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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 大题规范天天练 第三周 综合限时练 文


星期六

(综合限时练)

2016 年____月____日 解答题综合练(设计意图:训练考生在规定时间内得高分,限时:80 分钟.)

?1 ? 1.(本小题满分 12 分)已知向量 m=( 3sin 2x-1,cos x),n=? ,cos x?,设函数 f(x)= ?2 ?
m·n+1.

/>? π? (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间?0, ?上的最大值; 2? ? ? π? (2)已知在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 A,B 为锐角,f ?A+ ? 6? ?
8 = ,f 5 解

?B-π ?-1= 10,又 a+b= 2+1,求 a,b,c 的值. ?2 12? 10 ? ?
π? 3 1 ? 2 sin 2x- +cos x+1=sin?2x+ ?+1. 6? 2 2 ?

(1)函数 f(x)=m·n+1=

2π 2π π π π 7π ∴T= = =π .∵0≤x≤ ,∴ ≤2x+ ≤ , ω 2 2 6 6 6 π? 1 ? ∴- ≤?2x+ ?≤1, 6? 2 ? π? 1 ? 即 ≤sin?2x+ ?+1≤2. 6? 2 ?

? π? ∴函数 f(x)在区间?0, ?上的最大值为 2. 2? ?
π? 8 ? π? ? (2)∵f ?A+ ?=sin?2A+ ?+1=cos 2A+1= , 6? 2? 5 ? ? 3 ∴cos 2A= , 5 1-cos 2A 1 2 ∴sin A= = . 2 5 ∵A 为锐角,∴sin A= 5 2 5 ,cos A= .又 f 5 5

?B-π ?-1= 10,∴sin B= 10. ?2 12? 10 10 ? ?

3 10 a b ∵B 为锐角,∴cos B= .由正弦定理得 = ,∴a= 2b.又 a+b= 2+1, 10 sin A sin B ∴a= 2,b=1.而 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= 由正弦定理得 = , sin A sin C ∴c= 5. 2 , 2

a

c

1

2.(本小题满分 12 分)某电视台 2014 年举办了“中华好声音”大型歌手选秀活动,过程分为 初赛、复赛和决赛,经初赛进入复赛的 40 名选手被平均分成甲、乙两个班,由组委会聘 请两位导师各负责一个班进行声乐培训.下面是根据这 40 名选手参加复赛时获得的 100 名大众评审的支持票数制成的茎叶图:

赛制规定:参加复赛的 40 名选手中,获得的支持票数排在前 5 名的选手可进入决赛,若 第 5 名出现并列,则一起进入决赛;另外,票数不低于 95 票的选手在决赛时拥有“优先 挑战权”. (1)从进入决赛的选手中随机抽出 3 名,求其中恰有 1 名拥有“优先挑战权”的概率; (2)电视台决定, 复赛票数不低于 85 票的选手将成为电视台的“签约歌手”, 请填写下面 的 2×2 列联表,并判断“能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌 手’与选择的导师有关?” 甲班 签约歌手 未签约歌手 总计 下表临界值表仅供参考: 乙班 总计

P(K2≥k0) k0
参考公式:K = 解
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad-bc)2 ,其中 n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(1)进入决赛的选手共 6 名, 其中拥有“优先挑战权” 的选手共 3 名.设拥有“优先挑

战权”的选手编号为 1,2,3,其余 3 人编号为 A,B,C.被选中 3 人的编号所有可能的情 况共 20 种,列举如下:123,12A,12B,12C,13A,13B,13C,1AB,1AC,1BC,23A,23B, 23C,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC,ABC,其中拥有“优先挑战权”的选手恰有 1 名的 情况共 9 种,如下:1AB,1AC,1BC,2AB,2AC,2BC,3AB,3AC,3BC,∴所求概率为 P = 9 . 20

(2)2×2 列联表: 甲班 签约歌手 未签约歌手 3 17 乙班 10 10 总计 13 27
2

总计

20

20

40
2

40(3×10-10×17) 2 根据列联表中的数据,得到 K 的观测值 k= ≈5.584>5.024,因此 13×27×20×20 在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成为‘签约歌手’与选择的导师有关. 3.(本小题满分 12 分)如图所示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都是 2,D 是 侧棱 CC1 上任意一点,E 是 A1B1 的中点.

