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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
(时间:2008 年 4 月 20 日上午 8:00—10:00)
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为 [ A.

/>
] B.

a?b 2

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

?1 1? ?2 4?

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能
是点 [ ] A. P B. Q C. M D. N

1 0.5

2 1

x
y

3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成 等差数列,每一纵列成等比 答:[ A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 数列,那么 x ? y ? z 的值为 ]

z

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值, 那么 [ A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形

]

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的平 面? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 B. 有且只有一对 D. 有无数对 [ ]

二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,
2

?

?

?

?

1

则 A ? B ? ___________________. 7. 同时投掷三颗骰子, 于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? __________(结果要求写成 既约分数). 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 ____________. 9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为______________. 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 =______________. c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1,0 ? m ? n , 并且 x ? ?m, n?时,

?1 1 ? f ( x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?

12.

A、B 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 4 9
2

(Ⅰ)求证:

1 OA
2

?

1 为定值; 2 OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? ,?BDA ? ? ,?CDA ? ? , 且 ? ,? ,? 都是锐角. 求 二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).
N C A D

B M

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每
3

列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证 明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

2008 年江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
4

一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1.答:[B] 解 由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx? ny ? ab . 选 B.
2
2

1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 2.答:[D]解 取 a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
可能是 点 N. 选 D. 3.答: [A]解 第一、 二行后两个数分别为 2.5, 3 与 1.25, 1.5; 第三、 四、 五列中的 x ? 0.5 ,

1

1

y?

5 3 ,z ? ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16 16
两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是

4. 答:[B] 解

锐角三角形;若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设 cos A1 =sin A2 =cos ? cos B1 =sin B2 =cos ?

?? ? ? A1 ? , ?2 ?

?? ? ?? ? ? A2 ? , cos C1 =sin C 2 =cos ? ? C1 ? . 则 ?2 ? ?2 ?

A1 ?

?
2

? A2 ,

B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C 2 ,即

A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5.答: [D]解

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线.

b 与垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2

当 [x]=0 , 则 x ? 2 无 解 ;
2

当 [x]=1 , 则 x ? 3 , ∴ x ?
2

3.

所以

x ? ?1或 3 .

91 ?5? 7. 解 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? . 216 ?6?
8. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,高是 5:1. 故面积比是 5:1. 9. 解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的点;
5

3

若切点是原点, 则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y 2 ? 8x( x ? 0) , 或 y ? 0( x ? 0) . 10. 解 切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

亦即

sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2

所以,

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ? 3. ,故 2c 2 c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 解 分 由题 f ( x) ? ?2( x ?1) 2 ? 1 , ??5

? f ( x ) ? 1 ,?

1 ? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m 1 1 2 且 f (n) ? ?2( n ? 1) ? 1 ? . m n
??10

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?


1 2 n 是方程 f ( x ) ? ?2( x ? 1) ? 1 ? 的两个解, 方程即 ( x ? 1)(2 x 2 ? 2 x ? 1) =0, ?m , x
解方程, 得解为 1, 15 分 12. 证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin ? ) ,B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin ? ?) ,则

1? 3 1? 3 1? 3 ? m ? 1 ,n ? , .?1 ? m ? n , . 2 2 2

??

r ? OA ,

r ? ? OB , A

在 双 曲 线 上 , 则 r2? ?

? cos2 ? sin 2 ? ? ? ? ? ?1 . 所 以 4 9 ? ?

2 1 c o ?s s i2 ? n ? ? . ?5 分 2 4 9 r

由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? .
2 2 2 2

同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2
6

所以 分

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 1 1 1 5 . ? 2 ? ? ? 2 4 9 36 r r'

??10

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ?

? ? 2 2 2 ? ? 1 1? 36 2 ? 5? 即 OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? ? ? OP ? ? ? ? 1 . 于是, OP ? . ? ? 2 2 5 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

13.解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线,交射线 DB 于 B 点;在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线,交射线 DC 于 C 点.设 DA=1,则 AB ? tan ? , DB ?

1 , AC ? tan? , cos ?

DC ?

1 ,?5 分 cos?
??10 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式

BC 2 ?


1 1 2 ? ? cos? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 2 tan? tan? cos? 2 2 cos ? cos ? cos? cos?
2 2

所以, 2 tan ? tan? cos? ? tan ? ? tan ? ?

1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos? cos?

= 故得到 cos? ? 14. 解(Ⅰ)不能.

2(cos? ? cos? cos? ) ,??15 分 cos? cos?
??20 分

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?
??5 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4

因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 4× 6× 8× 12× 18× 24× 36× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 3
7
1?1? 2?1? 2?1

=219

· 38 不是立方数,故不能. (Ⅱ)可以. 如右表 表中每行、每列及对角线的积都是 26·23. ??20 分 ??15 分

8


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