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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 2.2.1(二) 课时作业]


2.2.1

函数的单调性(二)

课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义 .2.体会函数的最大(小)值与单 调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值.

1.函数的最值 设 y=f(x)的定义域为 A. (1)最大值:如果存在 x0∈A,使得对于任意的 x∈A,都有__________,那么称

f(x0)为 y =f(x)的最大值,记为______=f(x0). (2)最小值: 如果存在 x0∈A, 使得对于任意的 x∈A, 都有 f(x)≥f(x0), 那么称 f(x0)为 y=f(x) 的最小值,记为________=f(x0). 2.函数最值与单调性的联系 (1)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则 f(x)的最大值为______,最小值为______. (2)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则 f(x)的最大值为______,最小值为______.

一、填空题 1.若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ________. 2.已知函数 y=x+ 2x-1,下列说法正确的是________.(填序号) 1 ①有最小值 ,无最大值; 2 1 ②有最大值 ,无最小值; 2 1 ③有最小值 ,最大值 2; 2 ④无最大值,也无最小值. 3.已知函数 y=x2-2x+3 在区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 ________. 4. 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x, 都有 f(1+x)=f(-x), 那么 f(-2), f(0), f(2) 的大小关系为________. 5.函数 y=|x-3|-|x+1|的________.(填序号) ①最小值是 0,最大值是 4; ②最小值是-4,最大值是 0; ③最小值是-4,最大值是 4; ④没有最大值也没有最小值. 1 6.函数 f(x)= 的最大值是________. 1-x?1-x? 2 7.函数 y= 的值域是________. |x|+1 8.函数 y=-x2+6x+9 在区间[a,b](a<b<3)有最大值 9,最小值-7,则 a=________, b=__________. 2 9.若 y=- ,x∈[-4,-1],则函数 y 的最大值为________. x 二、解答题 10.已知函数 f(x)=x2-2x+2. 1 (1)求 f(x)在区间[ ,3]上的最大值和最小值; 2

(2)若 g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围.

11.若二次函数满足 f(x+1)-f(x)=2x 且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

能力提升 12.已知函数 f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,构造函数 F(x),定义如下:当 f(x)≥g(x)时, F(x)=g(x);当 f(x)<g(x)时,F(x)=f(x),那么 F(x)________.(填序号) ①有最大值 3,最小值-1; ②有最大值 3,无最小值; ③有最大值 7-2 7,无最小值; ④无最大值,也无最小值. 13.已知函数 f(x)=ax2-|x|+2a-1,其中 a≥0,a∈R. (1)若 a=1,作函数 f(x)的图象; (2)设 f(x)在区间[1,2]上的最小值为 g(a),求 g(a)的表达式.

1.函数的最大(小)值

(1)定义中 M 首先是一个函数值,它是值域中的一个元素,如函数 f(x)=-x2(x∈R)的最大 值为 0,有 f(0)=0,注意对“存在”的理解. (2)对于定义域内任意元素,都有 f(x)≤M 或 f(x)≥M 成立,“任意”是说对每一个值都必 须满足不等式. 拓展 对于函数 y=f(x)的最值,可简记如下: 最大值:ymax 或 f(x)max;最小值:ymin 或 f(x)min. 2.函数的最值与值域、单调性之间的联系 1 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数 y= .如果有最值,则 x 最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数 f(x)在闭区间[a,b]上单调,则 f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是 f(a) 或 f(b),最小值是 f(b)或 f(a). 3.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y=f(x)的草图,然后根据图象的 增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次 函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

