由题意可得 x=1,y=﹣2,r= , =﹣ ,

∴sinα= =﹣

故选:B. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.

2.已知 A. B. C.

,则 cosα 的值是( D.



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 计算题. 2 分析: 先利用三角函数的平方关系求出 cos α,据三角函数的符号判断出角所在的象限,判 断出余弦的符号,求出角的余弦. 解答: 解:∵ 又 sin α+cos α=1 ∴ ∵ ∴α 为第二象限的角 ∴cosα<0 ∴ 故选 C. 点评: 利用三角函数的平方关系求三角函数值时,一定要注意角的范围才能确定三角函数 的符号取舍.
2 2



3.已知向量 A. B. C. D.

,且

∥ ,则 tanα=(



考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 根据题设条件,由 解答: 解:∵向量 且 ∴ ∴tanα= ∥ , , = . ∥ ,知 ,由此能求出 tanα. ,

故选 A. 点评: 本题考查平面向量共线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 4.sin135°cos15°﹣cos45°sin(﹣15°)的值为( A. B. C. D. )

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据诱导公式,可将原式化为 sin135°cos15°﹣cos135°sin15°,再由两角差的正弦公 式,可得原式等 sin120°,再由诱导公式,及特殊角的三角函数值,可得答案. 解答: 解:sin135°cos15°﹣cos45°sin(﹣15°) =sin135°cos15°﹣cos135°sin15° =sin(135°﹣15°) =sin120° =sin(180°﹣60°) =sin60° = 故选 D 点评: 本题考查的知识点是两角差的余弦公式,诱导公式,特殊角的三角函数值,是三角 函数化简求值类的典型题型,难度不大,熟练掌握各公式是解答的关键.

5.下列函数中,周期为 π,且在 A. D. B.

上为减函数的是( C.



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的单调性;余弦函数的单调性. 专题: 分析法. 分析: 先根据周期排除 C,D,再由 x 的范围求出 2x+ 性可判断 A 和 B,从而得到答案. 解答: 解:C、D 中函数周期为 2π,所以错误 当 函数 而函数 时, 为减函数 为增函数, , 的范围,再由正余弦函数的单调

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性.属基础题.三角函数的基 础知识的熟练掌握是解题的关键.

6.已知 A. B. C.

,则 sin2x 的值是( D.



考点: 二倍角的正弦;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题. 分析: 已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求出 sinx+cosx 的值,两边平方即可求出 sin2x 的值. 解答: 解:cos( ﹣x)=
2

(sinx+cosx)=﹣ , ,

两边平方得: (sinx+cosx) = (1+sin2x)= 则 sin2x=﹣ .

故选 D 点评: 此题考查了二倍角的正弦函数公式,两角和与差的余弦函数公式,以及同角三角函 数间的基本关系,熟练掌握公式是解本题的关键.

7.已知点 A(﹣1,1) 、B(1,2) 、C(﹣2,﹣1) 、D(3,4) ,则向量 投影( A. ) B. C. ﹣ D. ﹣



方向上的

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 首先利用有向线段的坐标求法求出向量 和 的坐标,然后利用向量的投影定义

解答. 解答: 解:因为点 A(﹣1,1) 、B(1,2) 、C(﹣2,﹣1) 、D(3,4) , 则向量 所以向量 故选 B. 点评: 本题考查了向量的投影的计算; 在 上的投影为 ,属于基础题. =(5,5) , 在 =(2,1) , = ;

方向上的投影为

8.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A. 向右平移 C. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 D. 向左平移 个单位 个单位

cos3x 的图象(



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质.

分析: 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利 用平移原则判断选项即可. 解答: 解:函数 y=sin3x+cos3x= 向右平移 个单位,得到 y= = ,故只需将函数 y= cos3x 的图象

的图象.