(1)求证:A1B1∥平面 ABD; (2)求证:AB⊥CE; (3)求三棱锥 C-ABE 的体积. (1)证明 由正三棱柱的性质知 A1B1∥AB,

因为 AB? 平面 ABD,A1B1?平面 ABD, 所以 A1B1∥平面 ABD. (2)证明 设 AB 中点为 G,连接 GE,GC. ∵△ABC 为正三角形,且 G 为中心, ∴AB⊥GC.又 EG∥AA1,AA1⊥AB, ∴AB⊥GE,又 CG∩GE=G,所以 AB⊥平面 GEC. 而 CE? 平面 GEC, 所以 AB⊥CE. 1 1 1 3 2 3 2 (3)解 由题意可知:VC-ABE=VE-ABC= ×EG×S△ABC= ×2× ×2 × = . 3 3 2 2 3 4.(本小题满分 12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上有一个长轴端点到两个焦点之间的距离分 别为 3+2 2,3-2 2. (1)如果直线 x=t(t∈R)与椭圆相交于不同的两点 A,B,若 C(-3,0),D(3,0),直线

x2 y2 a b

CA 与直线 BD 的交点是 K,求点 K 的轨迹方程;
→ (2)过点 Q(1,0)作直线 l(与 x 轴不垂直)与该椭圆交于 M、N 两点,与 y 轴交于点 R,若RM
3

→ → → =λ MQ,RN=μ NQ,试判断:λ +μ 是否为定值?并说明理由.

?a+c=3+2 2, ?a=3, x2 2 2 2 2 解 (1)由已知? ?? b =a -c =1.所以椭圆方程为 +y =1. 9 ?c=2 2, ?a-c=3-2 2
依题意可设 A(t,y0),B(t,-y0),K(x,y), 且有 +y0=1, 9 又 CA:y=

t2

2

y0

t+3

(x+3),
2

-y0 -y0 2 2 DB:y= (x-3),y = 2 (x -9), t-3 t -9

t 1 2 x 2 2 2 将 +y0=1 代入即得 y = (x -9), -y =1. 9 9 9
所以直线 CA 与直线 BD 的交点 K 的轨迹方程是 -y =1.(y≠0) 9 9 (2)λ +μ 是定值,λ +μ =- ,理由如下: 4 依题意,直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y=k(x-1),

2

2

x2

2

y=k(x-1), ? ? 2 设 M(x3,y3)、N(x4,y4)、R(0,y5),则 M、N 两点坐标满足方程组?x 2 +y =1. ? ?9
消去 y 并整理,得(1+9k )x -18k x+9k -9=0, 18k 9k -9 所以 x3+x4= 2①,x3x4= 2②. 1+9k 1+9k → → 因为RM=λ MQ,所以(x3,y3)-(0,y5)=λ [(1,0)-(x3,y3)], 即?
?x3=λ (1-x3), ? ?y3-y5=-λ ?
2 2 2 2 2 2

y3,

又 l 与 x 轴不垂直,所以 x3≠1,所以 λ =

,同理μ = , 1-x3 1-x4

x3

x4

x3 x4 (x3+x4)-2x3x4 所以 λ +μ = + = . 1-x3 1-x4 1-(x3+x4)+x3x4
9 将①②代入上式可得 λ +μ =- . 4 5.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+ln x,其中 a 为常数. (1)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (2)若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; ln x 1 (3)当 a=-1 时,试推断方程|f(x)|= + 是否有实数解. x 2 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=-x+ln x(x>0),

4

1 1-x f′(x)=-1+ = ,令 f′(x)=0,得 x=1. x x 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,f(x)max=f(1)=-1, 1 1 ?1 ? (2)∵f′(x)=a+ ,x∈(0,e], ∈? ,+∞?. x x ?e ? 1 ①若 a≥- ,则 f′(x)≥0,f(x)在(0,e]上是增函数, e ∴f(x)max=f(e)=ae+1≥0 不合题意. 1 1 ②若 a<- ,则由 f′(x)>0? a+ >0, e x 1 即 0<x<- .

a

1 由 f′(x)<0 得 a+ <0,

x

1 即- <x≤e.

a

1? ? ? 1 ? 从而 f(x)在?0,- ?上是增函数,在?- ,e?上是减函数,

?

a?

