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数列求和公式证明


1)1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 从左边推到右边

数学归纳法可以证 也可以如下做 比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于 n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以 1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2)1×2+2×3+3×4+...+n× (n+1)=? 设 n 为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设 n 为偶数, 请你自己证明一下! 所以, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设 an=n×(n+1)=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×(n+1) =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3

(n+1)*n*(n+1)=(n^2-1)*n=n^3-n
数列求和的几种方法

1. 公式法: 等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式: Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1) 2.错位相减法 适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 例如: an=a1+(n-1)d bn=a1· q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an· q^n+d· b1· b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

{ an }、

3.倒序相加法 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列 (反序),再把它与原数列相加,就可以得到 n 个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 上下相加 得到 2Sn 即 Sn= (a1+an)n/2 4.分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分 为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例如: an=2^n+n-1 5.裂项法 适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即 an=f(n+1) -f(n),然后累加时抵消中间的许多项。 常用公式: (1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] (3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] (4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) (5) n· n!=(n+1)!-n! [例] 求数列 an=1/n(n+1) 的前 n 项和. 解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) (裂项)

则 Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)= 1-1/(n+1)= n/(n+1) 小结: 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都 互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意: 余下的项具有如下的特点 1余 下的项前后的位置前后是对称的。 2 余下的项前后的正负性是相反的。 6.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,有如下步骤: (1)证明当 n 取第一个值时命题成立; (2)假设当 n=k(k≥n 的第一个值,k 为自然数)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 例:求证:1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5 证明: 当 n=1 时,有: 1×2×3×4 + 2×3×4×5 = 2×3×4×5×(1/5 +1) = 2×3×4×5×6/5 假设命题在 n=k 时成立,于是: 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 则当 n=k+1 时有: 1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5 即 n=k+1 时原等式仍然成立,归纳得证 7.通项化归 先将通项公式进行化简,再进行求和。 如:求数列 1,1+2,1+2+3, 1+2+3+4,……的前 n 项和。此时先将 an 求出,再利用分组等方法求和。 8.并项求和: 例:1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n (并项) 求出奇数项和偶数项的和,再相减。



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