故选:C. 点评: 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用, 基本知识的考查.
2

9.函数 y=cos x+2sinx 在区间 A. 1 B. 2 C. ﹣ D. 3

上的最大值为(



考点: 三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 利用同角三角函数的基本关系化简函数 f(x)的解析式为﹣(sinx﹣1) +2,根据 x 的范围求得﹣ ≤sinx≤1,再根据二次函数的性质,求得函数 f(x)的最大值. 解答: 解:∵函数 f(x)=cos x+2sinx =1﹣sin x+2sinx=﹣(sinx﹣1) +2,x∈[﹣ ∴﹣ ≤sinx≤1, ∴当 sinx=1,即 x= 时,函数 f(x)取得最大值为 2,
2 2 2 2

,π],

故选:B. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,正弦函数的定义域和值域,二次函数的性 质,属于中档题. 10.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+1)= ,且当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=|x|,

函数 g(x)=

,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]上的零点的

个数为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 考点: 正弦函数的图象;根的存在性及根的个数判断. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由题意可得可得 f(x+2)=f(x) ,函数 f(x)是周期为 2 的周期函数.本题即求函 数 f(x)的图象和函数 g(x)的图象在区间[﹣5,5]上的交点的个数,数形结合可得结论

解答: 解:由 f(x+1)=

,可得 f(x+2)=f(x) ,故函数 f(x)是周期为 2 的周期

函数. 函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]上的零点的个数, 即函数 f(x)的图象和函数 g(x)= 的图象在区间[﹣5,5]上的交点的个

数, 当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=|x|, 如图所示:数形结合可得函数 f(x)的图象和函数 g(x)的图象 在区间[﹣5,5]上的交点的个数为 10, 故选:C.

点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,正弦函数的图象,体现了化归与转化、 数形结合的数学思想,属于基础题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11.化简 sin2α= cos2α .

考点: 三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式化简所给的式子,可得结 果. 解答: 解:
2 2

sin2α=cos2α+1﹣(

+



?sinαcosα=cos2α+1﹣(sin α+cos α)=cos2α, 故答案为:cos2α. 点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角的余弦公式的应用,属于基础题. ,x∈(0,2π)的角 x 的集合是 [ ] .

12.满足不等式



考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 由题意可得 sinx≥ 解答: 解:由不等式

.再结合 x∈(0,2π) ,求得 x 得集合. ,可得 sinx≥ , ], .

再结合 x∈(0,2π) ,可得 x∈[ 故答案为:[ , ].

点评: 本题主要考查三角不等式的解法,正弦函数的图象,属于基础题. 13.在△ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若

=2



=

,则 λ=



考点: 向量的线性运算性质及几何意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,得出 由①、②得出 = + = + ①, = + ②;

,从而求出 λ 的值. =2 , = ,

解答: 解:△ ABC 中,D 是 AB 边上一点,

如图所示, ∴ = ∴2 = + =2 + = , +2 =2 = ; ﹣2 +2 , ②; +2 ①,

①+②得,3 ∴ = +

∴λ= . 故答案为: . 点评: 本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义问题,是基础题目.

14. 已知定义在 R 上的奇函数 ( f x) 是以 π 为最小正周期的周期函数, 且当 f(x)=sinx,则 的值为 ﹣ .

时,

考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由已知中函数 f(x)定义在 R 上的奇函数 f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数, 可得 =f(﹣ )=﹣f( ) ,进而由当 时,f(x)=sinx,可得答

案. 解答: 解:∵函数 f(x)定义在 R 上的奇函数 f(x)是以 π 为最小正周期的周期函数, ∴ 又由当 ∴f( 故 )= , =﹣ , =f(﹣ )=﹣f( ) ,

时,f(x)=sinx,

故答案为:﹣ 点评: 本题考查的知识点是函数的周期性与函数的奇偶性,函数求值,是函数图象和性质 的综合应用,难度中档. 15.下列命题中,正确的是 ④ (填写所有正确结论的序号) ①向量 与向量 平行,则 与 的方向相同或相反; ②在△ ABC 中,点 O 为平面内一点,若满足 的外心; ③函数 的对称中心为 ,则点 O 为△ ABC

④在△ ABC 中,若 sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,则△ ABC 的形状一定是直角 三角形. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 的方向不确定,且与任意向量均平行,可判断(1) ;由点 O 为△ ABC 的垂心,可 )的对称中心判断③;由三角恒等变换的运用化

判断(2) ;直接求出函数 y=tan(2x﹣ 简已知等式判断④.