? a

?

? 1? ? 1? ∴f(x)max=f ?- ?=-1+ln?- ? ? a? ? a? ? 1? ? 1? 令-1+ln?- ?=-3,则 ln?- ?=-2, ? a? ? a?
1 -2 -2 ∴- =e ,即 a=-e .

a

1 2 ∵-e <- , e ∴a=-e 为所求. (3)由(1)知当 a=-1 时,f(x)max=f(1)=-1, ∴|f(x)|≥1 ln x 1 1-ln x 又令 g(x)= + ,g′(x)= . x 2 x2 令 g′(x)=0,得 x=e. 当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增, 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x)在(e,+∞)上单调递减, 1 1 ∴g(x)max=g(e)= + <1, e 2 ∴g(x)<1,
5
2

∴|f(x)|>g(x), ln x 1 即|f(x)|> + , x 2 ln x 1 ∴方程|f(x)|= + 没有实数解. x 2 6.请同学从下面所给的三题中选定一题作答 A.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如下图所示,AB 是⊙O 的直径,C、E 为⊙O 上的点,CA 平分∠BAE,CF⊥AB,F 是垂足,

CD⊥AE,交 AE 延长线于 D.

(1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)求证:AF·FB=DE·DA. 证明 (1)连接 OC,∠DAC=∠FAC,∠FAC=∠ACO, ∴∠DAC=∠ACO, ∴AD∥OC, ∵∠ADC=90°, ∴∠OCD=90°, ∴DC 为圆 O 的切线. (2)△ADC 与△AFC 全等, ∴DC=CF,连接 BC,在 Rt△ABC 中 CF⊥AB, ∴CF =AF·FB, 又 DC =DE·DA, ∴AF·FB=DE·DA. B.(本小满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 3 ? ?x=5- 2 t, 已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 1 ? ?y=- 3+2t π? ? 为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ =4cos?θ - ?. 3? ? (1)判断直线 l 与圆 C 的位置关系; (2)若点 P(x,y)在圆 C 上,求 3x+y 的取值范围.
6
2 2



(1)直线 l:x+ 3y-2=0,圆 C:(x-1) +(y- 3) =4,

2

2

|1+3-2| 圆心 C 到直线的距离 d= =1<2=r,相交. 2 (2)令?

?x=1+2cos θ , (θ 为参数), ?y= 3+2sin θ

π? ? ∴ 3x+y= 3(1+2cos θ )+ 3+2sin θ =2sin θ +2 3cos θ +2 3=4sin?θ + ? 3? ? +2 3, π? ? ∵-1≤sin?θ + ?≤1,∴ 3x+y 的取值范围是[2 3-4,2 3+4]. 3? ? C.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=log3(|x-1|+|x-4|-a),a∈R. (1)当 a=-3 时,求 f(x)≥2 的解集; (2)当 f(x)定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围. 解 (1)a=-3 时,f(x)≥2 等价于|x-1|+|x-4|+3≥9,

∴|x-1|+|x-4|≥6, ①当 x≥4 时,2x-5≥6, 11 ∴x≥ ; 2 ②当 1<x<4 时,3≥6,不成立; ③当 x≤1 时,5-2x≥6, 1 ∴x≤- . 2
? 11 1? 综上,不等式的解集为?x|x≥ 或x≤- ?. 2 2? ?

(2)f(x)=log3(|x-1|+|x-4|-a)的定义域为 R, 即|x-1|+|x-4|>a 恒成立,|x-1|+|x-4|≥|(x-1)-(x-4)|=3, 当且仅当 1≤x≤4 时取等号, ∴a<3,即 a 的取值范围是(-∞,3).

7


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