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宁夏固原市一中2015届高三第二次综合考试数学(理)试卷 (Word版含答案)


固原一中 2014-2015 年度第二学期第二次月考 高三数学(理科)试卷
命题:赵志禄 审题:徐志君

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)已知集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {( x, y ) x ? A, y ? A, xy ? A} ,则集合 B 的所有真子集的 个数为( )

( A) 512

( B ) 256

(C ) 255


( D) 254

(2)下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i

p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D) p? , p?

( B ) p1 , p2

( 3 ) 已 知 ?an 为 等 比 数 列 , a4 ? a7 ? 2 , a5 a6 ? ?8 , 则

?

a1 ? a10 ? (
( A) 7



( B) 5

(C ) ??

( D) ??

(4)已知图象不间断函数 f ? x ? 是区间 ? a , b? 上的单调函数,且 在区间 ? a , b ? 上存在零点 . 上图是用二分法求方程 f ? x ? ? 0 近 似解的程序框图,判断框内可以填写的内容有如下四个选择: ① f ? a ? f ? m ? ? 0 ;② f ? a ? f ? m ? ? 0 ; ③ f ? b ? f ? m ? ? 0 ;④ f ? b ? f ? m ? ? 0 . 其中能够正确求出近似解的是( ①④ ) ①③

? A?

? B?

②③

?C ?

? D?

②④

(5)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几 何体的三视图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

( B) 9

(C ) ??

( D) ??

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.95,现播种了 1000 粒, 对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) (A)50 (7)? x ? (B)100
5

(C)150

(D)200

? ?

a ?? 1? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展 x ?? x?

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开式中常数项为(

(A)-40

(B)-20

(C)20

(D)40

(8)设 F1 、 F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a 上一点, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 2 a b 2


?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?
2

( D)

? ?

(9)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A)

2

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?


(10) 已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4

1 3 ( B) [ , ] 2 4

则 ? 取值范围是 ( ) 在 ( , ? ) 上单调递减。 4 2 1 (C ) (0, ] ( D) (0, 2] 2

?

(11)某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线 段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a和b 的线段,则 a ? b 的 最大值为( )

( A)

2 2

( B)

2 3

(C )

?

( D) 2 5


(12)设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2
2(1 ? ln 2)
(C ) 1 ? ln 2 ( D) 2(1 ? ln 2)

( A) 1 ? ln 2

( B)

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

(13)已知向量 a, b 夹角为 45? ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ?

? x, y ? 0 ? (14)设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
1 ? tan 4 2 ? (15)若 cos ? ? ? , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2
( 16 )函数 f ? x ? 的定义域为 R , f ? ?1? ? 2 ,对任意 x ? R , f ? ? x ? ? 2 ,则

?

f ? x ? ? 2 x ?4 的解集为
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三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c . (18) (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形, EA ? 底面ABCD , EF / / AD ,且

AB ? 6 , AE ? 3 2 , EF ? 3 .
(Ⅰ)若 AC 与 BD 交于点 O ,求证: EO / / 平面FCD ; (Ⅱ)求证: DE ? 平面ABF ; (Ⅲ)求二面角 A ? FD ? B 的余弦值.
B

E

F

A O C

D

(19) (本小题满分 12 分)某班同学利用节假日进行社会实践,对 [25,55] 岁的人群随机抽 取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低 碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 n 、 a 、 p 的值; (Ⅱ)从 [40,50) 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活动, 其中选取 3 人作为领队, 记选取的 3 名领队中年龄在 [40, 45) 岁的人数为 X , 求 X 的分布列 和期望 E ? X ? . (20) (本小题满分 12 分) 已知: 椭圆

x2 y2 ? ? 2 ?1 (a ? b ? 0) , 过点 A(? a, 0) ,B (0, b) 的直线倾斜角为 , 2 6 a b 3 原点到该直线的距离为 . 2
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)斜率大于零的直线过 D (? 1, 0) 与椭圆交于 E , F 两点,若 ED ? 2 DF ,求直 线 EF 的方程; (Ⅲ)是否存在实数 k ,直线 y ? kx ? 2 交椭圆于 P , Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点
? ?

D(? 1, 0) ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.
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(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx . (Ⅰ)若 f ( x) 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m ? 1 ,且 0 ? b ? a ? 1 时,证明:

4 f (a ) ? f (b) ? ? 2. 3 a?b

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形,延长 BA 和 CD 相交于点 P ,

PA 1 ? , PB 4

PD 1 ? . PC 2
(Ⅰ)求

B
?O
AD 的值; BC
D

A P

C

(Ⅱ)若 BD 为⊙ O 的直径,且 PA ? 1 ,求 BC 的长. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆锥曲线 ? 点。 (Ⅰ)求经过点 F1 垂直于直线 AF2 的直线 l 的参数方程; (Ⅱ)以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.
[]

? x ? 2 cos ? ( ? 是参数)和定点 A 0, 3 , F1 、 F2 是圆锥曲线的左、右焦 ? y ? 3 sin ?