解答: 解:对于①, 的方向不确定,且与任意向量均平行,故①错误;

对于②,在△ ABC 中,点 O 为平面内一点,若满足 △ ABC 的垂心,故②错误; 对于③,由 2x﹣ ∴函数 y=tan(2x﹣ = kπ,k∈Z 得 x= kπ+ ,k∈Z, ,0) , (k∈Z) ,故③错误;

,则点 O 为

)的对称中心为( kπ+

对于④,在△ ABC 中,由 sin(A﹣B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,得 sin(A﹣B)=1﹣ 2cosAsinB, ∴sinAcosB﹣cosAsinB=1﹣2cosAsinB, ∴sinAcosB+cosAsinB=1, ∴sin(A+B)=1,即 A+B=90°, ∴△ABC 是直角三角形,故④正确. 故答案为:④. 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用, 此类题型往往综合较多的其它知识点, 综合性强,难度中档. 三.解答题 (本大题共 6 小题, 共 75 分. 请在答题卡指定区域作答, 解题时应写出文字说明、 解题步骤或证明过程.) 16. (12 分) (2014 春?亭湖区校级期末)A、B 是单位圆 O 上的点,点 A 是单位圆与 x 轴 正半轴的交点,点 B 在第二象限.记∠AOB=θ 且 sinθ= . (1)求 B 点坐标; (2)求 的值.

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) 根据角 θ 的终边与单位交点为 (cosθ, sinθ) , 结合同角三角函数关系和 sinθ= , 可得 B 点坐标; (2)由(1)中结论,结合诱导公式化简 案. 解答: 解: (1)∵点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,点 B 在第二象限. 设 B 点坐标为(x,y) , 则 y=sinθ= . x=﹣ 即 B 点坐标为: =﹣ , ,代入可得答

(2)∵

=

=

=



点评: 本题考查的知识点是同角三角函数基本关系的运用,诱导公式,难度不大,属于基 础题. ) ,x∈R,且 f(

17. (12 分) (2014?广东)已知函数 f(x)=Asin(x+ (1)求 A 的值; (2)若 f(θ)+f(﹣θ)= ,θ∈(0, ) ,求 f(

)= .

﹣θ) .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数 f(x)的解析式以及 f( (2)由(1)可得 f(x)= 由 θ∈(0, sin(x+ )= ,求得 A 的值.

) ,根据 f(θ)+f(﹣θ)= ,求得 cosθ 的值,再 ﹣θ) 的值. )= .

) ,求得 sinθ 的值,从而求得 f(

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=Asin(x+ ∴Asin( ∴A= . sin(x+ )+ ) , + )=Asin =A? = ,

) ,x∈R,且 f(

(2)由(1)可得 f(x)= ∴f(θ)+f(﹣θ)= ∴cosθ= ∴f(

sin(θ+

sin(﹣θ+ .

)=2

sin

cosθ=

cosθ= ,

,再由 θ∈(0, ﹣θ)= sin(

) ,可得 sinθ= ﹣θ+ )=

sin(π﹣θ)=

sinθ=



点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换,同角三角函数的基本关系,属于中档题. 18. (12 分) (2015 春?巴中校级月考)已知 , (1)求实数 λ 的值;若 , 是平面内两个不共线的非零向量, ,且 A,E,C 三点共线 =(2,﹣2) ,求 的坐标;

(2)已知点 D(3,6) ,在(1)的条件下,若 A,B,C,D 四点构成平行四边形 ABCD, 求点 A 的坐标.

考点: 平面向量坐标表示的应用;平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)通过几何法将向量转化为两向量的和, 再将所得向量坐标化,即可得正确结论; (2)由已知几何条件得到向量间关系,再坐标化得到 A 点的坐标,即本题答案. 解答: 解: (1)∵ ( = + = ═ =k + , .

∵A,E,C 三点共线,∴存在实数 k,使得 即 得(1+2k) ∵ ∴ = =(k﹣1﹣λ) . ,

是平面内两个不共线的非零向量, ,

解得 k=﹣ ,λ=﹣ . =(2,﹣2) , ∴ = + =﹣3 ﹣ =(﹣6,﹣3)+(﹣1,1)=(﹣7,﹣2) .

(2)∵A、B、C、D 四点构成平行四边形, ∴ = . =(3﹣x,6﹣y) ,

设 A(x,y) ,则 又 ∴

=(﹣7,﹣2) , ,

解得



∴点 A(10,8) . 点评: 本题考查的是平面向量的坐标运算,有一定的思维量,属于中档题.
2

19. (12 分) (2014 秋?资阳期末)已知函数 f(x)=2sin ( (Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间;

+x)+

cos2x.

(Ⅱ)若关于 x 的方程 f(x)﹣m=2 在 x∈[0, 围.