第 2 课时

函数的最大(小)值

知识梳理 1.(1)f(x)≤f(x0) ymax (2)ymin 2.(1)f(b) f(a) (2)f(a) f(b) 作业设计 1.(-∞,-3] 解析 由二次函数的性质,可知 4≤-(a-1), 解得 a≤-3. 2.① 1 解析 ∵y=x+ 2x-1在定义域[ ,+∞)上是增函数, 2 1 1 1 ∴y≥f( )= ,即函数最小值为 ,无最大值. 2 2 2 3.[1,2] 解析 由 y=x2-2x+3=(x-1)2+2 知, 当 x=1 时,y 的最小值为 2, 当 y=3 时,x2-2x+3=3,解得 x=0 或 x=2. 由 y=x2-2x+3 的图象知,当 m∈[1,2]时,能保证 y 的最大值为 3,最小值为 2. 4.f(0)<f(2)<f(-2) 解析 依题意,由 f(1+x)=f(-x)知, 1 二次函数的对称轴为 x= , 2 因为 f(x)=x2+bx+c 开口向上, 且 f(0)=f(1),f(-2)=f(3), 1 由函数 f(x)的图象可知,[ ,+∞)为 f(x)的增区间, 2 所以 f(1)<f(2)<f(3),即 f(0)<f(2)<f(-2). 5.③ -4 ?x≥3? ? ? 解析 y=|x-3|-|x+1|=?-2x+2 ?-1≤x<3? . ? ?4 ?x<-1? 因为[-1,3)是函数 y=-2x+2 的减区间, 所以-4≤y≤4,综上可知③正确.

6.

4 3

1 4 f(x)= ≤ . 12 3 3 ?x- ? + 2 4 7.(0,2] 解析 观察可知 y>0,当|x|取最小值时,y 有最大值, 所以当 x=0 时,y 的最大值为 2,即 0<y≤2, 故函数 y 的值域为(0,2]. 8.-2 0 解析 y=-(x-3)2+18,∵a<b<3, ∴函数 y 在区间[a,b]上单调递增,即-b2+6b+9=9, 得 b=0(b=6 不合题意,舍去) -a2+6a+9=-7,得 a=-2(a=8 不合题意,舍去). 9.2 2 解析 函数 y=- 在[-4,-1]上是单调递增函数, x 2 故 ymax=- =2. -1 1 10.解 (1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[ ,3], 2 ∴f(x)的最小值是 f(1)=1, 1 5 又 f( )= ,f(3)=5, 2 4 所以,f(x)的最大值是 f(3)=5, 1 即 f(x)在区间[ ,3]上的最大值是 5,最小值是 1. 2 (2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2, m+2 m+2 ∴ ≤2 或 ≥4,即 m≤2 或 m≥6. 2 2 故 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 11.解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由 f(0)=1,∴c=1, ∴f(x)=ax2+bx+1. ∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴2ax+a+b=2x, ? ? ?2a=2 ?a=1 ∴? ,∴? ,∴f(x)=x2-x+1. ?a+b=0 ?b=-1 ? ? (2)由题意:x2-x+1>2x+m 在[-1,1]上恒成立, 即 x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立. 3 5 令 g(x)=x2-3x+1-m=(x- )2- -m, 2 4 3 其对称轴为 x= , 2 ∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0, ∴m<-1. 12.③ 解析

解析 画图得到 F(x)的图象: 射线 AC、抛物线 AB 及射线 BD 三段, ?y=2x+3, ? 联立方程组? 2 ? ?y=x -2x, 得 xA=2- 7, 代入得 F(x)的最大值为 7-2 7, 由图可得 F(x)无最小值. 13.

(1)当 a=1 时,f(x)=x2-|x|+1 2 ? ?x +x+1, x<0 ? = 2 . ?x -x+1, x≥0 ? 作图(如右所示) (2)当 x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1. 若 a=0,则 f(x)=-x-1 在区间[1,2]上是减函数, g(a)=f(2)=-3. 1 1 若 a>0,则 f(x)=a(x- )2+2a- -1, 2a 4a 1 f(x)图象的对称轴是直线 x= . 2a 1 1 当 0< <1,即 a> 时,f(x)在区间[1,2]上是增函数, 2a 2 g(a)=f(1)=3a-2. 1 1 1 当 1≤ ≤2,即 ≤a≤ 时, 2a 4 2 1 1 g(a)=f( )=2a- -1, 2a 4a 1 1 当 >2,即 0<a< 时,f(x)在区间[1,2]上是减函数, 2a 4 g(a)=f(2)=6a-3. 解

? ? 1 1 1 综上可得 g(a)=?2a-4a-1, 4≤a≤2 ? ?3a-2, a>1 2
6a-3,

1 0≤a< 4


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