?

?

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固原一中 2014-2015 年度第二学期第二次月考 高三数学(理科)试卷答案
命题:赵志禄 审题:徐志君

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C 1 ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? E 2 ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

F

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2 (18) (本题满分 12 分)

A
O

D
G
C O

B

证明: (Ⅰ)如图,取 CD 中点 G ,连 OG , FG ,在 ?CAD 中,因为 O , G 分别是

CA, CD 的 中点, 所以 OG ∥ AD , 且 OG ?
EF ?

1 AD , 又由 已知得 , EF ∥ AD , 且 2

1 AD , 所以 EF // ? OG ,所以四边形 OGFE 是平行四边形,所以 EO // FG 2

又 EO ? 平面 FCD , FG ? 平面 FCD 所以 EO // 平面 FCD ………3 分

z

(Ⅱ)如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0 ) , B(6,0,0 ) , F (0,3,3 2 )

E

F

D(0,6,0 ) , E (0,0,3 2 ) ,………2 分
所以 DE ? (0,?6,3 2 ) ,

A
O

D

y

AB ? (6,0,0 ) , AF ? (0,3,3 2 )
所以 DE ? AB ? 0 , 且 DE ? AF ? 0 ? 18 ? 18 ? 0

B
x
所以 DE ? AB , DE ? AF ;

C

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又 AB ? AF ? A ,所以 DE ? 平面 ABF (Ⅲ) 设平面 BFD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) 由(Ⅱ)知 DF ? (0,?3,3 2 ) , DB ? (6,?6,0 ) 所以 ?

………4 分

? ? n ? DF ? ?3 y ? 3 2 z ? 0 ? ? n ? DB ? 6 x ? 6 y ? 0

,令 z ? 1 ,得 n ? ( 2 , 2 ,1)

………2 分

又平面 AFD 的法向量为 AB ? (6,0,0 ) 设二面角 A ? FD ? B 的大小为 θ , θ 是锐角

………3 分

则 cos θ ?

n ? AB n ? AB

?

6 2 10 ? 5 6 5
10 5

所以二面角 A ? FD ? B 的余弦值为

………5 分

19.解: (Ⅰ)第二组的频率为 1 ? (0.04 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.01) ? 5 ? 0.3 ,所以高为

0.3 ? 0.06 .频率直方图如下: 5

------------2 分 第一组的人数为

120 200 ? 200 ,频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 ,所以 n ? ? 1000 . 0.6 0.2
195 ? 0.65 . 300

由题可知, 第二组的频率为 0.3, 所以第二组的人数为 1000 ? 0.3 ? 300 , 所以 p ? 第四组的频率为 0.03 ? 5 ? 0.15 ,所以第四组的人数为 1000 ? 0.15 ? 150 ,所以 a ? 150 ? 0.4 ? 60 .-------------------------------5 分 (Ⅱ)因为 [40, 45) 岁年龄段的“低碳族”与 [45,50) 岁年龄段的“低碳族”的比值为 人.- ------------------------------6 分 随机变量 X 服从超几何分布. P ( X ? 0) ?

60 : 30 ? 2 :1 ,所以采用分层抽样法抽取 18 人, [40, 45) 岁中有 12 人, [45,50) 岁中有 6
0 3 1 C12 C6 C12 C62 15 5 ? P ( X ? 1) ? ? , , 3 3 C18 204 C18 68

P( X ? 2) ?

2 1 3 0 C12 C6 33 C12 C6 55 ? P ( X ? 3) ? ? , . -------------------------------10 分 3 3 C18 68 C18 204

所以随机变量 X 的分布列为 0 1 X

2

3

P

5 204

15 68

33 68

55 204
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5 15 33 55 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .-------------12 分 204 68 68 204 b 3 1 1 3 20.解:(1)由 ? , a ?b ? ? ? a 2 ? b 2 ,得 a ? 3 , b ? 1 , a 3 2 2 2 2 x 所以椭圆方程是: ? y 2 ? 1 ……………………3 分 3 x2 (2)设 EF: x ? my ? 1 ( m ? 0 )代入 ? y 2 ? 1 ,得 (m 2 ? 3) y 2 ? 2my ? 2 ? 0 , 3 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x 2 , y 2 ) ,由 ED ? 2 DF ,得 y1 ? ?2 y 2 . 2m ?2 2 由 y1 ? y 2 ? ? y 2 ? 2 , y1 y 2 ? ?2 y 2 ? 2 ……………………5 分 m ?3 m ?3 2m 2 1 得 (? 2 ,? m ? 1 , m ? ?1 (舍去) , (没舍去扣 1 分) ) ? 2 m ?3 m ?3 直线 EF 的方程为: x ? y ? 1 即 x ? y ? 1 ? 0 ……………………6 分
∴数学期望 EX ? 0 ?