]上有两个不同的解,求实数 m 的取值范

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可求函数 f(x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求出函数 f(x)在 x∈[0,
2

]的取值情况,利用数形结合即可得到结论. +x)+ cos2x=1﹣cos( +2x)

解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=2sin ( + cos2x=1+sin2x+ ≤2x+ ≤x≤kπ+

cos2x=1+2sin(2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z ,kπ+ ,k∈Z,

) ,

由由 2kπ﹣ 得 kπ﹣

所以函数 的单调递增区间为[kπ﹣

].k∈Z.

(Ⅱ)由 f(x)﹣m=2 得 f(x)=m+2, 当 x∈[0, ]时,2x+ ∈[ , , ],

由图象得 f(0)=1+2sin

=1+

函数 f(x)的最大值为 1+2=3, ∴要使方程 f(x)﹣m=2 在 x∈[0, 则 f(x)=m+2 在 x∈[0, ]上有两个不同的解,

]上有两个不同的解, ]上有两个不同的交点,

即函数 f(x)和 y=m+2 在 x∈[0, 即 1+ ≤m+2<3, 即 ﹣1≤m<1.

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用辅助角公式将函数进行化简,利用数形 结合是解决本题的关键. 20. (13 分) (2015 春?巴中校级月考)已知函数 f(x)=sinx﹣ 最小正周期为 β, 向量 且 (1)求函数 f(x)的单调递减区间; (2)求 的值. , cosx+2,记函数 f(x)的 , ,

考点: 同角三角函数基本关系的运用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由条件利用辅助角公式求得 f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性求得 函数 f(x)的单调递减区间. (2)由条件利用 两个向量的数量积公式求得 sinα 的值,可得 cosα 的值,再利用同角三 角函数的基本关系、诱导公式求得要求式子的值. 解答: 解: (1)函数 f(x)=sinx﹣ 为 β=2π. 令 2kπ+ 为[2kπ+ ≤x﹣ ≤2kπ+ ,k∈Z,可得 2kπ+ ],k∈Z. , , ,且 ≤x≤2kπ+ ,故函数 f(x)的减区间 cosx+2=2sin(x﹣ ) ,故函数 f(x)的最小正周期

,2kπ+

(2)由向量

=2+cosα?tan(α+π)=2+sinα, 可得 sinα= ,∴cosα= = ,



=

=

=2cos

α=



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两个向量的数量积公式、诱导公式、辅助 角公式,正弦函数的单调性,属于中档题. 21. (14 分) (2015 春?巴中校级月考)如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛 赛道,赛道的前一部分为曲线段 FBC,该曲线段是函数 y=Asin(ωx+φ) (A>0,o<ω<π) 在 x∈[﹣4,0]时的图象,且图象的最高点为 B(﹣1,2) ;赛道的中间部分是长为 千米的 直线跑道 CD,且 CD∥EF;赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE.

(1)求 y=Asin(ωx+φ)的解析式和∠DOE 的弧度数; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪 PQMN”,矩形的一边 MN 在道路 EF 上,一个顶点 Q 在半径 OD 上,另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上,且设∠POE=θ, 求“矩形草坪 PQMN”面积 S 的最大值,以及 S 取最大值时 θ 的值.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值, 可得函数的解析式,从而求得∠COD= 和∠DOE 的值.

(2)由条件求得矩形草坪面积为 S= sinθ( cosθ﹣ sinθ) ,再利用三角恒等变换、正 弦函数的定义域和值域求得 S 的最大值以及此时 θ 的值. 解答: 解: (1) 由函数 y=Asin (ωx+φ) 的部分图象可得 A=2, =﹣1﹣ (﹣4) = 再根据五点法作图可得 ( x+ ) . = ,又 CD= ,∴∠COD= ,从而得到∠DOE= . . +φ=0,求得 φ= , ∴ω= .

,故该曲线段是函数 y=2sin

当 x=0 时,y=OC=2sin (2)OD= OC=

,易知当矩形草坪面积最大时,点 P 在 DE 弧上,故 OP= ) ,则矩形草坪面积为 S= sinθ( sin(2θ+ cosθ﹣ sinθ)

设∠POE=θ,θ∈(0,
2

=6(sinθcosθ﹣sin θ)=6( sin2θ+ cos2θ﹣ )=3 再根据 2θ+ ∈( , ) ,可得当 2θ+ =

)﹣3,

,即 θ=

时,矩形草坪面积为 S 取得最

大值为 3 ﹣3. 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,三角恒等变换、正弦 函数的定义域和值域,属于中档题.


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