x2 ? y 2 ? 1 ,得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 (*) 3 记 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,PQ 为直径的圆过 D (? 1, 0) ,则 PD ? QD ,即 ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? 0 , 又 y1 ? kx1 ? 2 ,y 2 ? kx 2 ? 2 , ? 12k ? 14 得 (k 2 ? 1) x1 x 2 ? (2k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 5 ? ? 0 .………………10 分 3k 2 ? 1 7 7 解得 k ? ,此时(*)方程 ? ? 0 ,? 存在 k ? ,满足题设条件.…………12 分 6 6 1 1 1 21(I) f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx ? ln(1 ? 2 x) ? mx( x ? ? ) ,∴ f ' ( x) ? ?m2分 2 2 1 ? 2x 1 1 1 对 x ? ? , 1 ? 0 ,故不存在实数 m,使 f ' ( x) ? ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立,4 分 2 1 ? 2x 1 ? 2x 2 1 1 1 1 由 f ' ( x) ? 对 x ? ? 恒成立 ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立得, m ≥ ? 1 ? 2x 2 1 ? 2x 2 1 1 1 而? <0,故 m≥0;经检验,当 m≥0 时, f ' ( x) ? ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立 1 ? 2x 2 1 ? 2x
(3)将 y ? kx ? 2 代入 ∴当 m≥0 时,f(x)为定义域上的单调递增函数. ---------- 6 分 4 1 1 1 1 2(1 ? x) (II) 当 m = 1 时, 令 g ( x) ? f ( x) ? x ? ln(1 ? 2 x) ? x , , g ' ( x) ? ? ? 3 2 3 1 ? 2 x 3 3(1 ? 2 x) 在[0, 1]上总有 g ' ( x) ≥0, 即 g ( x) 在[0, 1]上递增; ∴当 0 ? b ? a ? 1 时,g (a ) ? g (b) , 即 f (a ) ? 4 a ? f (b) ? 4 b ? f (a ) ? f (b) ? 4 ①
3 3 a?b 3

------------------9 分

令 h( x ) ? f ( x ) ? 2 x ?

1 ln(1 ? 2 x) ? x , 2 1 ? 2x h ' ( x) ? ?1 ? ? 0 ,知 h(x)在[0,1]上递减,∴ h(a ) ? h(b) 1? 2x 1? 2x f (a ) ? f (b) 即 f (a ) ? 2a ? f (b) ? 2b ? ? 2 ②-----------------------------11 分 a?b
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由①②知,当 0 ? b ? a ? 1 时,

4 f (a ) ? f (b) ? ? 2 .---------------12 分 3 a?b

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 解:22. (Ⅰ)由 ?PAD ? ?PCB , ?A ? ?A ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似, 设 PA ? x, PD ? y 则有

x y ? ? y ? 2x , 2 y 4x

B
所以

AD x 2 ? ? BC 2 y 4
C

?O
D

A

P

(Ⅱ) ?C ? 90 , PB ? 4, PC ? 2 2, BC ? 2 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x2 y 2 ? x ? 2 cos ? 解: (1)圆锥曲线 ? 化为普通方程 ? ? 1, 4 3 ? ? y ? 3 sin ?
所以 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,则直线 AF2 的斜率 k ? ? 3 ,于是经过点 F1 垂直于直线 AF2 的直线 l 的斜率 k ' ?

3 , 直 线 l 的 倾 斜 角 是 30 ° , 所 以 直 线 l 的 参 数 方 程 是 3

? 3 x ? t ?1 ? ? x ? ?1 ? t cos 30? ? 2 (t 为参数) ,即 ? (t 为参数) , ? ? y ? t sin 30? ?y ? 1 t ? ? 2
(2)直线 AF2 的斜率 k ? ? 3 ,倾斜角是 120°,设 P ( ? , ? ) 是直线 AF2 上任一点, 则

?
sin 60?

?

1 , ? sin(120? ? ? ) ? sin 60? ,则 ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 sin(120? ? ? )

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 (Ⅰ)原不等式等价于

3 3 1 ? ? 1 ? ?x ? ?? ? x ? ?x ? ? 或? 2 或? ----------3 分 2 2 2 ? ? ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ??(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
解,得

3 1 3 1 ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? 2 2 2 2
-------------------------------------------------------------5 分 -------------------------------8 分

即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2}

(Ⅱ)?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| ( 2 x ? 1) ? ( 2 x ? 3) |? 4

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?| a ? 1 |? 4

? a ? ?3, or

a?5

-----------------------------------------------10 分

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